関数の平均

微積分学、特に多変数微積分学では、関数の平均は関数の定義域における平均値として大まかに定義される。1変数の場合、区間( a , b ) における関数f ( x )の平均は次のように定義される: ^[1]

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

有限数の平均値の定義的性質 は であることを思い出してください。言い換えると、は定数であり、これを回加算すると の項を 加算した結果に等しくなります。類推により、区間 上の関数の平均値の定義的性質は です。 ${\displaystyle {\bar {y}}}$${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}$${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle {\bar {f}}}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

言い換えれば、は を積分すると を積分した結果に等しい定数値です。しかし、定数の積分は ${\displaystyle {\bar {f}}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle {\bar {f}}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(ba){\bar {f}}.}$

積分に関する第一平均値定理も参照のこと。 これは、が連続であれば、${\displaystyle f}$${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba).}$

点はにおけるの平均値と呼ばれます。したがって、 前の式を書き直して整理すると、上記の定義が得られます。 ${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle {\bar {f}}=f(c)}$

複数の変数がある場合、ユークリッド空間内の比較的コンパクトな 領域 U上の平均は次のように定義されます。

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f.}$

これは算術平均を一般化したものです。一方、fの幾何平均を次のように 定義することで、幾何平均を関数に一般化することも可能です。

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f\right).}$

より一般的には、測度論と確率論では、どちらの種類の平均も重要な役割を果たします。この文脈では、ジェンセンの不等式は、関数の平均に関するこれら 2 つの異なる概念の関係に明確な推定値を与えます。

関数の調和平均と関数の二次平均（または二乗平均平方根）もあります。

• 平均