素朴集合論

素朴集合論は、数学の基礎を議論する際に用いられる集合に関する理論の1つである。^[3]形式論理を用いて定義される公理的集合論 とは異なり、素朴集合論は自然言語で非公式に定義される。素朴集合論は、離散数学でよく知られている数学的集合の側面（例えばベン図やブール代数に関する記号的推論）を記述し、現代数学における集合論の概念の日常的な使用には十分である。^[4]

集合は数学において非常に重要です。現代の形式的な扱いでは、ほとんどの数学的対象 (数値、関係、関数など) は集合によって定義されます。素朴集合論は多くの目的に十分であり、より形式的な扱いへの足がかりとしても機能します。

「素朴集合論」という意味での素朴理論は非形式化理論、つまり集合および集合に対する演算を記述するために自然言語を使用する理論です。このような理論は集合をプラトンの絶対オブジェクトとして扱います。および、または、...ならば、ない、いくつかの場合、すべての場合などの単語は、通常の数学と同様に扱われます。便宜上、素朴集合論とその形式主義の使用は、集合論自体のより形式的な設定を含む高等数学でも普及しています 。

集合論の最初の発展は素朴集合論でした。これは19世紀末にゲオルク・カントールが無限集合の研究の一環として考案し^[5]、ゴットロープ・フレーゲが著書『算術基礎』で発展させました。

素朴集合論は、いくつかの非常に異なる概念を指す場合があります。

• 公理的集合論の非公式な表現。たとえば、 Paul HalmosのNaive Set Theoryなど。
• ゲオルク・カントールの理論やその他の非公式システムの初期または後期のバージョン。
• ラッセルのパラドックスを生み出したゴットロープ・フレーゲ^[6]の理論や、ジュゼッペ・ペアノ^[7]とリヒャルト・デデキントの理論など、明らかに矛盾した理論（公理的であるかどうかは問わない）。

あらゆる特性を制限なく集合の形成に使用できるという仮定は、パラドックスにつながります。よくある例の 1 つはラッセルのパラドックスです。つまり、「自分自身を含まないすべての集合」からなる集合は存在しません。したがって、素朴集合論の一貫したシステムには、集合の形成に使用できる原理に対する何らかの制限が含まれている必要があります。

ゲオルク・カントールの集合論は、集合論的パラドックスに実際には関係していなかったと考える人もいる(Frápolli 1991 を参照)。これを確実に判断する上での困難の 1 つは、カントールが自身の体系の公理化を提供しなかったことである。1899 年までに、カントールは、自身の理論の無制限の解釈から生じるいくつかのパラドックス、たとえばカントールのパラドックス^[8]やブラーリ・フォルティのパラドックス^[9]に気付いており、それらが自身の理論の信頼性を損ねるとは考えていなかった。^[10]カントールのパラドックスは、実際には上記の (誤った) 仮定、つまり任意のプロパティP ( x ) を使用して集合を形成できるという仮定から導き出され、 P ( x )に対して「xは基数である」という仮定が用いられる。フレーゲは、素朴集合論の形式化されたバージョンを解釈できる理論を明示的に公理化した。そして、バートランド・ラッセルがパラドックスを提示したときに実際に扱ったのはこの形式理論であり、おそらく、前述のようにいくつかのパラドックスを認識していたカントールが念頭に置いていた理論とは必ずしも同じではない。

公理的集合論は、集合を理解しようとする初期の試みに応えて、どのような操作がいつ許可されるかを正確に決定することを目的として開発されました。

素朴集合論は、考慮できる集合を正しく指定していれば、必ずしも矛盾しているわけではありません。これは、暗黙の公理である定義によって行うことができます。ハルモスの素朴集合論の場合のように、すべての公理を明示的に述べることは可能です。これは、実際には通常の公理的なツェルメロ-フランケル集合論の非公式な表現です。言語と表記法が通常の非公式数学のものであり、公理系の一貫性や完全性を扱っていないという点で「素朴」です。

