モーメント法（電磁気学）

モーメント法（MoM）は、モーメント法や重み付き残差法としても知られ、^[1]計算電磁気学における数値計算法である。この方法は、電波などの電磁場と物質の相互作用をシミュレートするコンピュータプログラムで使用され、例えば、アンテナの放射パターンを計算するNECのようなアンテナシミュレーションプログラムで使用される。一般的には周波数領域法であるため、^[a]適切な境界条件を適用して積分方程式を線形方程式系に投影する。これは、多くの場合表面に対して、差分法や有限要素法のように離散メッシュを使用して行われる。解は、定義済みの基底関数の線形結合で表され、一般的に、これらの基底関数の係数が求められる未知数である。グリーン関数とガラーキン法は、モーメント法で中心的な役割を果たす。

多くの用途において、モーメント法は境界要素法と同一です。^{[b]これは、}マイクロ波およびアンテナ工学において最も一般的な方法の1つです。

境界要素法や、さまざまな工学用途向けの他の類似の手法の開発は、1960 年代のデジタル コンピューティングの出現と関連しています。^[6]これより前、変分法は、第二次世界大戦の頃にはマイクロ波周波数での工学問題に適用されていました。^[7] Julian SchwingerとNathan Marcuvitz は、それぞれこれらの研究を講義ノートと教科書にまとめました。^{[8] [9]} Victor Rumsey は、 1954 年にこれらの手法を「反応概念」として定式化しました。 ^{[ 10]この概念は、後に}Galerkin 法と同等であることが示されました。 [7] 1950 年代後半、 Yuen Loは、イリノイ大学の電磁気理論の数学的手法のコースで、モーメント法の初期バージョンを紹介しました。^[11]

1960年代に、この方法の初期の研究成果がケネス・メイ、ジャン・ファン・ブレーデル^[12]、ジャック・リッチモンド^[13]によって発表されました。同じ10年間で、電磁気学におけるモーメント法の体系的な理論はロジャー・ハリントンによって大部分が形式化されました。^[14]「モーメント法」という用語は、以前にレオニード・カントロヴィッチとグレブ・アキロフによって類似の数値応用のために造られましたが、^[15]ハリントンは電磁気学の定式化にこの用語を採用しました。^[7]ハリントンは1968年にモーメント法に関する独創的な教科書「Field Computation by Moment Methods」を出版しました。 ^[14]この方法の開発とレーダーおよびアンテナ工学におけるその適応は注目を集め、MoM研究はその後米国政府の支援を受けました。この方法は、 1980年代後半に米国政府によってパブリックドメインにリリースされたNumerical Electromagnetics Codeなどの一般化されたアンテナモデリングコードの導入によってさらに普及しました。 ^{[16] [17]} 1990年代には、高速多重極法と多段階高速多重極法の導入により、数百万の未知数を持つ問題に対する効率的なMoM解法が可能になりました。^{[18] [19] [20]}

モーメント法は、 RFおよびマイクロ波工学における最も一般的なシミュレーション手法の1つであり、 FEKOなどの多くの商用設計ソフトウェアの基礎となっています。^[21]さまざまな高度な非商用およびパブリックドメインのコードも多数利用可能です。^{[22]モーメント法は、電気工学での使用に加えて、光}散乱^[23]やプラズモニック問題にも適用されています。 ^{[24] [25] [26]}

非同次積分方程式は次のように表すことができます。 ここで、Lは線形演算子、g は既知の強制関数、f は未知の関数を表します。fは有限個の基底関数( )で近似できます。 $${\displaystyle L(f)=g}$$${\displaystyle f_{n}}$$${\displaystyle f\approx \sum _{n}^{N}a_{n}f_{n}.}$$

線形性により、この式を方程式に代入すると次のようになります。 $${\displaystyle \sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})\approx g.}$$

この式には、実際の解と近似解の差を表す 残差を定義することもできます。$${\displaystyle R=\sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})-g}$$

モーメント法の目的は、この残差を最小化することであり、適切な重み付けや検定関数を使用することで実現できるため、この方法は重み付き残差法と呼ばれています。^[27]問題に 適した内積を決定した後、式は次のようになります。$${\displaystyle \sum _{n}^{N}a_{n}\langle w_{m},L(f_{n})\rangle \about \langle w_{m},g\rangle }$$

したがって、この式は行列形式で表すことができます。 $${\displaystyle \left[\ell _{mn}\right]\left[\alpha _{m}\right]=[g_{n}]}$$

