特性モード解析

特性モード (CM) は、特定の境界条件下で、フィールドと誘導ソースに関連する演算子を対角化する関数のセットを形成します。特定の条件下では、CM のセットは一意かつ完全であり (少なくとも理論的には)、それによって研究対象の動作を完全に記述できます。

この記事では、CM 理論が最初に提案された分野である 電磁気学における特性モード分解について説明します。

CM分解はもともと、散乱行列を対角化するモードの集合として導入されました。^{[1] [2]}その後、理論はハリントンとマウツによってアンテナに一般化されました。^{[3] [4]}ハリントン、マウツとその学生は、理論の他のいくつかの拡張も次々と開発しました。^{[5] [6] [7] [8]}いくつかの先駆者^[9]は1940年代後半に発表されましたが、CMの完全な可能性はさらに40年間認識されませんでした。 CMの機能は2007年に再検討され^[10]、それ以来、CMへの関心は劇的に高まっています。 その後のCM理論のブームは、著名な出版物とアプリケーションの数に反映されています。

簡単にするために、この記事では、自由空間内の完全導電性（PEC）物体用に定式化された CM の元の形式のみを扱います。電磁量は、周波数領域 でのフーリエ像としてのみ表されます。ローレンツ ゲージが使用されます。

PEC体における電磁波の散乱は、PEC体上の境界条件によって表現される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }=-{\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} },}$

はPEC表面の単位法線を表し、は入射電界強度を表し、散乱電界強度は次のように定義される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }=-\mathrm {j} \omega {\boldsymbol {A}}-\nabla \varphi ,}$

は虚数単位、は角周波数、はベクトルポテンシャル${\displaystyle \mathrm {j} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {r}}\right)=\mu _{0}\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \mu _{0}}$真空透磁率、スカラーポテンシャル${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \left({\boldsymbol {r}}\right)=-{\frac {1}{\mathrm {j} \omega \epsilon _{0}}}\int \limits _{\Omega }\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \epsilon _{0}}$真空の誘電率、スカラーグリーン関数${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)}$

${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}{4\pi \left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}}$

であり、波数である。積分微分演算子は特性モードを介して対角化される演算子である。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right)}$

CM分解の支配方程式は

${\displaystyle {\mathcal {X}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)=\lambda _{n}{\mathcal {R}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)\qquad \mathrm {(1)} }$

ここで、およびはそれぞれインピーダンス演算子の実部と虚部である。演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\cdot )={\mathcal {R}}(\cdot )+\mathrm {j} {\mathcal {X}}(\cdot )\,.}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {J}}\right)={\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right).\qquad \mathrm {(2)} }$

（1）の結果は、特性モードの集合、および関連する特性数である。明らかに、（1）は一般化された固有値問題であるが、解析的に解くことはできない（いくつかの標準体^[11]を除く）。したがって、次の段落で説明する数値解法が一般的に採用されている。 ${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {J}}_{n}\right\}}$${\displaystyle n\in \left\{1,2,\dots \right\}}$${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$

散乱体の物体を、線形独立な区分連続関数の集合、を用いて、部分領域に離散分割すると、電流密度は次のように表される。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega ^{M}={\mathcal {D}}\left(\Omega \right)}$${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\psi }}_{n}\right\}}$${\displaystyle n\in \left\{1,\dots ,N\right\}}$${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}\right)\approx \sum \limits _{n=1}^{N}I_{n}{\boldsymbol {\psi }}_{n}\left({\boldsymbol {r}}\right)}$

ガラーキン法を適用することにより、インピーダンス演算子（２）

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {R} +\mathrm {j} \mathbf {X} =\left[Z_{uv}\right]=\left[\,\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {\psi }}_{u}^{\ast }\cdot {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {\psi }}_{v}\right)\,\mathrm {d} S\right].}$

固有値問題(1)は行列形式に書き直される。

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {I} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {R} \mathbf {I} _{n},}$

これは、例えば一般化シューア分解や暗黙的に再開されたアーノルディ法などを使用して簡単に解くことができ、展開係数と関連する特性数の有限集合が得られます。CM分解の特性については以下で調査します。 ${\displaystyle \left\{\mathbf {I} _{n}\right\}}$${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$

CM 分解の特性は、マトリックス形式で示されます。

まず、双線型形式を思い出してください

${\displaystyle P_{\mathrm {r} }\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} \geq 0}$

