ギリーズの推測

数論において、ギリーズ予想はメルセンヌ数の素因数の分布に関する予想であり、ドナルド・B・ギリーズが1964年の論文^[1]で行ったもので、その論文で彼は3つの新しいメルセンヌ素数の発見も発表した。この予想は素数定理の特殊化であり、 IJグッド^[2]とダニエル・シャンクス^[3]による予想を改良したものである。この予想は未解決の問題であり、いくつかの論文が経験的に裏付けているが、広く受け入れられている（しかし未解決でもある）レンストラ・ポメランス・ワグスタッフ予想とは矛盾している。

${\displaystyle {\text{もし}}}$${\displaystyle A<B<{\sqrt {M_{p}}}{\text{、}}B/A{\text{ および }}M_{p}\rightarrow \infty {\text{、}}M の素因数の数}$

${\displaystyle {\text{ 区間 }}[A,B]{\text{ はポアソン分布に従う}}}$

${\displaystyle {\text{平均}}\sim {\begin{ケース}\log(\log B/\log A)&{\text{ if }}A\geq 2p\\\log(\log B/\log 2p)&{\text{ if }}A<2p\end{ケース}}}$

彼は、彼の推測は、

1. より小さいメルセンヌ素数の数はです。${\displaystyle x}$${\displaystyle ~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x}$
2. のMersenne 素数の期待値はです。${\displaystyle M_{p}}$${\displaystyle x\leq p\leq 2x}$${\displaystyle \sim 2}$
3. が素数である確率は です。${\displaystyle M_{p}}$${\displaystyle ~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}}$

レンストラ・ポメランス・ワグスタッフ予想は異なる値を与える：^{[4] [5]}

1. より小さいメルセンヌ素数の数はです。${\displaystyle x}$${\displaystyle ~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x}$
2. のMersenne 素数の期待値はです。${\displaystyle M_{p}}$${\displaystyle x\leq p\leq 2x}$${\displaystyle \sim e^{\gamma }}$
3. が素数である確率は、 p = 3 mod 4 の場合はa = 2 、それ以外の場合は 6です。${\displaystyle M_{p}}$${\displaystyle ~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}}$

漸近的にこれらの値は約 11% 小さくなります。

ギリーの推測は未だに未解決のままであるが、1964年のアーマンの論文を含むいくつかの論文がその妥当性を実証的に裏付けている。^[6]