ランク（線形代数）

線形代数では、行列 $A$ のランクは、その列によって生成される（または張られる）ベクトル空間の次元です。 ^[¹^]^[²^]^[³^] $これは、 Aの$ 線形独立な列の最大数に対応します。これは、その行によって張られるベクトル空間の次元と同一です。^[⁴^] $したがって、ランクは、 A$ によって符号化される線形方程式と線形変換のシステムの「非退化性」の尺度です。ランクには複数の同等の定義があります。行列のランクは、その最も基本的な特性の 1 つです。

ランクは一般的に $rank(A)$ または $rk(A)$ で表されます。^{[ 2 ]}括弧が書かれない場合もあります。例えば $rank A$ のように。^{[ i ]}ランクはドイツ語のRangから $rg(A)$ で表すこともできます。

より一般的に言えば、2 つのベクトル空間間の線形写像のランクは、その像の次元である。

主な定義

このセクションでは、行列のランクに関するいくつかの定義を示します。多くの定義が考えられます。これらの定義のいくつかについては、「代替定義」を参照してください。

$A$ の列ランクは $A$ の列空間の次元であり、 $A$ の行ランクは $A$ の行空間の次元である。

線形代数における基本的な結果の一つは、列ランクと行ランクは常に等しいということです。（この結果の証明は、以下の「列ランク＝行ランクの証明」の項に３つ示されています。）この数（つまり、線形独立な行または列の数）は、単に $A$ のランクと呼ばれます。

行列のランクが、同じ次元の行列で可能な最大値（行数と列数のうち小さい方）と等しい場合、その行列はフルランクであると言われます。フルランクでない行列は、ランク不足であると言われます。行列のランク不足とは、行数と列数のうち小さい方とランクとの差のことです。

線形写像または演算子のランク $\Phi$ は、その画像の次元として定義されます。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $\operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))$ どこ $\dim$ はベクトル空間の次元であり、 $\operatorname {img}$ これは地図の画像です。

例

マトリックス ${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$ ランクは 2 です。最初の 2 つの列は線形独立なので、ランクは少なくとも 2 ですが、3 番目の列は最初の 2 つの列の線形結合 (最初の列と 2 番目の列を足したもの) なので、3 つの列は線形従属であり、ランクは 3 未満でなければなりません。

マトリックス $A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}$ ランクは 1 です。非ゼロの列が存在するためランクは正ですが、任意の列のペアは線形従属です。同様に、転置行列は $A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}$ $A$ のランクは 1 です。実際、 $A$ の列ベクトルは $A$ の転置行列の行ベクトルであるため、行列の列ランクがその行ランクに等しいという記述は、行列のランクがその転置行列のランクに等しいという記述と同等です。つまり、 $rank($ $A$ $) = rank($ $A$ $T$ $)$ です。

行列のランクを計算する

行階層形式からのランク付け

行列のランクを求める一般的な方法は、基本行操作によって、行列をより単純な形式、一般的には行階段形に変換することです。行操作は行空間を変更しないため（したがって行ランクも変更しません）、また、可逆であるため、列空間を同型な空間に写像します（したがって列ランクも変更しません）。行階段形になると、ランクは行ランクと列ランクの両方で明らかに同じになり、ピボット（または基本列）の数と非ゼロ行の数に等しくなります。

例えば、行列 $A$ は次のように与えられる。 $A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$ 次の基本行操作を用いることで、簡約行階段形に変換できます。 ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}$ 最終的な行列（簡約行階段形）には2つの非ゼロ行があり、したがって行列 $A$ のランクは2である。

計算

コンピュータ上で浮動小数点演算に適用する場合、基本的なガウス消去法（LU分解）は信頼性に欠ける場合があり、代わりにランクを明らかにする分解法を用いるべきです。効果的な代替手段として特異値分解（SVD）がありますが、ガウス消去法よりも数値的に安定しており、ピボット選択付き QR分解（いわゆるランクを明らかにするQR分解）など、計算コストの低い他の選択肢もあります。ランクを数値的に決定するには、SVDから得られた特異値などの値をゼロとして扱うべきかどうかを判断する基準が必要であり、これは行列とアプリケーションの両方に依存する実際的な選択です。

