歪み（光学）

幾何光学において、歪みとは直線投影からのずれのことです。直線投影とは、シーン内の直線が画像内でも直線のままとなる投影のことです。歪みは光学収差の一種であり、球面収差、コマ収差、色収差、像面湾曲、非点収差といった他の収差とは区別されます。他の収差は、画像内の物体の形状や構造を変えることなく画像の鮮明度に影響を与えます（例えば、物体内の直線は画像内でも直線のままですが、前述の収差によって画像の鮮明度が低下する場合があります）。一方、歪みは画像内の物体の構造を変えることができるため、歪みと呼ばれます。

バレル

ピンクッション

口ひげ

放射状歪みの例

歪みは不規則であったり、さまざまなパターンに従うことがありますが、最も一般的に見られる歪みは、写真レンズの対称性から生じる放射状対称、またはそれに近いものです。これらの放射状歪みは、通常、樽型歪みまたは糸巻き型歪みに分類されます。 ^{[ 1 ]}

樽型歪み

樽型歪みでは、像の倍率は光軸からの距離とともに減少します。見かけ上の効果は、像が球体（または樽）の周りにマッピングされているように見えることです。半球状の視野をとっている魚眼レンズは、無限に広い物体面を有限の画像領域にマッピングする方法として、このタイプの歪みを利用します。ズームレンズでは、樽型歪みはレンズの焦点距離範囲の中央で発生し、範囲の広角端で最もひどくなります。^{[ 2 ]} 凹面（マイナス）球面レンズは樽型歪みが発生しやすい傾向があります。

針山型歪み

糸巻き型歪みでは、像の倍率は光軸からの距離とともに増加します。目に見える効果としては、像の中心を通らない線が、糸巻きのように像の中心に向かって内側に湾曲します。凸レンズ（プラス球面レンズ）は、糸巻き型歪みを起こしやすい傾向があります。

口ひげの歪み

両方のタイプの歪みが混在するものは、口ひげ歪み（口ひげ歪み）または複合歪みと呼ばれることもあり、あまり一般的ではありませんが、珍しいものでもありません。画像の中心付近では樽型歪みとして始まり、画像の周辺部に向かって徐々に糸巻き型歪みに変化し、フレームの上半分にある水平線がハンドルバー型の口ひげのように見えます。

数学的には、樽型歪みと糸巻き型歪みは二次関数的であり、中心からの距離の二乗に比例して増加します。口ひげ型歪みでは、四次項（4次）が重要です。中心では2次の樽型歪みが支配的であるのに対し、周辺部では4次の糸巻き型歪みが支配的になります。原理的には、中心が糸巻き型で周辺部が樽型となる歪みや、より高次の歪み（6次、8次）など、他の歪みも考えられますが、実用的なレンズでは一般的に発生せず、高次の歪みは樽型歪みや糸巻き型歪みに比べて小さいです。

発生

写真において、歪みは特にズームレンズ、特に広範囲ズームレンズでよく見られますが、単焦点レンズでも見られることがあり、焦点距離に依存します。例えば、キヤノン EF 50mm f / 1.4 は、極めて短い焦点距離で樽型歪みが発生します。樽型歪みは広角レンズで見られることがあり、ズームレンズの広角端でよく見られます。一方、糸巻き型歪みは、古い望遠レンズや低価格帯の望遠レンズでよく見られます。口ひげ型歪みは、ズームレンズの広角端、特定のレトロフォーカスレンズ、そして最近ではニコン18-200mmのような広範囲ズームレンズで特に見られます 。

双眼鏡などの視覚光学機器では、ある程度の糸巻き型歪みがよく見られますが、これは球体効果を打ち消す役割を果たします。

これらの歪みを理解するためには、これらが放射状の欠陥であることを覚えておく必要があります。問題の光学系は回転対称性を持っているため（放射状でない欠陥は除く）、教育的に正しいテスト画像は、射撃の的のように、均等な間隔で並んだ同心円のセットになります。次に、これらの一般的な歪みは、実際には物体から画像への非線形半径マッピングを意味することがわかります。一見糸巻き型歪みに見えるものは、実際には、小さな半径と比較して大きな半径に対する誇張された半径マッピングです。半径変換（物体から画像へ）を示すグラフは、上端（最も右側）でより急になります。逆に、樽型歪みは、実際には、小さな半径と比較して大きな半径に対する縮小された半径マッピングです。半径変換（物体から画像へ）を示すグラフは、上端（最も右側）でより緩やかになります。

放射状歪みは、主に低次の放射状成分によって支配されますが、^{[ 3 ]}ブラウンの歪みモデル^{[ 4 ]} 、コンラディによる以前の研究に基づくブラウン・コンラディモデル^{[ 5 ]}を使用して補正できます。ブラウン・コンラディモデルは、放射状歪みと、レンズ内の物理的要素が完全に整列していないことによって引き起こされる接線方向の歪みの両方を補正します。後者は偏心歪みとも呼ばれます。放射状歪みに関する詳細な議論については、Zhang ^{[ 6 ]}を参照してください。ブラウン・コンラディ歪みモデルは

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{\mathrm {u} }=x_{\mathrm {d} }&+(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })(K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots )+(P_{1}(r^{2}+2(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })^{2})\\&+2P_{2}(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} }))(1+P_{3}r^{2}+P_{4}r^{4}\cdots )\\y_{\mathrm {u} }=y_{\mathrm {d} }&+(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })(K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots )+(2P_{1}(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm) {c} })(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })\\&+P_{2}(r^{2}+2(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })^{2}))(1+P_{3}r^{2}+P_{4}r^{4}\cdots ),\end{alignedat}}}$$