同様に、公理的集合論は必ずしも矛盾がないわけではなく、必ずしもパラドックスがないわけではありません。ゲーデルの不完全性定理から、十分に複雑な一階論理システム（最も一般的な公理的集合論を含む）は、理論自体の内部から矛盾がないことを証明することはできません（実際には矛盾がない場合でも）。ただし、一般的な公理システムは一般的に矛盾がないと考えられており、その公理によってラッセルのパラドックスなどのいくつかのパラドックスが排除されます。ゲーデルの定理に基づくと、これらの理論や任意の一階集合論にパラドックスがまったく存在しないかどうかはわかりません（決してわかりません）。

素朴集合論という用語は、今日でもいくつかの文献^[11]では、現代の公理的集合論の非公式な対応物ではなく、フレーゲとカントールによって研究された集合論を指すために使用されています。

公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、主に利便性の問題です。日常の数学では、公理的集合論を非公式に使用するのが最善の選択かもしれません。特定の公理への言及は、通常、伝統によって要求される場合にのみ行われます。たとえば、選択公理は、使用されるときによく言及されます。同様に、形式的な証明は、例外的な状況によって正当化される場合にのみ行われます。この公理的集合論の非公式な使用は、（表記法によって異なりますが）以下に概説する素朴な集合論とまったく同じ外観を持つことができます。これは、（ほとんどのステートメント、証明、および議論の筋の定式化において）読み書きがかなり簡単で、厳密に形式的なアプローチよりもエラーが発生しにくいです。

素朴な集合論では、集合は明確に定義されたオブジェクトの集合として説明されます。これらのオブジェクトは、集合の要素またはメンバーと呼ばれます。オブジェクトは、数字、人、他の集合など、何でもかまいません。たとえば、4 はすべての偶数の集合のメンバーです。明らかに、偶数の集合は無限に大きく、集合が有限である必要はありません。

集合の定義はゲオルグ・カントールに遡ります。彼は 1915 年の記事「Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre」で次のように書いています。

Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen。

— ゲオルク・カントル

集合とは、私たちの知覚や思考における明確で個別の対象を全体としてまとめたものであり、これを集合の要素と呼びます。

— ゲオルク・カントル

この定義からは、集合がどのように形成されるか、また集合に対してどのような操作を行うと集合が生成されるかについてはわかりません。「明確に定義されたオブジェクトの集合」の「明確に定義された」という用語だけでは、集合を構成するものと構成しないものの一貫性と明確さを保証することはできません。これを実現しようとすることは、公理的集合論または公理的クラス理論の領域になります。

この文脈において、特定の公理理論から派生した（または暗示した）ものではなく、非公式に定式化された集合論の問題は、元の非公式の定義に準拠しながらも、集合も新しい集合を形成するための異なる規則も持つ、大きく異なる複数の形式化されたバージョンが存在する可能性があることである。たとえば、カントールの逐語的な定義では、集合を構成するものに関してかなりの自由度が認められている。一方、カントールが特に猫や犬を含む集合に興味があった可能性は低く、純粋に数学的な対象を含む集合にのみ興味があったと考えられる。そのような集合のクラスの例としては、フォン・ノイマン宇宙があげられる。しかし、検討中の集合のクラスを固定したとしても、どの集合形成規則がパラドックスを招かずに許容されるかは必ずしも明らかではない。