列ランク＝行ランクであることの証明

行簡約を用いた証明

任意の行列の列ランクと行ランクが等しいという事実は、線形代数において基本的なものです。多くの証明が与えられてきました。最も基本的な証明の1つは、§ 行階段形からのランクで概説されています。以下はその証明の変形です。

行ランクも列ランクも基本行操作によって変化しないことは容易に示せる。ガウス消去法は基本行操作によって進行するため、行列の簡約行階段形は元の行列と同じ行ランクと列ランクを持つ。さらに基本列操作を行うことで、行列をゼロの行と列で囲まれた単位行列の形にすることができる。ここでも、行ランクも列ランクも変化しない。結果として得られる行列の行ランクと列ランクは、いずれもその非ゼロ要素の数に等しいことはすぐに分かる。

この結果の他の証明を2つ紹介します。1つ目はベクトルの線形結合の基本的な性質のみを使用し、任意の体上で有効です。この証明はWardlaw (2005)に基づいています。^{[ 9 ]} 2つ目は直交性を使用し、実数上の行列に対して有効です。これはMackiw (1995)に基づいています。^{[ 4 ]}どちらの証明もBanerjeeとRoy (2014)の書籍に掲載されています。^{[ 10 ]}

線形結合を用いた証明

$A を$ $m \times n$ 行列とする。Aの列ランクを r とし $、$ c $1$ , $..., c r を$ $A$ の列空間の任意の基底とする。これらを $m \times r$ 行列 $C$ の列とする。A の各列は、 $C$ $の$ r 列 $の$ 線形結合として表すことができる。これは、 $A$ $=$ $CR$ となる $r$ $\times$ $n$ 行列 $R$ が存在することを意味する。R $は、$ $A$ の i 番目の列を C の r 列の線形結合として表す係数から i 番目の $列$ $が$ $形成$ される行列である $。$ 言い換えれば、 $Rは$ $A$ の列空間の基底( $C$ ) の倍数を含む行列であり、これらを用いて $A全体を形成する。ここで、$ $A$ の各行は $Rの$ $r$ 行の線形結合によって与えられる。したがって、 $R$ の行は $A$ の行空間の全域集合を形成し、シュタイニッツの交換補題により、 $A$ の行ランクは $r$ を超えることはできない。これは、行列 $A$ の行ランクが行列 $A$ の列ランク以下であることを証明しています。この結果は任意の行列に適用できるため、この結果を $Aの転置行列に適用します。A の転置$ $行列$ の行ランクは $A$ の列ランクであり、 $A$ の転置行列の列ランクは $A$ の行ランクであるため、逆の不等式が成立し、 $A$ の行ランクと列ランクが等しいことがわかります。（ランク分解も参照してください。）

直交性を用いた証明

$A を$ 、行ランクが $rである$ 実数を要素とする $m \times n$ 行列とする。したがって、 $A$ の行空間の次元は $r$ である。x $1$ $、$ $x$ $2$ $、...、$ $x$ $r$ $をA$ の行空間の基底とする。ベクトル $A$ $x$ $1$ $、$ $A$ $x$ $2$ $、...、$ $A$ $x$ $r$ は線形独立であると主張する。その理由 $を確認するために、これらのベクトルとスカラー係数$ $c$ $1$ $、$ $c$ $2$ $、...、$ $c$ $r$ を含む線形同次関係を考える。 $0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,$ ここで、 $v = c 1 x 1 + c 2 x 2 + \dots + c r x r$ です。次の 2 つの観察を行います。(a) $v$ $はA$ の行空間のベクトルの線形結合であり、これは $v が$ $A$ の行空間に属することを意味します。(b) $A v = 0$ なので、ベクトル $v$ は $A$ のすべての行ベクトルに直交し、したがって、 $A$ の行空間のすべてのベクトルに直交します。事実 (a) と (b) を合わせると、 $v はそれ$ 自身に直交することを意味し、これはv = 0 または $v$ の定義により、 $v$ $= 0 で$ あることを証明します。 $c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.$ しかし、 $x i は$ $A$ の行空間の基底として選ばれたため、線形独立であることを思い出してください。これは $c 1 = c 2 = \dots = c r = 0$ を意味します。したがって、 $A x 1 、 A x 2 、...、 A x r$ は線形独立です。

