粗い構造

幾何学と位相幾何学の数学の分野において、集合X上の粗い構造は、距離空間と位相空間の大規模な構造を定義できる 特定の特性を持つ直積X × Xの部分集合の集合である。

伝統的な幾何学と位相幾何学の関心は、空間の小規模な構造に関するものです。関数の連続性などの特性は、小さな開集合の逆像、つまり近傍自体が開いているかどうかに依存します。空間の大規模な特性、たとえば有界性や空間の自由度は、そのような特徴に依存しません。粗い幾何学と粗い位相幾何学は、空間の大規模な特性を測定するためのツールを提供します。計量や位相幾何学に空間の小規模な構造に関する情報が含まれるのと同様に、粗い構造にはその大規模な特性に関する情報が含まれます。

正確には、粗い構造は位相構造の大規模な類似物ではなく、均一な構造の大規模な類似物です。

あ集合 上の粗い構造は、（したがって、上の二項関係のより一般的な分類に該当する）の部分の集合である${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$被制御集合sであり、恒等関係を持ち、部分集合、逆集合、有限和をとることについて閉じており、関係 の合成。明示的には、 ${\displaystyle \mathbf {E} }$

1. 恒等/対角線:

   対角線は 恒等関係の要素です。${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

2. サブセットを取得して閉じる:

   もし、そして${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$${\displaystyle F\subseteq E,}$${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$

3. 逆の措置を講じて閉鎖：

   の場合、逆（または転置）はの要素であり、逆関係です。${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

4. 組合の受け入れにより閉鎖中:

   もし彼らの組合が${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\cup F}$${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. 構成により閉じられています:

   の場合、それらの積はのメンバーであり、関係の合成です。${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ }}z\in X{\text{ が存在し、}}(x,z)\in E{\text{ かつ }}(z,y)\in F\}} となる$${\displaystyle \mathbf {E} }$

粗い構造を持つ集合は${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} }$粗いスペース。

集合のサブセットは次のように定義されます。${\displaystyle K}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle E[K]}$${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ ある }}k\in K\} に対して。}$のセクションは集合とも表記されます。記号は集合 を表します。投影の形式です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E[\{x\}],}$${\displaystyle E_{x}.}$${\displaystyle E^{y}}$${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$

のサブセットは、${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$制御された集合である 場合は有界集合。${\displaystyle B\times B}$

制御された集合は「小さな」集合、または「無視できる集合」です。つまり、 が制御される集合は無視できますが、そのグラフが制御される関数は恒等関数に「近い」のです。有界粗構造では、これらの集合は有界集合であり、関数は一様計量における恒等関数から有限の距離にある関数です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle f:X\to X}$

集合と粗い構造が与えられたとき、写像と写像は${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:S\to X}$${\displaystyle g:S\to X}$制御されたセットの 場合は閉じます。${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$

粗い構造の場合、それは${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f:X\to Y}$粗写像とは、集合の各有界集合に対して集合が有界で集合の各被制御集合に対して^[1]で制御され、${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (f\times f)(E)}$${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$が に近く、が に近いようなやが存在する場合、粗く同値である。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

• の計量空間 上の有界粗構造は、 が有限であるようなの部分の集合です。この構造では、整数格子は- 次元ユークリッド空間と粗く等価です。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle n}$
• 制御されている空間は${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$有界空間。このような空間は点と粗同値である。有界粗構造を持つ距離空間は、距離空間として有界である場合に限り、粗空間として有界である。
• 自明な粗い構造は、対角線とその部分集合のみで構成されます。この構造では、マップは、(集合の) 全単射である場合にのみ、粗い同値になります。
• の${\displaystyle C_{0}}$距離空間上の粗い構造は、すべてに対してとなるようなのすべての部分集合の集合です。すべてに対してとのコンパクト集合存在しますあるいは、 のすべての部分集合の集合がようなもの。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle \{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}$
• の集合上の離散的な粗い構造は、対角線有限個の点のみを含む部分集合から構成されます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle (x,y)}$
• が位相空間である場合、${\displaystyle X}$上の非離散的な粗構造はの適切なから構成されますつまり場合、 および とすべての部分集合相対的にコンパクトです。${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E[K]}$${\displaystyle E^{-1}[K]}$${\displaystyle K}$

• ボルノロジー – 有界性の数学的一般化
• 準等長関数 – 2つの距離空間間の関数で、その大規模な幾何学のみを尊重する
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間

• ジョン・ロー、「粗幾何学の講義」、大学講義シリーズ第31巻、アメリカ数学会：ロードアイランド州プロビデンス、2003年。粗幾何学の講義の訂正
• Roe, John (2006 年 6 月- 7 月)。「粗い空間とは何か?」( PDF )。アメリカ数学会の通知。53 (6): 669。2008年 1 月 16 日閲覧。