結果として得られる行列は、インピーダンス行列と呼ばれることが多い。^[28]基底関数の係数は、行列を反転することで得られる。^[29]多数の未知数を持つ大きな行列の場合、共役勾配法などの反復法を加速に使用することができる。^[30]実際の場の分布は、係数と関連する積分から得ることができる。^[31] MoMにおける各基底関数間の相互作用は、システムのグリーン関数によって保証される。 ^[32]

異なる基底関数を選択して、ドメイン内の未知の関数の予想される動作をモデル化することができます。これらの関数は、サブセクションまたはグローバルのいずれかです。^[33]ディラックデルタ関数を基底関数として選択することは、ポイントマッチングまたはコロケーションとして知られています。これは、離散点に境界条件を適用することに相当し、内積演算の実行が面倒な場合に近似解を得るためによく使用されます。^{[34] [35]}その他のサブセクション基底関数には、パルス関数、区分三角関数、区分正弦波関数、ルーフトップ関数があります。^[33] S. Rao、D. Wilton、A. Glisson によって 1982 年に導入された三角形パッチ^[36]は、 RWG 基底関数として知られ、MoM で広く使用されています。^[37]計算を高速化し、行列方程式を縮小するために、特性基底関数も導入されました。^{[38] [39]}${\displaystyle N}$

テスト関数と基底関数はしばしば同じに選ばれます。これはガラーキン法として知られています。^[29]アプリケーションと研究対象の構造に応じて、テスト関数と基底関数は収束と精度を確保し、高次の代数的特異点を防ぐために適切に選択する必要があります。^[40]

アプリケーションと求められる変数に応じて、MoMでは異なる積分方程式または積分微分方程式が使用されます。多くの種類のアンテナなどの細いワイヤ構造による放射と散乱は、特殊な方程式でモデル化できます。^[41]表面問題の場合、一般的な積分方程式の定式化には、電場積分方程式（EFIE）、磁場積分方程式（MFIE）^[42]、混合ポテンシャル積分方程式（MPIE）などがあります。^[43]

多くのアンテナ構造はワイヤとして近似できるため、MoM アプリケーションでは細線方程式が重要です。細線方程式としてよく使用されるのは、ポックリントン方程式とハレン方程式です。^{[44]ポックリントン方程式は計算手法に先駆けて、1897 年に}ヘンリー・カボーン・ポックリントンによって導入されました。^[45]原点を中心とし、z 軸に沿った直線ワイヤの場合、方程式は次のように表すことができます。 ここで、 と はそれぞれ全長と厚さを表します。は自由空間のグリーン関数です。この方程式は、磁気フリルを含むさまざまな励起方式に​​一般化できます。^[46]$${\displaystyle \int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')\left[\left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)G(z,z')\right]\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)}$$${\displaystyle l}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G(z,z')}$

1938年にE.ハレンによって発表されたハレン積分方程式^[47]は次のように表される。 $${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)\int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')G(z,z')\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)}$$

この方程式は、ポックリントン方程式よりも扱いやすいにもかかわらず、^{[48]一般に、}アンテナ給電点におけるデルタギャップ電圧励起に制限されており、印加電界として表すことができます。^[46]

電界積分方程式（EFIE）の一般形は次のように書くことができる。 ここで、は入射電界または印加電界である。はヘルムホルツ方程式のグリーン関数であり、波動インピーダンスを表す。境界条件は定義されたPEC表面で満たされる。EFIEは第一種フレドホルム積分方程式である。 ^[42]$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {E} ^{\text{inc}}(\mathbf {r} )={\hat {\mathbf {n} }}\times \int _{S}\left[\eta jk\,\mathbf {J} (\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\frac {\eta }{jk}}\left\{{\boldsymbol {\nabla }}_{s}'\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\right\}{\boldsymbol {\nabla }}'G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\right]\,dS'}$$${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{inc}}}$${\displaystyle G(r,r')}$${\displaystyle \eta }$

MoM でよく使用される別の積分方程式は磁場積分方程式 (MFIE) で、次のように表すことができます。 $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\mathbf {J} (r)+{\hat {\mathbf {n} }}\times \oint _{S}\mathbf {J} (r')\times {\boldsymbol {\nabla }}'G(r,r')\,dS'={\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {H} _{\text{inc}}(r)}$$

