ジョルダン曲線定理

位相幾何学において、1887 年にカミーユ・ジョルダンによって定式化されたジョルダン曲線定理( JCT ) は、すべてのジョルダン曲線(平面単純閉曲線) が平面を、曲線で囲まれた「内部」領域と、近くの外部点と遠くの外部点をすべて含む「外部」領域に分割することを主張しています。1 つの領域の点と他の領域の点を結ぶ連続パスはすべて、どこかで曲線と交差します。

この定理は直感的に明らかなように思われますが、初歩的な方法で証明するには工夫が必要です。「JCT は最もよく知られている位相定理の 1 つですが、プロの数学者の間でも、その証明を読んだことがない人が多くいます。」(Tverberg (1980, Introduction))。よりわかりやすい証明は代数的位相幾何学の数学的仕組みに依存しており、これが高次元空間への一般化につながります。

ジョルダン曲線定理は、1887年に最初の証明を発表した数学者カミーユ・ジョルダン（1838-1922）にちなんで名付けられました。 ^[1]^{[2]数十年の間、数学者は一般的にこの証明には欠陥があり、最初の厳密な証明は}オズワルド・ヴェブレンによって行われたと考えていました。しかし、この考えはトーマス・C・ヘイルズらによって覆されました。 ^[3]

定義とジョルダン定理の記述

平面R ²上のジョルダン曲線または単純閉曲線は、円の平面への単射連続写像φ : S ¹ → R ²の像Cです。平面上のジョルダン弧は、閉じた有界区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の平面への単射連続写像の像です。これは必ずしも滑らかでも代数的でもない平面曲線です。

あるいは、ジョルダン曲線は連続写像φ : [0,1] → R ^{2の像であり、}φ (0) = φ (1)であり、 φの [0,1) への制限は単射である。最初の 2 つの条件はCが連続ループであることを規定しているが、最後の条件はCに自己交差点がないことを規定している。

これらの定義を用いると、ジョルダン曲線定理は次のように述べることができます。

定理 — C を平面R ²上のジョルダン曲線とします。その補曲線R ² \ C は、ちょうど 2 つの連結成分で構成されます。これらの成分の 1 つは境界付き(内部) で、もう 1 つは境界なし (外部) であり、曲線Cは各成分の境界です。

対照的に、平面上のジョルダン弧の補曲線は連結されています。

証明と一般化

ジョルダン曲線定理は、1911 年にH. ルベーグとL. E. J. ブラウワーによって独立に高次元に一般化され、ジョルダン・ブラウワー分離定理が生まれました。

定理 — X を( n +1) 次元ユークリッド空間R ⁿ⁺¹ ( n > 0 ) 内のn次元位相球面、つまりn 球面S ⁿからR ⁿ⁺¹への連続写像の像とします。すると、 R ⁿ⁺¹内のXの補集合Y は、ちょうど 2 つの連結成分で構成されます。これらの成分の 1 つは有界 (内部) で、もう 1 つは無界 (外部) です。集合X はそれらの共通境界です。

証明にはホモロジー理論を用いる。まず、より一般的には、X がk球面に同相である場合、Y = R ⁿ⁺¹ \ Xの縮小された整式ホモロジー群は次のようになることが証明される。

{\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&q=nk{\text{ または }}q=n,\\\{0\},&{\text{その他}}.\end{cases}}

これは、マイヤー・ヴィートリス列を用いたkにおける帰納法により証明される。n = kのとき、 Yのゼロ次縮小ホモロジーの階数は 1 であり、これはYが 2 つの連結成分（さらにパス連結）を持つことを意味し、少し作業を加えると、それらの共通境界がXであることが示される。 JW アレクサンダーによってさらなる一般化が発見され、彼はR ⁿ⁺¹のコンパクト部分集合Xの縮小ホモロジーとその補集合の縮小コホモロジーの間のアレクサンダー双対性を確立した。 Xが境界のないR ⁿ⁺¹（またはS ⁿ^{+1 ）の}n次元コンパクト連結部分多様体である場合、その補集合は 2 つの連結成分を持つ。

ジョルダン曲線定理を強化した、ジョルダン・シェーンフリースの定理があり、これは、 R ²のジョルダン曲線によって決定される内部および外部の平面領域が、単位円の内部および外部に同相であることを述べています。特に、内部領域内の任意の点Pとジョルダン曲線上の点Aに対して、 PとAを結び、端点Aを除いて完全に内部領域内にあるジョルダン弧が存在します。ジョルダン・シェーンフリースの定理の代替で同等の定式化は、S ^{1 を平面内の}単位円と見なした場合の任意のジョルダン曲線φ : S ¹ → R ²は、平面の同相ψ : R ² → R ²に拡張できることを主張しています。ルベーグとブラウワーによるジョルダン曲線定理の一般化とは異なり、この記述は高次元では誤りになります。R ³の単位球の外部は単位球に収縮するため単連結ですが、アレクサンダーの角付き球は球に同相なR ³のサブセットですが、空間的に非常にねじれているため、 R ³の補集合の無限成分は単連結ではなく、したがって単位球の外部に同相ではありません。

