関数の極限

仮定する${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$は実数直線上で定義された関数であり、2 つの実数pとLがあります。次のように言うことができます。「 x がpに近づくときのfのxの極限は存在し、それはLに等しい」。そして次のように書きます。^{[ 9 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$ あるいは、「f ( x )はxがpに近づくにつれてLに近づく」と言って、次のように書きます。 $${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,}$$ 次の性質が成り立つ場合：すべての実数ε > 0に対して、すべての実数xに対して0 < | x − p | < δならば| f ( x ) − L | < εとなるような実数δ > 0が存在する。^{[ 9 ]}記号的には、 $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

例えば、次のように言うことができる。 $${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$ なぜなら、すべての実数ε > 0に対して、 δ = ε /4とすることができるため、すべての実数xに対して、0 < | x − 2 | < δならば、| 4 x + 1 − 9 | < εとなるからである。

実数直線の部分集合上で定義された関数には、より一般的な定義が適用されます。Sを の部分集合とします。${\displaystyle \mathbb {R} .}$⁠させよう${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$を実数値関数とする。pを、 pを含むある開区間( a , b )が存在し、${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$f がxに近づくときの極限がLであるとは、次の場合に言われる。

象徴的に言えば、 $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

例えば、次のように言うことができる。 $$\lim_{x\to 1}{\sqrt{x+3}}=2}$$ なぜなら、すべての実数ε > 0に対してδ = εとすることができるため、すべての実数x ≥ −3に対して、0 < | x − 1 | < δならば、| f ( x ) − 2 | < εとなるからです。この例では、S = [−3, ∞)は点 1 の周りの開区間 (例えば、区間 (0, 2)) を含みます。

ここで、極限の値は、f がpで定義されているかどうか、また、 f ( p )が定義されている場合の値にも依存しないことに注意してください。たとえば、${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$$${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$なぜなら、任意のε > 0 に対してδ = ε /2とすることができるため、すべての実数x ≠ 1に対して、0 < | x − 1 | < δならば、| f ( x ) − 3 | < εとなるからである。ここでf (1)は定義されていないことに注意する。

実際、限界は${\displaystyle \{p\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R}$ :\,p\in (a,b){\text{ かつ }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},} これは等しい${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$ここで、int SはSの内部であり、iso S ^cはSの補集合の孤立点です。前の例では、${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$具体的には、この極限の定義では、1 における極限は存在できるが、0 や 2 における極限は存在しないことがわかる。

文字εとδ は「誤差」と「距離」と理解できます。実際、コーシーはいくつかの著作でε を「誤差」の略語として使用しましたが、^{[ 4 ]}連続性の定義では無限小の δ を使用しました。${\displaystyle \alpha }$εまたはδのどちらかではなく(解析学講義を参照)。この用語では、極限値における測定誤差( ε ) は、極限点までの距離 ( δ ) を小さくすることで、望むだけ小さくすることができます。後述するように、この定義はより一般的な文脈の関数にも適用できます。δとε が距離を表すという考え方は、これらの一般化を示唆するのに役立ちます。

あるいは、x は上（右）または下（左）からpに近づく場合があり、その場合、極限は次のように表すことができます。

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

または

$$\lim_{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

それぞれ。これらの極限が p で存在し、かつ等しい場合、これをpにおけるf ( x )の極限と呼ぶことができます。^{[ 10 ]}片側極限がpで存在するが等しくない場合、 pには極限がありません(つまり、 pにおける極限は存在しません)。片側極限のいずれかがpで存在しない場合、 pにおける極限も存在しません。

正式な定義は以下のとおりである。xが上方からpに近づくときのfの極限は、以下の条件を満たす場合にLとなる。

任意のε > 0に対して、 0 < x − p < δのとき、| f ( x ) − L | < εとなるようなδ > 0が存在する。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<xp<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

xが下からpに近づくときのfの極限は、以下の条件を満たす場合にLとなる。

任意のε > 0に対して、 0 < p − x < δのとき、| f ( x ) − L | < εとなるようなδ > 0が存在する。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<px<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

極限が存在しない場合、pにおけるfの振動はゼロではない。

限界は、領域の部分集合からアプローチすることによっても定義できる。

一般に: ^{[ 11 ]}とします${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ある実数値関数で、${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$p をある関数の極限点とする${\displaystyle T\subset S}$すなわち、p は、 pとは異なるTの要素の列の極限である。このとき、 x がTの値からpに近づくときのfの極限をLといい、次のように表記する。 $${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$ 以下の条件が満たされる場合：