以下の議論を確定するために、「明確に定義された」という用語は、暗黙的または明示的な規則（公理または定義）のいずれかを使用して矛盾を排除する意図として解釈されるべきです。その目的は、一貫性に関するしばしば深く困難な問題を、通常はより単純な現在の状況から遠ざけることです。ゲーデルの第 2 不完全性定理により、公理的集合論では考えられるすべての矛盾（パラドックス）を明示的に排除することはできません。したがって、以下で検討する単純な状況では、これは公理的集合論と比較して素朴集合論の有用性をまったく妨げません。これは単に議論を単純化するだけです。明示的に言及されない限り、一貫性は当然のことと見なされます。

x が集合Aの要素である場合、 x は Aに属する 、またはx はA内にあるとも言われます。これはx  ∈  Aと表されます。記号 ∈ は、1889 年にジュゼッペ ペアノによって導入されたギリシャ語の小文字イプシロン"ε"から派生したもので、単語 ἐστί (「である」を意味する) の頭文字です。記号 ∉ は、x  ∉  Aと書くときによく使用され、「x は A 内にない」という意味になります。

2 つの集合AとB は、それらが正確に同じ要素を持つ場合、つまり、Aのすべての要素がBの要素であり、 Bのすべての要素がAの要素である場合に等しいと定義されます。(外延性公理を参照してください。) したがって、集合はその要素によって完全に決定され、記述は重要ではありません。たとえば、要素 2、3、5 を持つ集合は、6 未満のすべての素数の集合に等しいです。集合AとBが等しい場合、これは(通常どおり) A  =  Bと記号で表されます。

空集合 は、とも表記され、要素がまったくない集合です。集合は要素によって完全に決定されるため、空集合は 1 つしか存在しません。(空集合 の公理を参照してください。) ^[12]空集合には要素がありませんが、他の集合の要素になることができます。したがって、 は、前者には要素がなく、後者には 1 つの要素があるためです。^[13]${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \{\}}$${\displaystyle \varnothing \neq \{\varnothing \}}$

集合を記述する最も簡単な方法は、その要素を中括弧で囲んで列挙することである（集合を外延的に定義する）。したがって、{1, 2}は、要素が1と2 . (ペアリングの公理を参照) 以下の点に注意してください。

• 要素の順序は重要ではありません。たとえば、{1, 2} = {2, 1}です。
• 要素の繰り返し（多重度）は無関係です。たとえば、{1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} です。

(これらは、前のセクションの平等の定義の結果です。)

この表記法は、すべての犬の集合を示すために{dogs}のように表記されるなど、非公式には乱用される可能性がありますが、この例は通常、数学者によって「単一の要素dogsを含む集合」として解釈されます。

この表記法の極端な（ただし正しい）例は、空集合を表す {}です。

表記法{ x  : P ( x )}、または場合によっては{ x | P ( x )} は、条件Pが成り立つすべてのオブジェクトを含む集合を表すために使用されます(集合を意図的に定義すると呼ばれます)。たとえば、{ x | x ∈ R } は実数の集合を表し、{ x | xはブロンドの髪をしている} はブロンドの髪を持つすべてのものの集合を表します。

この表記法は、セット ビルダー表記法(または、特に関数型プログラミングのコンテキストでは「セットの理解」 ) と呼ばれます。セット ビルダー表記法のバリエーションには次のものがあります。

• { x ∈ A | P ( x )} は、条件P がxに対して成り立つような、すでにAのメンバーであるすべてのxの集合を表します。たとえば、Z が整数の集合である場合、{ x ∈ Z | xは偶数} はすべての偶数の整数の集合です。(仕様公理を参照してください。)
• { F ( x ) | x ∈ A } は、集合Aの要素を式Fに代入することによって得られるすべてのオブジェクトの集合を表します。たとえば、{2 x | x ∈ Z } は、すべての偶数の集合です。(置換公理を参照してください。)
• { F ( x ) | P ( x )} は、集合構築記法の最も一般的な形式です。たとえば、{ x の所有者 | xは犬です}は、すべての犬の飼い主の集合です。

2 つの集合AとB がある場合、Aのすべての要素がBの要素でもあるとき、 AはBのサブセットです。特に、各集合B はそれ自身のサブセットです。Bと等しくないBのサブセットは、真サブセットと呼ばれます。

