算術平均

数学と統計学において、算術平均( / ˌ æ r ɪ θ ˈ m ɛ t ɪ k / )算術平均（ ^ⓘ arr-ith- MET -ik）は、数値の集合の合計を、その集合に含まれる数値の数で割ったものです。[ ^{1 ]この}集合は、多くの場合、実験、観察研究、または調査の結果の集合です平均や調和平均などの他の種類の平均と区別するのに役立つため、「算術平均」という用語が好まれる場合があります。

算術平均は、経済学、人類学、歴史学、そしてその他ほぼすべての学問分野で、ある程度頻繁に用いられています。例えば、一人当たり所得は、国民の所得の算術平均です。

算術平均は中心傾向を示すためによく用いられますが、頑健な統計量とは言えません。外れ値（他のほとんどの値よりもはるかに大きい値や小さい値）の影響を大きく受けやすいからです。所得分布のように、少数の所得が大多数の所得よりも著しく高いといった歪んだ分布の場合、算術平均は「中央値」という概念と一致しない可能性があります。そのような場合は、中央値などの頑健な統計量の方が、中心傾向をより適切に表すことができるでしょう。

観測データの算術平均は、各観測値の数値の合計を観測値の総数で割った値に等しくなります。記号で表すと、次の値からなるデータセットの場合、${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$算術平均は、次の式で定義されます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {x}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}$

簡単に言うと、算術平均の公式は次のとおりです。

$\displaystyle {\frac {\text{すべての値の合計}}{\text{値の数}}}}$

例えば、月給が${\displaystyle 5}$従業員は${\displaystyle \{2500,2700,2300,2650,2450\}}$すると、算術平均は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {2500+2700+2300+2650+2450}{5}}=2520}$

データセットが統計的母集団（つまり、考えられるすべての観測値から構成され、その部分集合ではない）である場合、その母集団の平均は母平均と呼ばれ、ギリシャ文字で表されます。${\displaystyle \mu }$データセットが統計的サンプル（母集団の部分集合）である場合、それはサンプル平均（データセットの場合）と呼ばれます。${\displaystyle X}$と表記される${\displaystyle {\overline {X}}}$)

算術平均は、スカラー値だけでなく、多次元のベクトルに対しても同様に定義できます。これはしばしば重心と呼ばれます。より一般的には、算術平均は凸結合であるため（つまり、その係数の合計は${\displaystyle 1}$) は、ベクトル空間だけでなく凸空間上でも定義できます。

米国国立標準局の上級研究員である統計学者のチャーチル・アイゼンハートは、算術平均の歴史を詳細にたどった。近代では、磁北の方向の推定など、同一であるはずなのにそうでないさまざまな観測値を組み合わせる方法として使われ始めた。1635年、数学者のヘンリー・ジェリブランドは、算術平均とは少し違う、最小値と最大値の中間点を「平均」と表現した。 1668年、「DB」として知られる人物が、王立協会の紀要で、5つの値の「平均を取る」ことについて述べていると引用されている。 ^{[ 3 ]}

この表で、彼（シュトゥルミー大尉）は最大の差が14分であることを指摘し、真の偏角の平均を取って、その場でわずか1度27分であると結論付けています。

算術平均には、特に中心傾向の指標として興味深い特性がいくつかあります。それらには以下が含まれます。

• 数字の場合${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$平均を持つ${\displaystyle {\bar {x}}}$、 それから${\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0}$。 以来${\displaystyle x_{i}-{\bar {x}}}$は、ある数値から平均値までの距離です。この性質を解釈する一つの方法は、平均値の左側の数値が右側の数値によってバランスが取れていると言うことです。平均値は、残差（推定値からの偏差）の合計がゼロになる唯一の数値です。これはまた、任意の実数に対して、平均値が並進不変であるという意味でも解釈できます。${\displaystyle a}$、${\displaystyle {\overline {x+a}}={\bar {x}}+a}$。
• 既知の数値の集合に対して、単一の数値を「代表値」として使用する必要がある場合${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$すると、数値の算術平均が、標準値からの二乗偏差の合計を最小化するため、これを最もよく行います。${\displaystyle (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$標本平均は、二乗平均平方根誤差が最も低いため、最良の単一予測値でもあります。^{[ 4 ]}数値の母集団の算術平均が必要な場合は、母集団から抽出した標本の算術平均が不偏推定値となります。

• 算術平均は測定単位のスケールに依存しない、つまり${\displaystyle {\text{avg}}(ca_{1},\cdots ,ca_{n})=c\cdot {\text{avg}}(a_{1},\cdots ,a_{n}).}$ 例えば、リットルの平均値を計算してからガロンに変換することは、最初にガロンに変換してから平均値を計算することと同じです。これは一次同次性とも呼ばれます。

算術平均は、データセットの上位半分と下位半分を分ける値である中央値とは異なります。データセットの値が等差数列を形成する場合、中央値と算術平均は等しくなります。たとえば、データセットでは${\displaystyle {1,2,3,4}}$平均値と中央値はどちらも${\displaystyle 2.5}$。

場合によっては、平均値と中央値が大きく異なることがあります。たとえば、データセットでは${\displaystyle {1,2,4,8,16}}$算術平均は${\displaystyle 6.2}$中央値は${\displaystyle 4}$これは、平均値が極端な値に影響を受けやすく、ほとんどのデータポイントの中心傾向を正確に反映しない可能性があるためです。

この区別は、さまざまな分野にわたって実際的な意味合いを持つ。例えば、1980年代以降、米国の所得中央値は算術平均所得よりも緩やかなペースで増加している。^{[ 5 ]}

同様に、気候研究では、日平均気温の分布は正規分布に近似する傾向があるのに対し、年間または月間降水量の合計は歪んだ分布を示すことが多く、一部の期間では合計が異常に高く、ほとんどの期間では比較的低い値になります。このような場合、中央値は中心傾向のより代表的な尺度となります。^{[ 6 ]}

算術平均は、多くの場合、バー（括弧またはマクロン）で表されます。${\displaystyle {\bar {x}}}$[ ^{4 ]​}

• 期待値
• フレシェとは
• 一般化平均
• 算術平均と幾何平均の不等式
• 標本平均と共分散
• 標準偏差
• 平均の標準誤差
• 要約統計

• ハフ、ダレル（1993）。統計で嘘をつく方法。WWノートン。ISBN 978-0-393-31072-6。