どこ

• ${\displaystyle (x_{\mathrm {d} },\ y_{\mathrm {d} })}$これは、指定されたレンズを使用して像面に投影された歪んだ像点です。
• ${\displaystyle (x_{\mathrm {u} },\ y_{\mathrm {u} })}$は、理想的なピンホールカメラによって投影された歪みのない画像点です。
• ${\displaystyle (x_{\mathrm {c} },\ y_{\mathrm {c} })}$歪みの中心である。
• ${\displaystyle K_{n}}$は${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$半径方向の歪み係数
• ${\displaystyle P_{n}}$は${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$接線方向の歪み係数、および
• ${\textstyle r={\sqrt {(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })^{2}+(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })^{2}}}}$、歪んだ画像点と歪み中心間のユークリッド距離。 ^{[ 3 ]}

樽型歪みは通常、負の項を持ちます${\displaystyle K_{1}}$一方、ピンクション歪みは正の値をとります。口ひげ歪みは、ある値に対して非単調な放射状幾何級数を持ちます。${\displaystyle r}$数列の符号が変わります。

放射状歪みをモデル化するために、除算モデル^{[ 7 ]}は通常、Brown-Conradyの偶数次多項式モデル^{[ 8 ]よりも正確な近似を提供する。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {u} }&=x_{\mathrm {c} }+{\frac {x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} }}{1+K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots }}\\y_{\mathrm {u} }&=y_{\mathrm {c} }+{\frac {y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} }}{1+K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots }},\end{aligned}}}$$

以前に定義したのと同じパラメータを使用します。放射状歪みの場合、この分割モデルは、深刻な歪みをより正確に記述するために必要な項数が少ないため、Brown–Conrady モデルよりも好まれることがよくあります。^{[ 8 ]}このモデルを使用すると、通常、1 つの項でほとんどのカメラをモデル化するのに十分です。^{[ 9 ]}

ソフトウェアは、逆歪みで画像を歪ませることで、これらの歪みを補正できます。これには、歪み方程式の非線形性のため、歪みのあるピクセルが歪みのないピクセルに対応するかどうかを決定することが含まれますが、これは容易ではありません。 ^{[ 3 ]}横方向の色収差（紫/緑のフリンジ）は、赤、緑、青に個別にこのような歪みを適用することで大幅に軽減できます。

歪み補正には、両方の係数セットが必要となるか、あるいは非線形問題を逆変換する必要があるが、一般的に解析解は存在しない。近似法、局所線形化法、反復法といった標準的な手法がいずれも適用可能である。どのソルバーが最適かは、要求される精度と利用可能な計算リソースによって決まる。

前述のように、単項除算モデルは通常ほとんどのカメラをモデル化するのに十分であることに加えて、逆歪み問題に対する解析解も持っています。^{[ 8 ]}この場合、歪んだピクセルは次のように与えられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {d} }&=x_{\mathrm {c} }+{\frac {x_{\mathrm {u} }-x_{\mathrm {c} }}{2K_{1}r_{u}^{2}}}(1-{\sqrt {1-4K_{1}r_{u}^{2}}})\\y_{\mathrm {d} }&=y_{\mathrm {c} }+{\frac {y_{\mathrm {u} }-y_{\mathrm {c} }}{2K_{1}r_{u}^{2}}}(1-{\sqrt {1-4K_{1}r_{u}^{2}}}),\end{aligned}}}$$

どこ${\textstyle r_{u}={\sqrt {(x_{\mathrm {u} }-x_{\mathrm {c} })^{2}+(y_{\mathrm {u} }-y_{\mathrm {c} })^{2}}}}$歪みのない画像点と歪みのない/歪みのある中心との間のユークリッド距離。

放射状歪みとは、レンズが直線性を保てない状態、つまり線を線として結像できない状態を指します。写真が真正面から撮影されていない場合、たとえ完璧な直線性を持つレンズであっても、長方形は台形として写ります。線は線として結像されますが、線間の角度は保持されないためです（傾きは等角写像ではないため）。この現象は、パースペクティブコントロールレンズを使用するか、後処理で補正することで制御できます。

遠近法の影響により、カメラは立方体を正方形の円錐台（台形の側面を持つ切頭ピラミッド）として捉えます。つまり、遠い方の端は近い方の端よりも小さくなります。この遠近法によって、遠近感が生まれます。そして、この縮尺の変化率（遠くにある物体がどれだけ速く縮小するか）によって、シーンが奥行きがあるか浅いかという感覚が生じます。これは、シーン内の物体の奥行きという3D情報が必要なため、結果として得られる画像を単純に変換しても変更または修正することはできません。この効果は遠近歪みとして知られています。画像自体は歪んでいるわけではありませんが、通常の視距離から見ると歪んでいるように知覚されます。

画像の中心が端よりも近い場合（たとえば、顔を正面から撮影した場合）、樽型歪みと広角歪み（近距離から撮影した場合）はどちらも中心のサイズを大きくしますが、糸巻き型歪みと望遠歪み（遠距離から撮影した場合）はどちらも中心のサイズを小さくします。ただし、放射状歪みは直線を（外側または内側に）曲げますが、透視歪みは直線を曲げません。これらは異なる現象です。魚眼レンズは樽型歪みが強い広角レンズであるため、これらの現象の両方を示します。そのため、画像の中心にある被写体（近距離から撮影した場合）は特に拡大されます。樽型歪みが補正されたとしても、結果として得られる画像は依然として広角レンズからのものであり、広角の透視図が残ります。

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