ゾンマーフェルトの恒等式

ゾンマーフェルトの恒等式は、アルノルト・ゾンマーフェルトによる波動伝播理論で用いられる数学的恒等式である。

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

どこ

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

積分の収束と極限での消失を保証するために、正の実部をとる必要がある。 ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$。

ここで、は原点からの距離であり、は円筒座標系における円筒の中心軸からの距離です。ここで、ベッセル関数の表記は、ゾンマーフェルトが使用した元の表記と一致するようにドイツの慣例に従っています。関数 は、英語文献ではという表記でよく知られている、第一種ゼロ次ベッセル関数です。この恒等式はゾンマーフェルトの恒等式として知られています。^[1]${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (r,\phi,z)}$ ${\displaystyle I_{0}(z)}$${\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}$

別の表記法では、ゾンマーフェルトの恒等式は球面波を円筒対称波で展開したものとしてより簡単に見ることができる。^[2]

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

どこ

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

ここで使用される表記は、上記とは異なります。は原点からの距離となり、 はとして定義される円筒座標系における半径距離となります。 物理的な解釈としては、球面波は 方向の円筒波の総和に方向の両面平面波を乗じたものに展開できます。ヤコビ-アンジェ展開 を参照してください。 総和はすべての波数 にわたってとる必要があります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{\rho}}$

ゾンマーフェルトの恒等式は、円筒対称性を持つ2次元フーリエ変換、すなわちハンケル変換と密接に関係している。これは、球面波を面内座標（、、または、）に沿って変換することによって得られるが、高さ座標に沿って変換することによって得られるものではない。^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle z}$

• ゾンマーフェルト、アーノルド（ 1964年）。物理学における偏微分方程式。ニューヨーク：アカデミックプレス。ISBN 9780126546583。
• Chew , Weng Cho (1990)。不均質媒体における波動と場。ニューヨーク：Van Nostrand Reinhold。ISBN 9780780347496。