ガウス整数

数論において、ガウス整数は実部と虚部がともに整数である複素数である。ガウス整数は、複素数の通常の加算と乗算によって、通常または^{[1]と表記される}積分領域を形成する。${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$

ガウス整数は整数と多くの特性を共有しています。ガウス整数はユークリッド領域を形成し、したがってユークリッド除算とユークリッドアルゴリズムを持ちます。これは一意の因数分解と多くの関連する特性を意味します。ただし、ガウス整数には算術を尊重する 全順序付けがありません。

ガウス整数は代数的整数であり、最も単純な二次整数の環を形成します。

ガウス整数はドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。

ガウス整数は集合^{[1]である。}

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ ただし }}i^{2}=-1.}$

言い換えれば、ガウス整数は実部と虚部が両方とも整数である複素数です。ガウス整数は加算と乗算に対して閉じているため、複素数体の部分環である可換環を形成します。したがって、それは整域です。

複素平面内で考えると、ガウス整数は2次元整数格子を構成します。

ガウス整数a + biの共役はガウス整数a – biです。

ガウス整数のノルムは、その共役との積 です。

${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}$

したがって、ガウス整数のノルムは、複素数としての絶対値の二乗です。ガウス整数のノルムは、2 つの平方の和である非負の整数です。したがって、ノルムは、 kが整数である4 k + 3という形式にすることはできません。

ノルムは乗法的であり、つまり^[2]

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w),}$

ガウス整数z、wのすべてのペアに対して。これは直接示すことも、複素数の係数の乗法特性を使用して示すこともできます。

ガウス整数環（つまり、その乗法逆元もガウス整数であるガウス整数）の単位は、ノルム1のガウス整数、つまり1、-1、i、-iである。^[3]

ガウス整数には、整数や多項式と同様のユークリッド除算（剰余除算）があります。これにより、ガウス整数はユークリッド領域になり、最大公約数を計算するためのユークリッドアルゴリズムの存在、ベズーの恒等式、主イデアル特性、ユークリッドの補題、一意因数分解定理、中国剰余定理など、ユークリッド除算のみを使用して証明できる多くの重要な特性をガウス整数が整数や多項式と共有していることを意味します。

ユークリッド除算アルゴリズムは、ガウス整数の環において、被除数aと除数b ≠ 0を取り、商qと余りrを生成する。

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{そして}}\quad N(r)<N(b).}$

実際、残りを小さくすることもできます。

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{and}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

このより優れた不等式でも、商と余りは必ずしも一意ではありませんが、一意性を保証するために選択を改良することができます。

これを証明するには、複素数商x + iy = ⁠を考える必要がある。1つの/b⁠ . 一意の整数mとnが存在し、次のようになります– ⁠1/2⁠ < x – m ≤ ⁠1/2⁠そして– ⁠1/2⁠ < y – n ≤ ⁠1/2⁠、したがってN ( x – m + i ( y – n )) ≤ ⁠1/2⁠ . q = m + inとすると、

${\displaystyle a=bq+r,}$

と

${\displaystyle r=b{\bigl (}x-m+i(yn){\bigr )},}$

そして

${\displaystyle N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

半開区間におけるx – mとy – nの選択は、一意性を保つために必要である。このユークリッド分割の定義は、複素数ξから最も近いガウス整数までの距離が最大で⁠であることに注目することで、複素平面上で幾何学的に解釈することができる（図を参照）。√2​/2⁠ . ^[4]

ガウス整数環Gはユークリッド領域なので、G は主イデアル領域であり、これはGのすべてのイデアルが主 であることを意味します。明示的に、イデアルI は、 Iのすべての元の和とIの元とRの元の積がすべてIに属するような環Rの部分集合です。イデアルが主であるのは、それが単一の元gのすべての倍数から成り、つまり次の形式を持つ 場合です。

