無視できるセット

数学において、無視できる集合とは、ある目的のために無視できるほど小さい集合のことです。一般的な例として、数列の極限を調べるときは有限集合を無視することができ、測定可能な関数の積分を調べるときは零集合を無視することができます。

無視できる集合は、ほぼどこでも真実など、さまざまな状況に適用できるいくつかの便利な概念を定義します。これらが機能するためには、一般に、無視できる集合がイデアルを形成することだけが必要です。つまり、空集合が無視できること、 2 つの無視できる集合の和集合が無視できること、無視できる集合の任意の部分集合が無視できることです。目的によっては、このイデアルがシグマ イデアルであることも必要です。これにより、無視できる集合の可算和集合も無視できるようになります。IとJが両方とも同じ集合Xの部分集合のイデアルである場合、 I無視できる部分集合とJ無視できる部分集合と言うことができます。

無視できる集合の反対は、さまざまな形式を持つ一般的なプロパティです。

X を自然数の集合Nとし、Nのサブセットが有限であれば無視できるものとします。すると、無視できる集合はイデアルを形成します。この考え方は任意の無限集合に適用できますが、有限集合に適用すると、すべてのサブセットが無視できるようになり、あまり有用な概念ではありません。

または、X を非可算集合とし、Xのサブセットが可算であれば無視できるものとします。この場合、無視できる集合はシグマ イデアルを形成します。

X を測度mを備えた可測空間とし、 Xの部分集合がm - nullである場合に無視できるとします。すると、無視できる集合はシグマイデアルを形成します。 X上のすべてのシグマイデアルは、Xに適切な測度を置くことによってこのように回復できますが、測度はかなり病的である可能性があります。

X を実数の集合Rとし、各 ε > 0 に対して、^{[1]次を満たす有限または可算な区間の集合}I ₁、I ₂ 、…が存在するとき、 Rの部分集合A は無視できるものとする。(重複する場合もある)

${\displaystyle A\subset \bigcup _{k}I_{k}}$

そして

${\displaystyle \sum _{k}|I_{k}|<\epsilon .}$

これは、ルベーグ測度を使用した前述の例の特殊なケースですが、初歩的な用語で説明されています。

X を位相空間とし、部分集合が第 1 カテゴリである場合、つまり、どこにも稠密でない集合の可算な和である場合に、その部分集合は無視できるものとします(集合がどこにも稠密でないとは、どの開集合にも稠密でないことを意味します)。この場合、無視できる集合はシグマ イデアルを形成します。

X を有向集合とし、X のサブセットが上限 を持つ場合、そのサブセットは無視できるものとします。この場合、無視できる集合はイデアルを形成します。最初の例は、 Nの通常の順序付けを使用した特殊なケースです。

粗い構造では、制御されたセットは無視できます。

X を集合とし、I を X の無視できる部分集合のイデアルとします。pがXの要素に関する命題である場合、pが真となる点の集合が無視できる集合の補集合であれば、 p はほとんどどこでも真となります。つまり、p は常に真であるとは限りませんが、偽となることは非常にまれなので、ここではこれを無視できます。

fとg がXから同じ空間Yへの関数である場合、それらがほぼすべての点で等しい場合、 fとg は同値です。導入段落を正確にするために、X をNとし、無視できる集合を有限集合とします。すると、 fとg はシーケンスになります。Y が位相空間である場合、fとg は同じ極限を持つか、どちらも極限を持ちません。(これを有向集合に一般化すると、ネットの場合を除いて同じ結果になります。) または、X を測度空間とし、無視できる集合をヌル集合とします。Y が実数直線 Rである場合、fとg は同じ積分を持つか、どちらの積分も定義されません。

• 無視できる機能
• 汎用プロパティ