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

なお、T は関数fの定義域Sの任意の部分集合とすることができます。また、極限値はTの選択によって変化する可能性があります。この一般化には、区間上の極限、実数値関数の左側極限 (例えば、T を(–∞, a )の形の開区間とする場合)、右側極限 (例えば、T を( a , ∞ )の形の開区間とする場合) が特殊なケースとして含まれます。また、片側極限の概念を (半) 閉区間の端点にまで拡張し、平方根関数も対象とします。${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$xが上から0に近づく とき、0の制限値を持つことができます。$${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$なぜなら、すべてのε > 0 に対して、すべてのx ≥ 0に対して、0 < | x − 0 | < δならば| f ( x ) − 0 | < εとなるようなδ = ε ²を取ることができるからである。

この定義により、同じ極限点を持つ適切な部分集合Tを選択すれば、領域Sの極限点において極限を定義することができる。

特に、以前の両面定義は、${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$これはSの極限点の部分集合である。

例えば、${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$以前の両面定義は、${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$しかし、 Sの極限点である 0 または 2 では機能しません。

ここで与えられた極限の定義は、pにおけるfの定義方法（または定義の有無）に依存しません。Bartle ^{[ 12 ]}は、 pにおけるfの値を除外するため、これを削除極限と呼んでいます。対応する非削除極限は、pがfの定義域内にある場合、pにおけるfの値に依存します。${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$は実数値関数とする。xがpに近づくときのfの非削除極限は、次の場合にLとなる。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

定義は同じだが、削除された近傍0 < | x − p | < δとは対照的に、近傍| x − p | < δには点pが含まれる。これにより、削除されない極限の定義は一般性が低くなる。削除されない極限を扱う利点の 1 つは、関数に制約を課すことなく (削除されない極限の存在以外に)合成の極限に関する定理を述べることができることである。^{[ 13 ]}

バートル^{[ 12 ]}は、「限界」という言葉で、削除されていない限界を意味する著者もいるが、削除された限界が最も一般的であると指摘している^{[ 14 ] 。}

させて${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$で定義された関数である${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$xが無限大に近づくときのfの極限はLであり、次のように表される。

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

つまり、次のことを意味します。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

同様に、x がマイナス無限大に近づくときのfの極限はLであり、次のように表される。

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

つまり、次のことを意味します。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

例えば、 $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$ なぜなら、すべてのε > 0に対して、すべての実数xに対して、x > cならば| f ( x ) − 4 | < εとなるようなc = 3/ εを取ることができるからである。

別の例としては、 $${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$ なぜなら、すべてのε > 0に対して、すべての実数xに対して、x < − cならば| f ( x ) − 0 | < εとなるようなc = max{1, −ln( ε )}を取ることができるからである。

値が際限なく増加する関数は発散し、通常の極限は存在しない。しかし、このような場合でも、無限大の値をとる極限を導入することは可能である。

させて${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$で定義された関数である${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$xがpに近づくときのfの極限は無限大であるという記述は、

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

つまり、次のことを意味します。

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

xがpに近づくときのfの極限はマイナス無限大であるという記述は、

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

つまり、次のことを意味します。

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

例えば、 $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$なぜなら、 N > 0 のすべてに対して、${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$すべての実数x > 0に対して、0 < x − 1 < δならばf ( x ) > Nとなる。

これらのアイデアを組み合わせて、次のようなさまざまな組み合わせの定義を作成できます。

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$または${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

例えば、 $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$ なぜなら、任意のN > 0に対して、 δ = e ^{− N}とすることで、すべての実数x > 0に対して、0 < x − 0 < δならばf ( x ) < − Nとなるからです。

無限大を含む極限は漸近線の概念と関連している。

これらの極限の概念は、無限遠における極限に距離空間的な解釈を与えようとするものである。実際、それらは位相空間における極限の定義と整合しており、

• −∞ の近傍は、ある ⁠ に対して区間[−∞, c )を含むものとして定義される。${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$⁠
• ∞ の近傍は、区間( c , ∞]を含むものと定義される。${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$そして​
• 近隣の⁠${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$⁠ は、通常の距離空間で定義されます。${\displaystyle \mathbb {R} .}$⁠

この場合、${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$は位相空間であり、 の形の任意の関数は${\displaystyle f:X\to Y}$と${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$これは、極限の位相的定義に従う。この位相的定義を用いると、有限点における無限極限を容易に定義できることに注意されたい。これは、上記では計量的な意味で定義されていない。