個別バージョン

ジョルダン曲線定理は、ブラウワー不動点定理（2次元）から証明できます。 ^[4]また、ブラウワー不動点定理は、ヘックス定理から証明できます。「ヘックスのゲームには必ず1人の勝者がいる」というものです。この定理から、ヘックス定理はブラウワー不動点定理を意味し、ブラウワー不動点定理はジョルダン曲線定理を意味します。^[5]

ジョーダン曲線定理は、「すべてのヘックスゲームは、両方が負けたり両方が勝つ可能性がなく、正確に 1 人の勝者で終了する」という「強いヘックス定理」を意味することは明らかです。したがって、ジョーダン曲線定理は、純粋に離散的な定理である強いヘックス定理と同等です。

ブラウワーの不動点定理は、2つの同値な定理の間に挟まれているため、両方と同値である。^[6]

逆数学やコンピュータ形式数学では、ジョルダン曲線定理は、まずそれを強い六角定理に似た同等の離散バージョンに変換し、次に離散バージョンを証明することによって証明されるのが一般的です。^[7]

画像処理への応用

画像処理において、バイナリ画像は 0 と 1 の離散的な正方格子、または同等にのコンパクトなサブセットです。のグラフ構造が適切に定義されていない場合、の位相不変量（成分数など）はについて適切に定義できない可能性があります。 $\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$

には 2 つの明らかなグラフ構造があります。 $\mathbb {Z} ^{2}$

各頂点が接続されている「4 隣接正方格子」。 $(x,y)$ $(x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)$
「8 近傍正方グリッド」では、各頂点はの場合にのみ接続され、となります。 $(x,y)$ $(x',y')$ $|xx'|\leq 1,|yy'|\leq 1$ $(x,y)\neq (x',y')$

どちらのグラフ構造も、強い六角定理を満たしていません。4 近傍の正方格子では勝者がいない状況が起こり、8 近傍の正方格子では勝者が 2 人いる状況が起こります。その結果、ジョルダン曲線定理などのの接続性特性は、どちらのグラフ構造でもに一般化されません。 $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$

「6近傍正方格子」構造をに適用すると、それは六角形格子となり、強い六角定理を満たし、ジョルダン曲線定理を一般化することができます。このため、バイナリ画像内の連結成分を計算する場合、一般的には6近傍正方格子が使用されます。^[8] $\mathbb {Z} ^{2}$

シュタインハウスのチェス盤定理

シュタインハウスのチェス盤定理は、ある意味では、4近傍グリッドと8近傍グリッドが「一緒に」ジョルダン曲線定理を意味し、6近傍グリッドはそれらの間の正確な補間であることを示しています。^[9]^[10]

この定理は、チェス盤のいくつかのマス目に爆弾を置くと、キングは爆弾を踏まずに下側から上側に移動できないが、ルークは爆弾を踏むだけで左側から右側に移動できるというものです。 $n\times n$

歴史とさらなる証拠

ジョルダン曲線定理の記述は一見明白に思えるかもしれないが、証明するのはかなり難しい定理である。ベルナルド・ボルツァーノは、それが自明な記述ではなく証明が必要であると指摘し、正確な予想を初めて定式化した。^[11]多角形に対してこの結果を確立するのは簡単だが、問題はそれをあらゆる種類の不正な曲線に一般化することであった。これには、コッホの雪片やその他のフラクタル曲線などのどこでも微分不可能な曲線、さらにはオズグッド (1903) によって構築された正の面積を持つジョルダン曲線さえも含まれる。

この定理の最初の証明は、カミーユ・ジョルダンが実解析の講義で示し、著書『エコール・ポリテクニークの解析学講座』に掲載された。^{[1]ジョルダンの証明が完全であったかどうかについては議論があり、大多数の論評者は、最初の完全な証明は後に}オズワルド・ヴェブレンによって与えられたと主張しており、ヴェブレンはジョルダンの証明について次のように述べている。

しかし、彼の証明は多くの数学者にとって満足のいくものではありませんでした。それは、単純な多角形という重要な特殊なケースにおいて証明なしに定理を仮定しており、その点からの議論では、少なくともすべての詳細が与えられていないことを認めなければなりません。^[12]

しかし、トーマス・C・ヘイルズは次のように書いています。

私が見つけたほぼすべての現代の引用文献は、最初の正しい証明はヴェブレンによるものであることに同意しています...ジョーダンの証明に対する厳しい批判を考慮すると、私が腰を下ろして彼の証明を読んでみて、そこに何ら異論がないことに驚いた。それ以来、私はジョーダンを批判した何人かの著者に連絡を取ったが、いずれの場合も著者はジョーダンの証明の誤りを直接知らなかったことを認めた。^[13]