${\displaystyle \{gx\mid x\in G\}.}$

この場合、イデアルはgによって生成される、またはg はイデアルの 生成元であると言えます。

ガウス整数環のすべてのイデアルI は主イデアルです。なぜなら、 Iで最小ノルムの非ゼロ元g を選択した場合、 Iのすべての元xについて、 xをgでユークリッドに割った余りもIに属し、そのノルムはgのノルムよりも小さくなるからです。 gの選択により、このノルムはゼロであり、したがって余りもゼロです。つまり、x = qgであり、qは商です。

任意のgについて、 gによって生成されるイデアルは、gの任意の関連要素、つまりg、gi、 – g、 – giによっても生成されます。他の要素は同じイデアルを生成しません。イデアルのすべての生成元は同じノルムを持つため、イデアルのノルムはそのいずれかの生成元のノルムになります。

状況によっては、各イデアルの生成元を一度に選択すると便利です。これを行うには、2 つの古典的な方法があり、どちらも最初に奇数ノルムのイデアルを考慮します。g = a + bi のノルムが奇数a ² + b ²である場合、aとbの 1 つは奇数で、もう 1 つは偶数です。したがって、 g には、奇数かつ正の実部aを持つ関連が 1 つだけあります。ガウスは、最初の論文で別の選択を行い、 2 + 2 iで割った余りが1 になるような関連を 1 つ選択しました。実際、N (2 + 2 i ) = 8であるため、余りのノルムは 4 以下です。このノルムは奇数であり、3 はガウス整数のノルムではないため、余りのノルムは 1、つまり余りは単位です。この単位の逆数をgに掛けると、 2 + 2 iで割った余りが 1 になる関連が見つかります。

gのノルムが偶数の場合、g = 2 ^k hまたはg = 2 ^k h (1 + i ) のいずれかになります。ここで、 kは正の整数で、N ( h )は奇数です。したがって、奇数ノルムの要素の関連付けの選択に適合するh を取得するには、gの関連付けを選択します。

ガウス整数は主イデアル領域を形成するため、一意の因数分解領域も形成します。これは、ガウス整数が既約である（つまり、2 つの非単位の積ではない）のは、それが素数である（つまり、素イデアルを生成する）場合のみであることを意味します。

Z [ i ]の素元はガウス素数とも呼ばれます。ガウス素数の関連元もガウス素数です。ガウス素数の共役元もガウス素数です (これはガウス素数が実軸と虚軸に関して対称であることを意味します)。

正の整数がガウス素数となるのは、それが 3 を法として 4 と合同な素数である場合（つまり、4 n + 3と表記され、n は非負の整数である場合）に限ります（OEISのシーケンスA002145）。その他の素数はガウス素数ではありませんが、それぞれ 2 つの共役ガウス素数の積です。

ガウス整数a + bi がガウス素数となるのは、次のいずれかの場合のみです。

• a、bのいずれかがゼロであり、もう一方の絶対値が4 n + 3（nは負でない整数）の形式の素数であるか、または
• 両方ともゼロ以外であり、a ² + b ²は素数です（4 n + 3の形式にはなりません）。

言い換えれば、ガウス整数mは、そのノルムが素数であるか、またはm が単位 ( ±1, ± i ) と4 n + 3の形式の素数との積である場合に限り、ガウス素数となります。

したがって、ガウス整数における 素数自然数pの因数分解には 3 つのケースがあります。

• p が4 を法として 3 と合同である場合、それはガウス素数です。代数的整数論の言語では、p はガウス整数に対して不活性であると言われます。
• p が4 を法として 1 と合同である場合、それはガウス素数とその共役数の積であり、どちらも関連のないガウス素数です (どちらも他の素数の積ではありません)。pはガウス整数の分解素数であると言われています。たとえば、5 = (2 + i )(2 − i )および13 = (3 + 2 i )(3 − 2 i )です。
• p = 2の場合、2 = (1 + i )(1 − i ) = i (1 − i ) ²となります。つまり、 2 はガウス素数の平方と単位の積であり、ガウス整数の中で唯一の分岐素数です。