多くの著者^{[ 15 ]}は、射影的に拡張された実数直線を、無限値と拡張された実数直線の両方を含める方法として使用できると述べている。この表記法では、拡張された実数直線は次のように与えられる。${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$⁠そして射影的に拡張された実数直線は⁠${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$∞ の近傍は、次の形式の集合である。${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$ 利点は、すべてのケースを網羅するために、極限の定義を 3 つ (左、右、中央) するだけで済むことです。上記のように、完全に厳密な説明をするには、無限大の各組み合わせ (5 つの方向: − ∞、左、中央、右、および + ∞、3 つの境界: − ∞、有限、または + ∞ ) ごとに 15 の個別のケースを考慮する必要があります。注目すべき落とし穴もあります。たとえば、拡張実数直線を扱う場合、${\displaystyle x^{-1}}$中心極限を持たない（これは正常である）：

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

対照的に、射影実数直線を扱う場合、無限大（0と同様に）は符号なしであるため、その文脈では中心極限が存在する。

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

実際、矛盾する形式体系が多数使用されている。数値微分積分の特定の応用では、例えば、符号付きゼロを持つことが便利である。単純な理由は、${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$すなわち、${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$真であるとみなされる。このようなゼロは、無限小の近似値と見なすことができる。

有理関数の無限大における極限を評価するための基本的なルールは3つあります。${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$（ここでpとqは多項式である）：

• pの次数がqの次数より大きい場合、極限値は最高次係数の符号に応じて正の無限大または負の無限大となる。
• pとqの次数が等しい場合、極限値はpの最高次係数をqの最高次係数で割った値になります。
• pの次数がqの次数より小さい場合、極限値は0になります。

無限大における極限が存在する場合、それはy = Lにおける水平漸近線を表します。多項式には水平漸近線はありませんが、有理関数にはそのような漸近線が存在する場合があります。

| x − p |が距離を表すことに注目すると、極限の定義は複数の変数を持つ関数にも拡張できます。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$定義済み${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$極限は次のように定義されます。( x , y )が( p , q )に近づくときのfの極限はLであり、次のように表記されます。

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

以下の条件が満たされる場合：

任意のε > 0に対して、すべてのx ∈ Sおよびy ∈ Tに対して、${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$| f ( x , y ) − L | < εである。^{[ 16 ]}

または正式には： $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

ここ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$これは( x , y )と( p , q )の間のユークリッド距離です。（実際には、これは任意のノルム| | ( x , y ) − ( p , q ) | |に置き換えることができ、任意の数の変数に拡張できます。）

例えば、次のように言うことができます。 $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$ なぜなら、すべてのε > 0に対して、${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$すべての実数x ≠ 0および実数y ≠ 0に対して、${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$すると| f ( x , y ) − 0 | < εとなります。

単一変数の場合と同様に、この極限の定義では( p , q )におけるfの値は重要ではありません。

このような多変数極限が存在するためには、この定義では、 fの値が( p , q )に近づくすべての可能な経路に沿ってLに近づくことが必要である。^{[ 17 ]}上記の例では、関数は $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$この条件を満たしている。これは極座標を 考慮することで確認できる。$${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$ これにより $${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$ ここでθ = θ ( r )はrの関数であり、 f が( p , q )に近づく経路の形状を制御します。cos θは[−1, 1] の範囲内にあるため、サンドイッチ定理により、この極限は 0 に近づきます。

対照的に、関数 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$(0, 0) には極限がありません。パス( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0)を取ると、次のようになります。 $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$ 経路( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0)をたどると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

2 つの値が一致しないため、( x , y )が(0, 0)に近づくにつれてf は単一の値に収束しません。

あまり一般的ではないが、多変数関数には、多重極限と呼ばれる別の種類の極限が存在する。2変数関数の場合、これは二重極限である。^{[ 18 ]}${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$xがpに近づき、yがqに近づくときのfの二重極限をLと言い、次のように書きます。

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

以下の条件が満たされる場合：

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

このような二重極限が存在するためには、この定義によれば、 fの値は( p , q )に近づくすべての可能な経路に沿ってLに近づく必要があり、ただしx = pとy = qの 2 つの直線は除きます。結果として、多重極限は通常の極限よりも弱い概念となります。通常の極限が存在し、Lに等しい場合、多重極限も存在し、Lに等しくなります。逆は真ではありません。多重極限の存在は通常の極限の存在を意味しません。例を考えてみましょう。 $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$ どこ $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$ しかし $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$存在しません。

fの定義域が制限されている場合${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$すると、2つの極限の定義が一致する。^{[ 18 ]}