MFIEは、しばしば第二種フレドホルム積分方程式として定式化され、一般的に適切である。しかし、この定式化では閉じた面を使用する必要があり、その応用範囲が制限される。^[42]

MoM には、さまざまな表面積分および体積積分定式化が存在する。多くの場合、EFIE はローレンツゲージ条件を使用して混合ポテンシャル積分方程式 (MFIE) に変換される。これは、磁気ベクトルおよびスカラー電位を使用して特異点の順序を減らすことを目的としている。^{[49] [50]}誘電体散乱計算における内部共鳴問題を回避するために、複合場積分方程式 (CFIE) および Poggio—Miller—Chang—Harrington—Wu—Tsai (PMCHWT) 定式化も使用される。 [51]別のアプローチである体積積分方程式では、体積要素の離散化が必要であり、多くの場合、計算コストが高くなる。^{[ 52]}

MoMは物理光学理論^[53]や有限要素法^[54]と統合することもできる。

MoM行列を定式化するには、研究対象の構造に適したグリーン関数を知る必要がある。グリーン関数に放射条件を自動的に組み込むことで、MoMは放射および散乱の問題に特に役立つ。グリーン関数は非常に単純なケースでは閉じた形で導出できるが、より複雑な構造ではこれらの関数の数値導出が必要となる。^[55]

特にマイクロストリップやパッチアンテナなどの平面成層構造の全波解析では、これらの形状に特有のグリーン関数の導出が必要である。^{[50] [56]}これは2つの異なる方法で実現できる。最初の方法はスペクトル領域アプローチと呼ばれ、モーメント行列要素の内積と畳み込み演算は、パーセバルの定理によって解析的に導出されたスペクトル領域グリーン関数を使用してフーリエ空間で評価される。^{[57] [58] [59]}もう1つのアプローチは、空間領域グリーン関数の使用に基づく。これには、ゾンマーフェルトの積分経路で定義されるスペクトル領域グリーン関数の逆ハンケル変換が含まれる。ただし、この積分は解析的に評価できず、積分の振動カーネルと収束が遅い性質のため、数値評価は多くの場合計算コストが高くなる。^[60]これらの積分を評価するための一般的なアプローチには、加重平均法などのテール外挿アプローチが含まれます。^[61]

他のアプローチには、積分カーネルの近似が含まれる。準静的および表面極成分を抽出した後、これらの積分は、プロニー法または一般化関数鉛筆法によって閉形式複素指数として近似することができる。したがって、空間グリーン関数は、ゾンマーフェルト恒等式などの適切な恒等式を使用して導出することができる。^{[62] [63] [64]}この方法は、計算電磁気学の文献では離散複素画像法 (DCIM) として知られている。これは、グリーン関数が、原点から複素距離内に位置する離散数の画像双極子で効果的に近似されるためである。 ^[65]関連するグリーン関数は、閉形式グリーン関数と呼ばれる。^{[63] [64]}この方法は、円筒状の層状構造にも拡張されている。^[66]

有理関数フィッティング法^{[67] [68]}やDCIMとの組み合わせ^[64]も、閉形式グリーン関数を近似するために使用できます。あるいは、閉形式グリーン関数は最急降下法で評価できます。^[69]フェーズドアレイや周波数選択表面などの周期構造の場合、クンマー変換やエワルド和などの級数加速法が、周期グリーン関数の計算を高速化するためによく使用されます。^{[70] [71]}

• 境界要素法
• 特性モード解析
• 離散双極子近似
• 高速多重極法
• 有限要素法
• マルチレベル高速多重極法

文献

• バラニス、コンスタンティン A. ( 2012)。Advanced Engineering Electromagnetics (第 2 版)。Wiley。ISBN 978-0-470-58948-9。
• Chew , WC ; Michielssen, E.; Song, JM; Jin, JM 編 (2001)。計算電磁気学における高速かつ効率的なアルゴリズム。Artech House。ISBN 9781580531528。
• デイビッドソン、デイビッド B. (2005)。RFおよびマイクロ波工学のための計算電磁気学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-83859-7。
• ギブソン、ウォルトン C. (2021)。電磁気学におけるモーメント法（第 3 版）。チャップマン & ホール。ISBN 9780367365066。
• ハリントン、ロジャー F. (1993)。モーメント法によるフィールド計算。IEEE プレス。ISBN 9780470544631。
• キナイマン、ノヤン。ミシガン州アクスン(2005)。現代のマイクロ波回路。ノーウッド:アーテック ハウス。ISBN 9781844073832。