すべての一意の因数分解領域に関して、すべてのガウス整数は単位とガウス素数の積として因数分解することができ、この因数分解は因数の順序と、任意の素数をその関連素数のいずれかに置き換えること（および単位因数の対応する変更）まで一意です。

関連する素数の同値類ごとに固定されたガウス素数を一度だけ選択し、これらの選択された素数のみを因数分解に使用すれば、因数の順序まで一意な素因数分解が得られます。上記の選択により、結果として得られる一意の因数分解は次の形式になります。

${\displaystyle u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$

ここで、uは単位（つまり、u ∈ {1, –1, i , – i }）、e ₀およびkは非負の整数、e ₁、…、e _kは正の整数、p ₁、…、p _kは、選択された関連の選択に応じて、異なるガウス素数である。

• p _k = a _k + ib _k（aは奇数かつ正、bは偶数）
• または、 pk_を2+2iで割ったユークリッド余りが1になる（これはガウスの元々の選択である^[5]）。

2 番目の選択の利点は、選択された関連付けが奇数ノルムのガウス整数の積の下で適切に動作することです。一方、実数ガウス素数に対して選択された関連付けは負の整数です。たとえば、231 の整数での因数分解は、関連付けの最初の選択では3 × 7 × 11ですが、2 番目の選択では (–1) × (–3) × (–7) × (–11)です。

ガウス有理数体とは、ガウス整数環の分数の体です。実部と虚部がともに有理数である複素数から構成されます。

ガウス整数環は、ガウス有理数における整数の 積分閉包です。

これは、ガウス整数が2次整数であり、ガウス有理数がガウス整数であるのは、それが方程式の解である場合のみであること を意味します。

${\displaystyle x^{2}+cx+d=0,}$

cとdは整数である。実際、a + biは方程式の解である 。

${\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},}$

そして、この方程式は、 aとbが両方とも整数である場合にのみ、整数係数を持ちます。

任意の一意の因数分解領域に関して、2 つのガウス整数a、bの最大公約数(gcd)は、 aとbの公約数であるガウス整数dであり、これはaとbのすべての公約数を約数として持ちます。つまり、( |は割り切れる関係を表します)、

• d | aおよびd | b、そして
• c | aかつc | b はc | d を意味します。

したがって、最大は、割り切れる関係に対して相対的に意味され、環の順序付けに対して意味されるものではありません (整数の場合、最大の両方の意味は一致します)。

より技術的には、 aとbの最大公約数は、aとbによって生成されるイデアルの生成元です(この特徴付けは主イデアル領域に対して有効ですが、一般に、一意の因数分解領域に対しては有効ではありません)。

2 つのガウス整数の最大公約数は一意ではありませんが、単位による乗算まで定義されます。つまり、 aとbの最大公約数dが与えられた場合、 aとbの最大公約数はd、 – d、id、および– idになります。

2つのガウス整数aとbの最大公約数を計算する方法はいくつかある。aとbの素因数分解が分かっている場合、

${\displaystyle a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},}$

ここで素数p _mは互いに関連がなく、指数μ _mも互いに関連がない場合、最大公約数は

${\displaystyle \prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},}$

と

${\displaystyle \lambda _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).}$

残念ながら、単純な場合を除いて、素因数分解の計算は難しく、ユークリッドの互除法を使用すると計算がはるかに簡単 (かつ高速) になります。このアルゴリズムは、入力( a、b )を( b、r )に置き換え、この操作を余りがゼロになるまで繰り返します。つまり、ペア( d、 0)になります。このプロセスは、各ステップで 2 番目のガウス整数のノルムが減少するため終了します。結果のd は最大公約数です。これは、 (各ステップで) bとr = a – bq がaとbと同じ約数を持ち、したがって同じ最大公約数であるためです。