多重極限の概念は、一変数関数と同様に、無限大における極限まで拡張できる。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$xとyが無限大に近づくときのfの二重極限をLと言い、次のように書きます。 $${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

以下の条件が満たされる場合：

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

xとyがマイナス無限大に近づくときのfの二重極限をLといい、 $${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

以下の条件が満たされる場合：

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

させて${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$( x , y ) → ( p , q )のように極限を取る代わりに、1 つの変数の極限、例えばx → pを取って、 yの単一変数関数、すなわち、を得ることを考えることができます。${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$実際、この極限操作は 2 つの異なる方法で行うことができます。1 つ目は点ごとの極限と呼ばれます。xが pに近づくときのfの点ごとの極限はgであり、次のように表されます 。$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$または $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

あるいは、xがpに近づくにつれてfは点ごとにgに近づくと表現することもできます。 $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$または $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

この制限は、以下の条件が満たされる場合に存在します。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

ここで、δ = δ ( ε , y )はεとyの両方の関数です。各δはyの特定の点に対して選択されます。したがって、極限はyに関して点ごとに極限であると言えます。たとえば、 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$ 定数ゼロ関数の点ごとの極限を持つ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$ なぜなら、任意の固定されたyに対して、極限値は明らかに 0 になるからです。この議論は、yが固定されていない場合は成り立ちません。yがπ /2に非常に近い場合、分数の値は 0 からずれる可能性があります。

これにより、極限の別の定義、すなわち一様極限が得られます。xがpに近づくときのT上のfの一様極限をgと呼び、次のように 表します。$${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$または $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

あるいは、xがpに近づくにつれてfはT上で一様にgに近づくと表現することもできます。 $${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$または $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

この制限は、以下の条件が満たされる場合に存在します。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

ここで、δ = δ ( ε )はεのみの関数であり、yの関数ではありません。言い換えれば、δはT内のすべてのyに一様に適用できます。したがって、極限はyに関して一様であると言えます。たとえば、 $${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$ 一様なゼロ関数の極限を持つ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$ なぜなら、すべての実数yに対して、cos yは[−1, 1]の範囲内に収まるからです。したがって、 y がどのように振る舞うかに関わらず、サンドイッチ定理を用いて極限が 0 であることを示すことができます。

させて${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$1 つの変数のみの極限、例えばx → pを取ることで、 yの 1 つの変数関数、すなわち、を得ることを考えてみましょう。${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$そして、もう一方の変数、つまりy → qに関して極限をとると、数値Lが得られます。記号で表すと、 $${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

この極限は多変数関数の反復極限として知られています。 ^{[ 20 ]}極限を取る順序によって結果が変わる可能性があります。

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$一般的に。

等号の十分条件はムーア・オズグッドの定理によって与えられ、極限値を要求する。${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$T上で均一であること。^{[ 21 ]}

ユークリッド空間における極限は、ベクトル値関数の極限を直接一般化したものである。例えば、関数を考えてみよう。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$そのため $${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$ そして、通常のユークリッド距離の下では、 $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$ 以下の条件が満たされる場合：

任意のε > 0に対して、すべてのx ∈ Sおよびy ∈ Tに対して、δ > 0が存在し、${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }$暗示する${\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}$^{[ 23 ]}

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

この例では、対象となる関数は有限次元ベクトル値関数です。この場合、ベクトル値関数の極限定理によれば、各成分の極限が存在する場合、ベクトル値関数の極限は、各成分の極限をとったベクトルに等しくなります。^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

ユークリッド空間以外の空間も考慮に入れるべきかもしれない。例えば、マンハッタン空間などが挙げられる。${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$そのため $${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$ そして、マンハッタン距離の下では、 $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$ 以下の条件が満たされる場合：

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

これも有限次元ベクトル値関数であるため、上述の極限定理も適用される。^{[ 24 ]}

最後に、無限次元の関数空間における極限について議論します。関数空間内の関数f ( x , y )を考えます。${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$xがpに近づくにつれて、f ( x , y )が関数空間内の別の関数g ( y )にどのように収束していくかを調べたい。${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$この関数空間における「近さ」は、一様計量の下で測定できる。^{[ 25 ]}次に、xがpに近づくときのT上のfの一様極限をgと呼び、次のように書く。 $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$または $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

以下の条件が満たされる場合：

任意のε > 0に対して、すべてのx ∈ Sに対して0 < | x − p | < δとなるようなδ > 0が存在する。${\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

実際、この定義は、前の節で紹介した多変数関数の一様極限の定義と同等であることがわかる。