そして

${\displaystyle 2\omega \left(W_{\mathrm {m} }-W_{\mathrm {e} }\right)\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} ,}$

ここで上付き文字はエルミート転置を表し、任意の表面電流分布は、それぞれ放射電力と無効電力に対応します^[12]。次の特性は簡単に抽出できます。 ${\displaystyle ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$

• 重み行列は理論的には正定値であり、不定である。レイリー商${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \lambda _{n}\approx {\frac {\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} _{n}}{\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} _{n}}}}$

はの範囲に及び、特性モードが容量性 ( )、誘導性 ( )、または共振 ( ) のいずれであるかを示します。実際には、レイリー商は使用される機械精度の数値ダイナミクスによって制限され、正しく検出されたモードの数も制限されます。 ${\displaystyle -\infty \leq \lambda _{n}\leq \infty }$${\displaystyle \lambda _{n}<0}$${\displaystyle \lambda _{n}>0}$${\displaystyle \lambda _{n}=0}$

• 特性数は周波数とともに変化します。つまり、互いに交差したり、同じになったりします（退化の場合^[13]）。このため、滑らかな曲線を得るためにモードの追跡がよく適用されます。^{[14] [15] [16] [17] [18]}残念ながら、このプロセスは部分的にヒューリスティックであり、追跡アルゴリズムはまだ完璧にはほど遠いです。^[11]${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda _{n}\left(\omega \right)}$${\displaystyle \lambda _{n}\left(\omega \right)}$
• 特性モードは実数値関数として選択できます。言い換えると、特性モードは等位相電流の集合を形成します。${\displaystyle \mathbf {I} _{n}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}}$
• CM分解は、特性モードの振幅に対して不変である。この事実は、電流を正規化して、単位放射電力を放射するために使用される。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{m}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} \mathbf {I} _{n}\approx \left(1+\mathrm {j} \lambda _{n}\right)\delta _{mn}.}$

この最後の関係は、特性モードがインピーダンス演算子（2）を対角化する能力を示し、遠方場の直交性、すなわち、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\boldsymbol {F}}_{m}^{\ast }\cdot {\boldsymbol {F}}_{n}\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi =\delta _{mn}.}$

モーダル電流は、次のようにモーダル形式でアンテナ パラメータを評価するために使用できます。

• モード遠距離場（ —偏光、 —方向）、^[3]${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {e}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}$
• モード指向性 、${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$
• モード放射効率、^[19]${\displaystyle \eta _{n}}$
• モード品質係数、^[20]${\displaystyle Q_{n}}$
• モードインピーダンス。${\displaystyle Z_{n}}$

これらの量は、分析、給電合成、放射器の形状最適化、またはアンテナ特性評価に使用できます。

潜在的なアプリケーションの数は膨大であり、まだ増え続けています。

• アンテナ解析と合成、^{[21] [22] [23]}
• MIMOアンテナの設計、 ^{[24] [25] [26] [27]}
• コンパクトなアンテナ設計（RFID、Wi-Fi）、^{[28] [29]}
• 無人航空機のアンテナ、^[30]
• シャーシとプラットフォームの選択的励起、^[31]
• モデル次数削減、^[32]
• 帯域幅の拡張、^{[33] [34]}
• ナノチューブ^[35]およびメタマテリアル^{[36] [37]}
• 計算電磁気コードの検証。^[11]

予定されているトピックには以下が含まれます

• MLFMAを用いて計算された電気的に大きい構造、^[38]
• 誘電体、^{[7] [39]}
• 複合場積分方程式の使用、^[40]
• 周期構造、
• 配列の定式化。^[41]

CM分解は最近、主要な電磁界シミュレータであるFEKO、^[42]、 CST-MWS、^[43]、WIPL-D ^{[44]に実装されました。HFSS [45]}やCEM One ^[46]などの他のパッケージも、まもなくCM分解をサポートする予定です。さらに、CMと多くの関連パラメータを評価できる社内および学術的なパッケージが多数あります。

CMはラジエーターの動作をよりよく理解するのに役立ちます。多くの実用的な目的に使用され、大きな成功を収めています。しかし、CMは完璧ではないことを強調することが重要です。エネルギーモード、^[47]放射モード、^[47]蓄積エネルギーモード^{[32]または放射効率モード[48]}などの他の定式化を使用する方がよい場合がよくあります。