この計算方法は常に機能しますが、ユークリッド除算はより複雑なので、整数の場合ほど簡単ではありません。したがって、手書きの計算では 3 番目の方法が好まれることがよくあります。これは、aとbの最大公約数のノルムN ( d )がN ( a )、N ( b )、およびN ( a + b )の公約数であることに注目することです。これら 3 つの整数の最大公約数Dに因数が少ない場合、 D を割り切るノルムを持つすべてのガウス整数を公約数としてテストするのは簡単です。

たとえば、a = 5 + 3 i、b = 2 – 8 iの場合、N ( a ) = 34、N ( b ) = 68、N ( a + b ) = 74となります。 3 つのノルムの最大公約数は 2 なので、 aとbの最大公約数は1 または 2 をノルムとします。 ノルム 2 のガウス整数は1 + iに必ず関連しており、1 + i はaとb を割り切るので、最大公約数は1 + iです。

b をその共役なb = 2 + 8 iに置き換えると、 3 つのノルムの最大公約数は 34 で、これはaのノルムです。したがって、最大公約数はa、つまりa | bであると推測できます。実際は、2 + 8 i = (5 + 3 i )(1 + i )です。

法と呼ばれるガウス整数z _{0が与えられたとき、 2 つ}のガウス整数z 1 _、 z 2_は、それらの差がz _0の倍数である場合、つまり、 z ₁ − z ₂ = qz ₀となるガウス整数qが存在する場合、 z _{0 を}法として合同です。言い換えると、 2 つのガウス整数の差がz ₀によって生成されるイデアルに属する場合、それらの整数はz 0 を法として合同です。これは、 z ₁ ≡ z ₂ (mod z ₀ )と表されます。

z ₀を法とする合同は同値関係（合同関係とも呼ばれる）であり、ガウス整数の同値類（ここでは合同類または留数類と呼ばれる）への分割を定義します。留数類の集合は通常、Z [ i ]/ z ₀ Z [ i ]、またはZ [ i ]/ ⟨ z ₀ ⟩、あるいは単にZ [ i ]/ z ₀と表記されます。

ガウス整数aの剰余類は集合

${\displaystyle {\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}}$

aと合同なすべてのガウス整数。したがって、a ≡ b (mod z ₀ )の場合にのみ、a = b となります。

加算と乗算は合同性と互換性があります。つまり、a ₁ ≡ b ₁ (mod z ₀ )とa ₂ ≡ b ₂ (mod z ₀ )は、 a ₁ + a ₂ ≡ b ₁ + b ₂ (mod z ₀ )とa ₁ a ₂ ≡ b ₁ b ₂ (mod z ₀ )を意味します。これにより、剰余類に対する明確に定義された演算(代表の選択に依存しない) が定義されます。

${\displaystyle {\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{and}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.}$

これらの演算により、剰余類は可換環、つまりz ₀によって生成されるイデアルによるガウス整数の商環を形成します。これは伝統的にz _{0 を}法とする剰余類環とも呼ばれます(詳細については、商環を参照してください)。  

• 法1 + iにはちょうど 2 つの留数クラス、つまり0 = {0, ±2, ±4,…,±1 ± i , ±3 ± i ,…} (すべて1 + iの倍数) と1 = {±1, ±3, ±5,…, ± i , ±2 ± i ,…}があり、これらは複素平面で市松模様を形成します。したがって、これら 2 つのクラスは 2 つの元を持つ環を形成します。これは実際には、体 、つまり2つの元を持つ唯一の (同型を除いて) 体であり、したがって2 を法とする整数と同一視できます。これら 2 つのクラスは、整数を偶数と奇数の整数に分割することの一般化と考えることができます。したがって、偶数と奇数のガウス整数について話すことができます(ガウスは、さらに偶数ガウス整数を、2 で割り切れる偶数と半偶数に分割しました)。
• 法 2 には0、1、i、1 + iの4 つの剰余類があります。これらは 4 つの元を持つ環を形成し、任意のxに対してx = – x となります。したがって、この環は4 を法とする整数の環 (4 つの元を持つ別の環) と同型ではありません。1 + i ² = 0であるため、この環は 4 つの元を持つ有限体ではなく、2 を法とする整数の環の 2 つのコピーの直積でもありません。
• 法2 + 2i = ( i − 1) ^3には0、±1、± i、1 ± i、2の 8 つの剰余クラスがあり、そのうち 4 つには偶数のガウス整数のみが含まれ、残りの 4 つには奇数のガウス整数のみが含まれます。