A がBのサブセットである場合、BはAのスーパーセットである、AはBに含まれる、またはB はA を含むとも言えます。記号では、A ⊆ B はAがBのサブセットであることを意味し、B ⊇ A はBがAのスーパーセットであることを意味します。著者によっては、サブセットに対して記号 ⊂ と ⊃ を使用し、他の著者はこれらの記号を適切なサブセットに対してのみ使用します。明確にするために、不等号を示すために記号 ⊊ と ⊋ を明示的に使用できます。

例として、R を実数の集合、Z を整数の集合、Oを奇数の集合、P を現職または元米国大統領の集合とします。すると、OはZのサブセット、ZはRのサブセット、 (したがって) O はRのサブセットになります。ただし、すべての場合において、サブセットは適切なサブセットと読み替えることもできます。すべての集合がこのように比較できるわけではありません。たとえば、 R がPのサブセットであるわけではなく、P がRのサブセットであるわけでもありません。

上記の集合の等式の定義から、2 つの集合AとBが与えられたとき、A ⊆ BかつB ⊆ Aの場合にのみA = B となることが直ちに分かります。実際、これは等式の定義としてよく与えられます。通常、 2 つの集合が等しいことを証明しようとする場合、これら 2 つの包含関係を示すことを目的とします。空集合はすべての集合の部分集合です (空集合のすべての要素が任意の集合Aのメンバーでもあるという記述は空虚に真です) 。

与えられた集合Aのすべての部分集合の集合はAの冪集合と呼ばれ、またはで表されます。" P " はスクリプトフォントで次のように表記されることもあります: ⁠ ⁠。集合A にn個の要素がある場合、 には要素が存在します。 ${\displaystyle 2^{A}}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle \wp (A)}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle 2^{n}}$

特定の状況では、検討中のすべての集合を、ある与えられた普遍集合のサブセットと見なすことができます。たとえば、実数 R (およびRのサブセット) の特性を調べる場合、R を普遍集合として考えることができます。真の普遍集合は、標準集合論には含まれていませんが (下記のパラドックスを参照)、一部の非標準集合論には含まれています。

全体集合UとUの部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合( U内) は次のように定義される。

A ^C  := { x ∈ U | x ∉ A }です。

言い換えると、A ^C（「A 補集合」、単にA'、 「A 素集合」と呼ばれることもある）は、 AのメンバーではないUのメンバーすべての集合です。したがって、部分集合のセクションで定義されているようにR、Z、およびOでは、 Zが全体集合である場合、 O ^{C は}偶数の整数の集合であり、R が全体集合である場合、O ^{C は}偶数であるか整数ではないすべての実数の集合です。

2 つの集合AとB が与えられたとき、それらの和集合はAまたはBの要素、あるいはその両方の要素であるすべてのオブジェクトからなる集合です(和集合の公理を参照)。これはA ∪ Bと表されます。

AとBの共通部分は、 AとB の両方に含まれるすべてのオブジェクトの集合です。これはA ∩ Bと表されます。

最後に、Aに対するBの相対補集合は、 AとBの集合論的差とも呼ばれ、 Aに属し、Bには属さないすべてのオブジェクトの集合です。 A \ BまたはA − Bと表記されます。

象徴的には、これらはそれぞれ

A ∪ B := { x | ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) } ;

A ∩ B  := { x | ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B )} = { x ∈ A | x ∈ B } = { x ∈ B | x ∈ A } ;

A \ B  := { x | ( x ∈ A ) ∧ ¬ ( x ∈ B ) } = { x ∈ A | ¬ ( x ∈ B )}です。

A \ B が意味を成すためには、集合BがAのサブセットである必要はありません。これは、前のセクションの相対補集合と絶対補集合 ( A ^C = U \ A ) の違いです。

これらの考え方を説明するために、Aを左利きの人の集合、B を金髪の人の集合とします。すると、A ∩ B は左利きで金髪の人全員の集合となり、A ∪ B は左利きか金髪、またはその両方の人全員の集合となります。一方、A \ B は左利きだが金髪ではない人全員の集合であり、 B \ Aは金髪だが左利きではない人全員の集合です。

