一般化された関数ペンシル法

一般化関数ペンシル法（GPOF ）は、行列ペンシル法とも呼ばれ、複素指数関数を使用して信号を推定したり情報を抽出したりするための信号処理技術です。プロニー法やオリジナルの関数ペンシル法に似ているため、堅牢性と計算効率の点で一般的にそれらよりも好まれています。^[1]

この方法はもともと、電磁気システムの挙動を過渡応答から推定するために、Yingbo HuaとTapan Sarkarによって開発されたもので、Sarkarの過去のオリジナルの関数ペンシル法に基づいている。 ^{[1] [2]この方法は、特に}計算電磁気学、マイクロ波工学、アンテナ理論の問題に関連して、電気工学において多岐にわたって応用されている。^[1]

過渡的な電磁信号は次のように表される: ^[3]

${\displaystyle y(t)=x(t)+n(t)\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}e^{s_{i}t}+n(t);0\leq t\leq T,}$

どこ

${\displaystyle y(t)}$観測された時間領域信号であり、

${\displaystyle n(t)}$信号ノイズは、

${\displaystyle x(t)}$実際の信号は

${\displaystyle R_{i}}$残基（ ）は、${\displaystyle R_{i}}$

${\displaystyle s_{i}}$はシステムの極であり、次のように定義される。${\displaystyle s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}}$

${\displaystyle z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}}$Z変換の恒等式により、

${\displaystyle \alpha_{i}}$減衰係数であり、

${\displaystyle \omega_{i}}$角周波数です。

同じシーケンスをの周期でサンプリングすると、次のように記述できます。 ${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle y[kT_{s}]=x[kT_{s}]+n[kT_{s}]\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}z_{i}^{k}+n[kT_{s}];k=0,...,N-1;i=1,2,...,M}$、

一般化された関数鉛筆は最適値を推定する。[ ^4]${\displaystyle M}$${\displaystyle z_{i}}$

ノイズがない場合には、2つの行列とが生成される。^[3]${\displaystyle (NL)\times L}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL-1)&x(NL)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(NL)\times L};}$ ${\displaystyle [Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmatrix}}_{(NL)\times L}}$

ここで、は鉛筆パラメータとして定義され、次の行列に分解できる。^[3]${\displaystyle L}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]}$

どこ

${\displaystyle [Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(NL-1)}&z_{2}^{(NL-1)}&\cdots &z_{M}^{(NL-1)}\end{bmatrix}}_{(NL)\times M};}$ ${\displaystyle [Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}}$

${\textstyle [Z_{0}]}$およびはそれぞれ順番に配置されたおよびの値を持つ対角行列である。 ^[3]${\textstyle [B]}$${\textstyle M\times M}$ ${\textstyle z_{i}}$${\textstyle R_{i}}$

の場合には、行列ペンシルの一般化固有値は${\textstyle M\leq L\leq NM}$

${\displaystyle [Y_{2}]-\lambda [Y_{1}]=[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]}$

システムの極は となる。そして、一般化固有ベクトルは次の恒等式によって得られる: ^[3]${\displaystyle \lambda =z_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

ここで、 はムーア・ペンローズ逆行列、つまり擬似逆行列を表します。擬似逆行列を計算するには 特異値分解を使用することができます。${\displaystyle ^{+}}$

システムにノイズが存在し、それが一般的なデータマトリックスに結合されている場合、次の式が成り立ちます。^[3]${\textstyle [Y_{1}]}$${\textstyle [Y_{2}]}$${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y(1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(N-L-1)&y(N-L)&\cdots &y(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times (L+1)}}$

ここで、はノイズの多いデータです。 を効率的にフィルタリングするには、 L はと の間で選択されます。 の特異値分解により、次のようになります。 ${\displaystyle y}$${\textstyle {\frac {N}{3}}}$${\textstyle {\frac {N}{2}}}$${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]=[U][\Sigma ][V]^{H}}$

この分解では、と はそれぞれ固有ベクトルを持つユニタリ行列であり、は特異値を持つ対角行列です。上付き文字は共役転置を表します。^{[3] [4]}${\textstyle [U]}$${\textstyle [V]}$ ${\textstyle [Y][Y]^{H}}$${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$${\textstyle [\Sigma ]}$${\textstyle [Y]}$${\textstyle H}$

次に、フィルタリングのためにパラメータが選択されます。 の後の特異値はフィルタリングしきい値を下回るため、ゼロに設定されます。任意の特異値 の場合、しきい値は次の式で表されます。^[1]${\textstyle M}$${\textstyle M}$${\textstyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle {\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}}$、

${\textstyle \sigma _{max}}$およびpはそれぞれ最大特異値と有効桁数である。有効桁数がpまでのデータの場合、それ以下の特異値はノイズとみなされる。^[4]${\textstyle 10^{-p}}$

${\textstyle [V_{1}']}$および は、それぞれフィルタリングされた行列の最後の行と最初の列を削除することによって得られます。の列はを表します 。フィルタリングされた行列と は次のように得られます。^[4]${\textstyle [V_{2}']}$${\textstyle [V']}$${\textstyle M}$${\textstyle [\Sigma ]}$${\textstyle [\Sigma ']}$${\textstyle [Y_{1}]}$${\textstyle [Y_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[U][\Sigma '][V_{1}']^{H}}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[U][\Sigma '][V_{2}']^{H}}$

プレフィルタリングはノイズに対抗し、信号対雑音比（SNR）を高めるために使用できる。^{[1]バンドパスマトリックスペンシル（BPMP）法は、} FIRまたはIIR バンドパスフィルタを介してGPOF法を修正したものである。^{[1] [5]}

GPOFは最大25dBのSNRを処理できます。GPOFの場合、BPMPと同様に、推定値の分散はほぼCramér–Rao境界に達します。^{[3] [5] [4]}

複素極の剰余は最小二乗問題によって得られる: ^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M}\end{bmatrix}}}$

この方法は、一般的に、離散複素画像法のモーメント法アプリケーションにおけるゾンマーフェルト積分の閉形式の評価に使用され、スペクトルグリーン関数は複素指数の和として近似されます。^{[1] [6]}さらに、この方法は、アンテナ解析、マイクロ波集積回路のSパラメータ推定、波動伝播解析、移動ターゲット表示、レーダー信号処理、^{[1] [7] [8]}および電磁気問題における直列加速にも使用されます。^[9]

• 回転不変性技術による信号パラメータの推定
• 一般化固有値問題
• マトリックスペンシル
• 音楽（アルゴリズム）
• プロニー法