和田湖

数学において、和田の湖（わだのみずうみ）は、平面または開いた単位正方形の3つの互いに素 に接続された 開集合であり、それらはすべて同じ境界を持つという直感に反する性質を持っています。言い換えれば、いずれかの湖の境界上で選択された任意の点に対して、他の2つの湖の境界にもその点が含まれます。

同じ境界を持つ 2 つ以上の集合は、Wada 特性を持つと言われています。例としては、力学システムにおけるWada 盆地が挙げられます。この特性は、現実世界のシステムではまれです。

和田湖は米山邦三 （1917、60ページ）によって導入され、和田武夫の発見であるとされた。和田の構築は、ブラウワー（1910）による不可分連続体の構築に似ており、実際に3つの集合の共通境界が不可分連続体である可能性がある。

和田湖は、乾燥した土地の閉じた単位の正方形から始めて、次のルールに従って 3 つの湖を掘ることによって形成されます。

• n = 1、2、3、...の日に、湖n mod 3 (= 0、1、2) を拡張して、湖が開いて接続され、残りのすべての陸地から 1/ nの距離以内を通過するようにします。これは、残りの陸地が閉じた単位正方形に同相のままになるように行う必要があります。

無限の日数が経過した後も、3 つの湖は互いに素に接続された開集合のままであり、残った陸地が 3 つの湖それぞれの境界となります。

たとえば、最初の 5 日間は次のようになります (右の画像を参照)。

1. すべての陸地の√2 /3以内を通る幅1/3の青い湖を掘ります。
2. すべての陸地の√2 /32^以内を通る幅^1/32の赤い湖を掘ります。
3. すべての陸地の√2 /33^以内を通る幅^1/33の緑の湖を掘ります。
4. 青い湖を、すべての陸地の√ 2 /3 ⁴以内を通る幅 1/3 ⁴の水路で拡張します。(小さな水路は、画像の中央付近にある薄い青い湖と厚い湖を接続します。)
5. 赤い湖を、すべての陸地の√ 2 /3 ⁵以内を通る幅 1/3 ⁵の水路で拡張します。(この小さな水路は、画像の左上近くにある細い赤い湖と太い湖を接続します。)

この構成のバリエーションにより、同じ境界を持つ、数えられる無限の数の連結された湖を生成できます。つまり、1、2、0、1、2、0、1、2、0、... の順序で湖を拡張する代わりに、0、0、1、0、1、2、0、1、2、3、0、1、2、3、4、... の順序で湖を拡張します。

和田盆地は、非線形システムの数学で研究される特定の特殊な引力盆地です。盆地の境界上のすべての点のすべての近傍が少なくとも 3 つの盆地と交差する性質を持つ盆地は、和田盆地と呼ばれ、または和田特性を持つと言われています。和田湖とは異なり、和田盆地は分離していることがよくあります。

和田盆地の例としては、z ³ − 1のような異なる根を持つ3 次多項式の根を求めるニュートン・ラプソン法の吸引盆地を表すニュートンフラクタルが挙げられます(図を参照)。

カオス理論では、ワダ盆地が非常に頻繁に発生します。通常、ワダ特性は散逸力学系の吸引盆地に見られます。しかし、ハミルトン系の出口盆地もワダ特性を示すことがあります。複数の出口を持つ系のカオス散乱の文脈では、出口盆地はワダ特性を示します。MAF Sanjuánら^{[1] は、}ヘノン-ハイレス系では出口盆地にこのワダ特性があることを示しました。

• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト

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• 米山邦三（1917）「連続点の理論」東北数学雑誌、12：43-158

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• 和田盆地の実験的実現（写真付き）、andamooka.org
• 和田盆地と和田地所の紹介 www-chaos.umd.edu
• 無限に反射する球体: 和田盆地のフラクタル、miqel.com
• 和田盆地: カオス散乱のレンダリング、astronomy.swin.edu.au