剰余類のすべての要素は、上で説明した商と剰余が一意の除算を使用する限り、剰余類を z 0 で除算したときに同じ剰余を持ちます。したがって_、剰余類を列挙することは、可能な剰余を列挙することと同じです。これ_は、次のように幾何学的に行うことができます。

複素平面では、 2本の線で区切られた 正方形のグリッドを考えることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{and}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}}$

sとtは整数（図の青い線）。これらは平面を半開の正方形に分割します（mとnは整数）

${\displaystyle Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.}$

Q _mnの定義に現れる半開区間は、すべての複素数がちょうど1つの正方形に属するように選ばれている。つまり、正方形Q _mnは複素平面の 分割を形成する。

${\displaystyle Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.}$

これは、すべてのガウス整数がz _{0を法として}Q ₀₀内の一意のガウス整数（図の緑の四角）と合同であり、その整数をz ₀で割った余りであることを意味します。言い換えると、すべての剰余クラスにはQ ₀₀内の要素が 1 つだけ含まれます。

Q ₀₀内（またはその境界内）のガウス整数は、そのノルムが同じ留数クラス内の他のどのガウス整数のノルムよりも大きくないため、極小留数と呼ばれることがあります（ガウスはそれらを絶対最小の留数と呼びました）。

このことから、幾何学的な考察により、ガウス整数z ₀ = a + biを法とする剰余類の数は、そのノルムN ( z ₀ ) = a ² + b ^{2に等しいと推測できます (証明については下記を参照してください。同様に、整数の場合、} n を法とする剰余類の数は、その絶対値| n |です)。

ガウス整数z _{0 を}法とする剰余類環は、ガウス素数である 場合に限り、体である。${\displaystyle z_{0}}$

z ₀が分解素数または分岐素数1 + iの場合（つまり、そのノルムN ( z ₀ )が素数で、2 または 4 を法として 1 と合同な素数の場合）、剰余類体は素数の要素（つまり、N ( z ₀ )）を持ちます。したがって、これはN ( z ₀ )を法とする整数体と同型です。

一方、z ₀が不活性素数（つまり、N ( z ₀ ) = p ^{2 が}素数の平方で、 3 を法として 4 と合同）である場合、剰余類体はp ^{2個の要素を持ち、} p個の要素（ p を法とする整数）を持つ素体の 2 次（同型を除いて一意）の拡張です。

整数を法とする多くの定理 (およびその証明) は、法の絶対値をノルムに置き換えると、ガウス整数を法とする多くの定理に直接転用できます。これは、原始剰余類群( nを法とする整数の乗法群とも呼ばれる) とオイラーのトーシェント関数に特に当てはまります。法zの原始剰余類群は、その剰余類の部分集合として定義され、zと互いに素であるすべての剰余類a、つまり( a , z ) = 1が含まれます。明らかに、このシステムは乗法群を構築します。その要素の数はϕ ( z )で表されます(整数nに対するオイラーのトーシェント関数φ ( n )に類似)。

