対数分布

対数

確率質量関数 関数は整数値でのみ定義されます。接続線は単なる目印です。
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle 0<p<1}$
サポート	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$
ＰＭＦ	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$
モード	${\displaystyle 1}$
分散	${\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}$
MGF の	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ }}t<-\ln p の場合}$
CF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ }}|z|<{\frac {1}{p}}} の場合$

確率と統計学において、対数分布（対数級数分布または対数級数分布とも呼ばれる）は、マクローリン級数展開 から導かれる離散確率分布である。

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

ここから、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}= 1.}$

これは、 Log( p )分布に従うランダム変数の確率質量関数に直接つながります。

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

k  ≥ 1、0 <  p < 1の場合です 。上記の恒等式により、分布は適切に正規化されています。

累積分布関数は

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

ここで、Bは不完全ベータ関数です。

Log( p )分布のランダム変数を合成したポアソン分布は負の二項分布となる。言い換えれば、Nがポアソン分布に従うランダム変数であり、X _i , i = 1, 2, 3, ...がそれぞれLog( p )分布に従う独立した同一分布ランダム変数の無限列である場合、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

は負の二項分布に従います。このように、負の二項分布は複合ポアソン分布であることがわかります。

RAフィッシャーは、対数分布を相対的な種の豊富さをモデル化するために使用した論文で説明しました。^[1]

• ポアソン分布（マクローリン級数からも導出される）

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005)。「第 7 章: 対数分布とラグランジュ分布」。単変量離散分布(第 3 版)。John Wiley & Sons。ISBN 978-0-471-27246-5。
• Weisstein、Eric W.「対数級数分布」。MathWorld。