ランタン関係

数学の一分野である幾何学的位相幾何学において、ランタン関係とは、面の写像類群における特定のデーンねじれの間に現れる関係である。この関係の最も一般的なバージョンには、7つのデーンねじれが含まれる。この関係は、1979年にデニス・ジョンソンによって発見された。^[1]

一般的な形式

ランタン関係の一般的な形は、右の図に示すように、3つの穴を持つ円板の写像類群における7つのデーンツイストを含む^[1]^{[2] 。関係によれば、}

D A D B D C = D R D S D T D U

、

ここで、 $D A$ 、 $D B$ 、および $D C は$ 、青い曲線 $A$ 、 $B$ 、および $C$ の周りの右手デーンねじれであり、 $D R$ 、 $D S$ 、 $D T$ 、 $D U$ は、4 つの赤い曲線の周りの右手デーンねじれです。

右側のデーンのねじれ $D R$ 、 $D S$ 、 $D T$ 、 $D U は$ すべて可換であることに注意します（曲線は互いに素であるため、出現する順序は重要ではありません）。ただし、左側の 3 つのデーンのねじれの巡回順序は重要です。

D A D B D C = D B D C D A = D C D A D B

。

3 つの穴がある円板のランタン関係を述べたが、この関係は、そのような円板を非自明な方法で埋め込むことができる任意の表面のマッピング類群に現れる。設定によっては、ランタン関係に現れるデーンツイストの一部は恒等関数に同型になる可能性があり、その場合、関係に含まれるデーンツイストは 7 つ未満になる。

ランタン関係は、サーフェスのマッピングクラスグループのさまざまな表現で使用されます。

^ ab Johnson, Dennis L. (1979). 「ホモロジーに自明に作用する面の同相写像」(PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 75 (1). American Mathematical Society: 119–125. doi : 10.2307/2042686 . JSTOR 2042686.
^ Stipsicz, András; Özbağci, Burak (2004).接触3次元多様体とスタイン面の手術。ベルリン: Springer。ISBN 3-540-22944-2。