ここで、E をすべての人間の集合とし、F を1000 歳以上のすべての生物の集合とします。この場合、 E ∩ F は何でしょうか? 生きている人間で1000 歳を超える人はいないので、E ∩ F は空集合{}でなければなりません。

任意の集合Aに対して、冪集合は和集合と積集合の演算の下での ブール代数です。${\displaystyle P(A)}$

直感的には、順序付きペアは、一方を最初の要素、もう一方を2 番目の要素として区別できる 2 つのオブジェクトのコレクションであり、2 つの順序付きペアは、最初の要素が等しく、2 番目の要素が等しい場合にのみ等しいという基本的なプロパティを持ちます。

正式には、最初の座標が aで、2番目の座標が bである順序付きペア（通常は（a、b）と表記）は、集合として定義できる。${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}.}$

したがって、 2 つの順序付きペア ( a、b ) と ( c、d ) は、 a = cかつb = dの場合にのみ等しくなります。

あるいは、順序付きペアは、全順序を持つ集合 {a,b} として正式に考えることができます。

(( a , b )という表記は実数直線上の開区間を表すのにも使われますが、文脈からどちらの意味が意図されているかは明らかでしょう。そうでない場合は、開区間を表すのに] a , b [という表記が使われ、順序付きペアには( a , b )が使われます。)

AとBが集合である場合、直積(または単に積) は次のように定義されます。

A × B = {( a , b ) | a ∈ Aかつb ∈ B }。

つまり、A × B は、最初の座標がAの要素であり、2 番目の座標がBの要素であるすべての順序付きペアの集合です。

この定義は、順序付けられた 3 つの組の集合A × B × Cに拡張でき、より一般的には、任意の正の整数nに対する順序付けられたn 組の集合に拡張できます。無限の直積を定義することも可能ではありますが、それにはより難解な積の定義が必要です。

デカルト積は、解析幾何学の文脈でルネ・デカルトによって初めて開発されました。Rがすべての実数の集合を表す場合、R ²  := R × R はユークリッド平面を表し、R ³  := R × R × Rは3 次元ユークリッド空間を表します。

表記法がほぼ普遍的な、広く普及している集合がいくつかあります。これらのいくつかを以下に示します。リストで、a、b、c は自然数、rとsは実数を表します。

1. 自然数は数を数えるために使用されます。黒板の太字の大文字N ( ) は、この集合を表すことが多いです。${\displaystyle \mathbb {N} }$
2. 整数は、x + a = bのような方程式のxの解として現れます。黒板太字の大文字Z ( ) は、この集合を表すことがよくあります (ドイツ語のZahlenから来ており、数字を意味します)。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
3. 有理数は、a + bx = cのような方程式の解として現れます。黒板太字の大文字Q ( ) は、この集合を表すことがよくあります (商、R は実数の集合に使用されるため)。${\displaystyle \mathbb {Q} }$
4. 代数的数は、多項式方程式（整数係数）の解として現れ、根号（ を含む）やその他の無理数を含むことがあります。上線（ ）の付いたQ は、この集合を表すことがよくあります。上線は、代数的閉包の演算を示します。${\displaystyle i={\sqrt {-1\,}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$
5. 実数は「実数直線」を表し、有理数で近似できるすべての数が含まれます。これらの数は有理数または代数数である場合もありますが、有理係数を持つ多項式方程式の解として現れることができない超越数である場合もあります。黒板太字の大文字R ( ) は、この集合を表すことがよくあります。${\displaystyle \mathbb {R} }$
6. 複素数は実数と虚数の和です。ここで、 または（あるいは両方）はゼロになることがあります。したがって、実数の集合と虚数の集合は複素数の集合のサブセットであり、実数の集合の代数的閉包を形成します。つまり、 の係数を持つすべての多項式には、この集合に少なくとも 1 つの根があります。黒板太字の大文字C ( ) は、この集合を表すことがよくあります。数は平面上の点と同一視できるため、 は基本的に直積と「同じ」であることに注意してください（「同じ」とは、一方の任意の点が他方の唯一の点を決定し、計算の結果については、 の乗法規則が適切である限り、どちらを計算に使用してもかまわないことを意味します）。${\displaystyle r+s\,i}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle r+s\,i}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

