デンジョイ・リース定理

位相幾何学において、デンジョイ・リース定理は、ユークリッド平面上の完全に連結していない点のコンパクト集合は、自己交差のない単位区間の連続像（ジョルダン弧）で覆うことができると述べている。

位相空間は、すべての有限開被覆が互いに素な集合による開被覆でもある細分化を持つ場合、ルベーグ被覆次元に従って零次元である。位相空間は、非自明な連結部分集合を持たない場合、完全非連結である。平面上の点については、完全非連結であることは零次元であることと同値である。デンジョイ・リース定理は、平面上のすべてのコンパクト完全非連結部分集合はジョルダン弧の部分集合であると述べている。^{[ 1 ]}

クラトフスキ (1968) は、この結果を1906 年のFrigyes Rieszと1910 年のArnaud DenjoyによるComptes rendus de l'Académie des sciences の論文に帰している。^{[ 2 ]}ムーアとクライン (1919)が説明しているように、^{[ 3 ]} Riesz は実際には、平面上のすべての完全不連結集合がジョルダン弧の部分集合であるという誤った議論を行った。これは、ジョルダン弧よりも一般的な集合のクラスを使用した L. Zoretti の以前の結果を一般化したが、Zoretti は Riesz の証明に欠陥があることを発見した。それは、完全不連結集合の 1 次元射影が完全不連結のままであると誤って仮定していた。その後、Denjoy は (Zoretti も Riesz も引用せずに) Riesz の定理の証明を主張したが、詳細はほとんど示さなかった。ムーアとクラインは、ジョルダン弧の部分集合になり得る平面の部分集合を完全に特徴づける一般化を述べ、証明し、その一般化にはデンジョイ・リース定理が特殊な場合として含まれることを示しました。^{[ 3 ]}

この定理をスミス・ボルテラ・カントール集合の2次元版に適用することで、ルベーグ測度が正であるオズグッド曲線、ジョルダン弧、または閉ジョルダン曲線を見つけることができる。^{[ 4 ]}

関連する結果として、有限弧長の曲線の部分集合を形成する点集合を記述するアナリストの巡回セールスマン定理がある。すべてのコンパクト完全非連結集合がこの性質を持つわけではない。なぜなら、一部のコンパクト完全非連結集合では、それらを覆う任意の弧が無限の長さを持たなければならないからである。