負の多項分布

表記	${\displaystyle {\textrm {NM}}(x_{0},\,\mathbf {p} )}$
パラメータ	${\displaystyle x_{0}>0}$— 実験が中止されるまでの失敗回数、∈ R m — 「成功」確率のmベクトル、 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ p 0 = 1 − ( p 1 +…+ p m ) — 「失敗」の確率。
サポート	${\displaystyle x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m}$
ＰＭＦ	${\displaystyle \Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {p_{0}^{x_{0}}}{\Gamma (x_{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}},}$ ここでΓ( x )はガンマ関数です。
平均	${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\mathbf {p} }$
分散	${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {pp} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\, \演算子名 {diag} (\mathbf {p} )}$
MGF の	${\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{t_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}}$
CF	${\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{it_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}}$

確率論と統計学において、負の多項分布は負の二項分布（NB( x0 ,  p )）を₂つ以上の結果に一般化したものである。 ^[1]

単変量負の二項分布と同様に、パラメータが正の整数の場合、負の多項分布は壷モデル解釈になります。それぞれが負でない確率 { p 0 ,..., p m } で発生するm _{+1≥2 個の可能な結果 { X 0} ,..., X m _}を生成する_{実験があるとします。n 回の観測が行われるまでサンプリングが続行された場合、 { X 0} , _... , X m }は_多項分布になります。ただし、 X _{0 が}所定の値x ₀に達した時点で実験を停止すると( x _{0は正の整数と想定)、} m組 { X ₁ ,..., X m _}の分布は負の多項分布になります。これらの変数は、その合計X ₁ +...+ X _mが固定されておらず、負の二項分布から抽出されるため、多項分布ではありません。 ${\displaystyle x_{0}}$

m次元xが以下のように分割され 、それに応じ て $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{(1)}\\\mathbf {X} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ サイズは }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(mn)\times 1\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}^{(1)}\\{\boldsymbol {p}}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ サイズ付き }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(mn)\times 1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle q=1-\sum _{i}p_{i}^{(2)}=p_{0}+\sum _{i}p_{i}^{(1)}}$$

の周辺分布はです。つまり、周辺分布も が 除去され、残りのp が1 になるように適切にスケーリングされた負の多項分布です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}^{(1)}}$${\displaystyle \mathrm {NM} (x_{0},p_{0}/q,{\boldsymbol {p}}^{(1)}/q)}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{(2)}}$

単変量周辺分布は負の二項分布を持つと言われています。 ${\displaystyle m=1}$

の条件付き分布はです。つまり、 ${\displaystyle \mathbf {X} ^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {X} ^{(2)}=\mathbf {x} ^{(2)}}$${\textstyle \mathrm {NM} (x_{0}+\sum {x_{i}^{(2)}},\mathbf {p} ^{(1)})}$$${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} ^{(1)}\mid \mathbf {x} ^{(2)},x_{0},\mathbf {p} )=\Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {(1-\sum _{i=1}^{n}{p_{i}^{(1)}})^{x_{0}+\sum _{i=1}^{mn}x_{i}^{(2)}}}{\Gamma (x_{0}+\sum _{i=1}^{mn}x_{i}^{(2)})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(p_{i}^{(1)})^{x_{i}}}{(x_{i}^{(1)})!}}.}}$$

およびが独立である場合、 となります 。同様に、また逆に、特性関数から、負の多項式が無限に割り切れることは容易にわかります。 ${\displaystyle \mathbf {X} _{1}\sim \mathrm {NM} (r_{1},\mathbf {p} )}$${\displaystyle \mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{2},\mathbf {p} )}$${\displaystyle \mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{1}+r_{2},\mathbf {p} )}$

そして 、添え字iとjを 持つランダム変数をベクトルから削除し、それらの合計に置き換えると、 $${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{m}))}$$$${\displaystyle \mathbf {X} '=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{i}+p_{j},\ldots ,p_{m})).}$$

この集約プロパティは、上記 の周辺分布を導出するために使用できます。${\displaystyle X_{i}}$

相関行列の要素は $${\displaystyle \rho (X_{i},X_{i})=1.}$$ $${\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(p_{0}+p_{i})(p_{0}+p_{j})}}}.}$$

負の多項式の平均ベクトルを共分散行列とすると 、行列式の性質から であること が簡単にわかります。このことから、 および で あることが示されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {x_{0}}{p_{0}}}\mathbf {p} }$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {p} \mathbf {p} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} ),}$$${\textstyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|={\frac {1}{p_{0}}}\prod _{i=1}^{m}{\mu _{i}}}$$${\displaystyle x_{0}={\frac {\sum {\mu _{i}}\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|\sum {\mu _{i}}}}{\boldsymbol {\mu }}.}$$

サンプルモーメントを代入すると、モーメント法の推定値 が得られ 、 $${\displaystyle {\hat {x}}_{0}={\frac {(\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x_{i}}})}\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}{|\mathbf {S} |-\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}}}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\left({\frac {|{\boldsymbol {S}}|-\prod _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}{|{\boldsymbol {S}}|\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}}\right){\boldsymbol {\bar {x}}}}$$

• 負の二項分布
• 多項分布
• 逆ディリクレ分布、負の多項式の共役事前分布
• ディリクレ負の多項分布

Waller LAとZelterman D.（1997）「負の多項分布による対数線形モデリング」バイオメトリクス53：971-82。

Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997)。「第 36 章: 負の多項分布とその他の多項分布関連分布」。離散多変量分布。Wiley。ISBN 978-0-471-12844-1。