無制限の理解の公理スキームと呼ばれる集合の無制限の形成原理は、

初期に現れたいくつかのパラドックスの原因です。

• Y = { x | xは序数} は、1897 年に初めて公表されたアンチノミーであるBurali-Forti のパラドックスにつながりました。
• Y = { x | xは基数}は1897年にカントールのパラドックスを生み出した^{。 [8]}
• Y = { x | {} = {}} は、 1899年にカントールの第二二律背反を生み出しました^{。 [10]}ここで、性質Pは、 xが何であれ、すべてのxに対して真であるため、 Yはすべてを含む普遍集合になります。
• Y = { x | x ∉ x }、つまり自分自身を要素として含まないすべての集合の集合は、 1902年にラッセルのパラドックスを与えました。

無制限理解の公理図式が指定の公理図式や分離の公理図式に弱められると、

すると上記のパラドックスはすべて消える。^[14]系がある。分離の公理図式を理論の公理とすると、理論の定理として次のようになる。

あるいは、もっと派手に言えば（ハルモスの言い回し^{[15] ）：}宇宙は存在しない。証明：宇宙が存在すると仮定し、それをUと呼ぶ。ここで分離の公理図式を適用し、X = Uとし、P ( x )にはx∉xを用いる。これは再びラッセルのパラドックスにつながる。したがって、この理論ではUは存在できない。 ^[14]

上記の構成に関連して、集合の形成がある。

• Y = { x | ( x ∈ x ) → {} ≠ {}}、

ここで、含意に続く文は確かに偽です。Yの定義から、通常の推論規則（および以下のリンク先の記事の証明を読んだときの後付けの考え）を使用すると、Y ∈ Y → {} ≠ {}であり、Y ∈ Yが成り立つため、{} ≠ {}となります。これがカリーのパラドックスです。

問題なのは（おそらく驚くべきことですが） x ∈ xの可能性ではありません。ここでも、P ( x )に対して( x ∈ x ) → {} ≠ {} を許可する無制限内包の公理スキーマです。無制限内包の代わりに仕様指定の公理スキーマを使用すると、結論Y ∈ Y は成立せず、したがって{} ≠ {} は論理的帰結ではありません。

それにもかかわらず、 x ∈ xの可能性は、明示的に^[16]または、例えばZFCでは暗黙的に^{[17] 、}正則性の公理が成立することを要求することによって除去されることが多い。^[17]その結果の1つは、

言い換えれば、いかなる集合もそれ自身の要素ではない。^[18]

分離の公理スキームは、上で概説した通常の操作と構成で集合論を展開するには、単純に弱すぎる（一方、無制限の理解は非常に強力な公理であるが、集合論には強すぎる）。^[14]正則性の公理も制限的な性質を持っている。したがって、集合論を形成するのに十分な集合が存在することを保証する他の公理を定式化する必要がある。これらのいくつかは上で非公式に説明されており、他にも多くの公理が可能である。考えられるすべての公理を自由に組み合わせて、一貫した理論にできるわけではない。たとえば、 ZFC の選択公理は、「すべての実数集合はルベーグ測定可能である」という考えとは両立しない。前者は後者が偽であることを意味している。

• 集合の代数
• 公理的集合論
• 内部集合論
• 集合の同一性と関係のリスト
• 集合論
• 集合（数学）
• 部分的に順序付けられた集合

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• セントアンドリュースにおける集合論の始まりのページ
• 数学用語の最も古い使用例 (S)