ヘイルズ氏はまた、単純な多角形の特殊なケースは簡単な演習であるだけでなく、ジョーダン氏によって実際に使用されたこともなかったと指摘し、マイケル・リーケン氏の次の言葉を引用した。

ジョーダンの証明は本質的に正しい...ジョーダンの証明は詳細を満足のいく形で提示していない。しかし、アイデアは正しく、少し磨きをかければ証明は完璧になるだろう。^[14]

以前、ジョーダンの証明とシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プッサンによる別の初期の証明は、シェーンフライス（1924）によって批判的に分析され、完成されていました。^[15]

ジョルダン曲線定理は低次元位相幾何学と複素解析において重要であるため、20世紀前半の著名な数学者から多くの注目を集めました。定理のさまざまな証明とその一般化は、JW Alexander、Louis Antoine、Ludwig Bieberbach、Luitzen Brouwer、Arnaud Denjoy、Friedrich Hartogs、Béla Kerékjártó、Alfred Pringsheim、Arthur Moritz Schoenfliesによって構築されました。

ジョルダン曲線定理の新しい基本的な証明、および以前の証明の簡略化が引き続き実行されています。

基本的な証明はフィリッポフ (1950) とトヴェルグ (1980) によって提示されました。
Narens (1971) による非標準解析を使用した証明。
Gordon O. Berg、W. Julian、R. Mines らによる構成的数学を用いた証明 (1975)。
前原(1984)によるBrouwer不動点定理を用いた証明。
完全二部グラフK _3,3の非平面性を用いた証明はThomassen (1992) によって与えられた。

困難の根源は、Tverberg (1980) で次のように説明されています。ジョルダン曲線定理がすべてのジョルダン多角形に当てはまること (補題 1) と、すべてのジョルダン曲線がジョルダン多角形によって任意によく近似できること (補題 2) は比較的簡単に証明できます。ジョルダン多角形は多角形の鎖、つまり有界連結開集合の境界 (開多角形) と、その閉包、つまり閉多角形です。閉多角形に含まれる最大の円板の直径を考えてみましょう。明らかに、は正です。ジョルダン多角形のシーケンス (与えられたジョルダン曲線に収束する) を使用すると、おそらく正の数、つまりジョルダン曲線で囲まれた閉領域に含まれる最大の円板の直径に収束するシーケンスが得られます。ただし、曲線で囲まれていると思われる領域ではなく、与えられたジョルダン曲線のみを使用して、シーケンスがゼロに収束しないことを証明する必要があります。これが、Tverberg の補題 3 のポイントです。おおまかに言えば、閉多角形はどこでもゼロに薄くなるべきではありません。さらに、どこかでゼロに薄くなるべきではない。これが、トヴェルグの補題 4 のポイントである。 $\delta$ $\delta$ $\delta _{1},\delta _{2},\dots$ $\delta$ $\delta _{1},\delta _{2},\dots$

ジョルダン曲線定理の最初の正式な証明は、 2005年1月にHales (2007a)によってHOL Lightシステムで作成され、約60,000行で構成されていました。もう1つの厳密な6,500行の正式な証明は、2005年にMizarシステムを使用して国際的な数学者チームによって作成されました。MizarとHOL Lightの証明は両方とも以前に証明された定理のライブラリに依存しているため、これら2つのサイズは比較できません。坂本信行と横山敬太 (2007) は、逆数学ではジョルダン曲線定理がシステム上の弱いケーニッヒの補題と同等であることを示しました。 ${\mathsf {RCA}}_{0}$

応用

計算幾何学では、ジョルダン曲線定理は、点が単純な多角形の内側にあるか外側にあるかをテストするために使用できます。^[16]^[17]^[18]

与えられた点から、多角形のどの頂点も通らない光線を描きます (有限数以外のすべての光線が便利です)。次に、その光線と多角形の辺との交点の数 $n を計算します。ジョルダン曲線定理の証明は、$ $n$ が奇数の場合にのみ、その点が多角形の内側にあることを意味します。

計算面

アドラー、ダスカラキス、デメイン^[19]は、ジョーダンの定理の計算バージョンがPPAD完全であることを証明した。系として、彼らはジョーダンの定理がブラウワーの不動点定理を意味することを示した。これは、ブラウワーの不動点定理がジョーダンの定理を意味するという前原の以前の結果を補完するものである。^[20]

参照

曲線の方向
デンジョイ・リース定理、ジョルダン曲線の部分集合となり得る平面上の特定の点の集合の記述
和田湖
準フックス群、ジョルダン曲線を保存する数学的群

注記

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外部リンク

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