ガウス素数の場合、 ϕ ( p ) = | p | ² − 1が成り立ち、任意の合成ガウス整数の場合、

${\displaystyle z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}}$

オイラーの積の公式は次のように導出される。

${\displaystyle \phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)}$

ここで、積はzのすべての素因数p _mにわたって構築されます( ν _m > 0 )。また、オイラーの重要な定理を直接転送できます。

( a , z )=1^となるすべてのaに対して、 aϕ ^{( z )} ≡1(modz )が成立する。

ガウス整数環は、カール・フリードリヒ・ガウスが4次相互法に関する2番目のモノグラフ（1832年）で導入した。^[6] 2次相互法の定理（ガウスが1796年に初めて証明に成功した）は、合同式x ² ≡ q (mod p )の可解性とx ² ≡ p ( mod q )の可解性を関連付ける。同様に、3次相互法は、 x ³ ≡ q (mod p )の可解性とx ³ ≡ p (mod q )の可解性を関連付け、4次（または5次）相互法は、 x ⁴ ≡ q (mod p )とx ⁴ ≡ p (mod q )の関係である。ガウスは、双二次相互法則とその補足法則が、通常の整数 (つまり整数) についての記述よりも、「複素数全体」(つまりガウス整数) についての記述としての方が簡単に述べられ、証明できることを発見しました。

脚注では、アイゼンシュタイン整数は三次相互法則の結果を述べて証明するための自然な領域であると述べ、整数の同様の拡張が高次の相互法則を研究するための適切な領域であることを示しています。

この論文では、ガウス整数を紹介し、それが一意の因数分解領域であることを証明しただけでなく、現在では代数的整数論の標準となっているノルム、単位、一次、および準という用語も紹介しました。

未解決の問題のほとんどは、平面上のガウス素数の分布に関連しています。

• ガウスの円問題は、ガウス整数そのものを扱うのではなく、原点を中心とした指定された半径の円内の格子点の数を求めます。これは、指定された値より小さいノルムを持つガウス整数の数を決定することと同じです。

ガウス素数に関する推測や未解決の問題もあります。そのうちの 2 つは次のとおりです。

• 実軸と虚軸には、3、7、11、19、…などのガウス素数の無限集合とそれらの関連があります。無限個のガウス素数を持つ他の直線はありますか？特に、1 + kiの形のガウス素数は無限にありますか？^[7]
• ガウス素数を踏み石として使い、一様に制限された長さのステップを踏んで無限に歩くことは可能でしょうか？これはガウスの堀問題として知られており、1962年にバジル・ゴードンによって提起され、未だに解決されていません。^{[8] [9]}

• 代数的整数
• 円分体
• アイゼンシュタイン整数
• アイゼンシュタイン素数
• フルヴィッツ四元数
• 2平方数の和に関するフェルマーの定理の証明
• 二次相互性の証明
• 二次整数
• ガロア拡大における素イデアルの分割は、ガウス整数における素イデアルの構造を記述する。
• ガウス整数分解の表

• ガウス、CF (1831)、「Theoria residuorum biquadraticorum。Commentatio secunda.」、Comm.社会登録科学。ゲッティンゲン、7 : 89–148​; Werke、Georg Olms Verlag、ヒルデスハイム、1973 年、93 ～ 148 ページに再版。この論文のドイツ語訳は、「H.メーザー (編): Carl Friedrich Gauss の Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik。 Springer、ベルリン、1889 年、534 ページ。
• フレイリー、ジョン B. (1976)、抽象代数入門(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• クライナー、イスラエル (1998)。「数から環へ: 環理論の初期の歴史」。Elem . Math. 53 (1): 18– 35. doi : 10.1007/s000170050029 . Zbl  0908.16001。
• リベンボイム、パウロ(1996)。『素数記録の新書（第3版）』。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-94457-5.ZBL0856.11001  。​
• ヘンリー・G・ベイカー（1993年）。「ガウス・グラフィックスのための複素ガウス整数」「ACM SIGPLAN通知. 28（11）：22– 27. doi：10.1145 / 165564.165571. S2CID  8083226.

• 問題解決における二次拡張とガウス整数に関する IMO 概論テキスト
• キース・コンラッド『ガウス整数』