すべての $A x i$ $はA$ の列空間に含まれます。したがって、 $A x 1 、 A x 2 、 ...、 A x r$ $はA$ の列空間内の $r$ 個の線形独立なベクトルの集合であり、したがって、 $A$ の列空間の次元(つまり、 $A$ の列ランク) は少なくとも $r以上でなければなりません。これにより、$ $A$ の行ランクは $A$ の列ランクより大きくないことが証明されます。次に、この結果を $A$ の転置行列に適用して逆の不等式を取得し、前の証明と同様に結論を導きます。

代替定義

このセクションのすべての定義において、行列 $A$ は任意の体 $F上の$ $m \times n$ 行列であるとみなされます。

画像のサイズ

行列が与えられた場合 $A$ 関連する線形マッピングが存在する $f:F^{n}\to F^{m}$ 定義される $f(x)=Ax.$ ランク $A$ は画像の次元です $f$ この定義の利点は、特定の行列を必要とせずに、あらゆる線形写像に適用できることである。

無効性の観点からの順位

上記と同じ線形写像 $f$ が与えられた場合、ランクは $n から$ $f$ の核の次元を引いた値になります。ランク零性定理によれば、この定義は前述の定義と同等です。

列ランク – 列空間の次元

$A$ のランクは、線形独立な列の最大数である。 $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}$ $A$ の次元です。これは $A$ の列空間の次元です(列空間は、 $A$ の列によって生成される $F$ $m$ $の部分空間であり、実際にはA$ に関連付けられた線形写像 $f$ の像です)。

行ランク – 行空間の次元

$A$ のランクとは、 $A$ の線形独立な行の最大数であり、これは $A$ の行空間の次元である。

分解ランク

$A$ のランクは、 $A$ が次のように因数分解できる最小の正の整数 $kです。$ $A=CR$ ここで、 $C$ は $m \times k$ 行列、 $Rは$ $k \times n$ 行列である。実際、すべての整数 $k$ に対して、以下は同等である。

$A$ の列ランクは $k$ 以下である。
$k$ 個の列が存在する $\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ サイズ $mで、$ $A$ の各列が線形結合である $\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ 、
存在する $m\times k$ 行列 $C$ と $k\times n$ 行列 $R$ が $A=CR$ ( $k$ がランクの場合、これは $A$ のランク分解です)
$k$ 行が存在する $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$ サイズ $nで、$ $A$ の各行が線形結合である $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$ 、
行列 $Aの行ランクは$ $k$ 以下である。

実際、以下の等価性は明らかである。 $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ 例えば、(2)から(3)を証明するには、 $Cを$ 列が次のようになる行列とする。 $\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ （２）から。（３）から（２）を証明するには、 $\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ $C$ の列となる。

等価性から導かれる $(1)\Leftrightarrow (5)$ 行ランクが列ランクと等しいこと。

「画像の次元」による特徴付けの場合と同様に、これは任意の線形写像のランクの定義に一般化できます。線形写像 $f : V \to W$ $のランクは、 fが写像$ $V$ $\to$ $X$ と写像 $X$ $\to$ $W$ の合成として表せるような中間空間 $X$ の最小次元 $k$ です。残念ながら、この定義ではランクを効率的に計算する方法が示されていません（そのため、別の定義のいずれかを使用する方が良いでしょう）。詳細はランク分解を参照してください。

特異値による順位

$A$ のランクは非ゼロ特異値の数に等しく、これは特異値分解におけるΣの非ゼロ対角要素の数と同じである。 $A=U\シグマ V^{*}$ 。

行列式ランク – 最大の非消滅小行列式のサイズ

$行列A$ のランクは、 $A$ に含まれる任意の非ゼロ小行列式の中で最大の次数です。（小行列式の次数は、それが行列式となる正方部分行列の辺の長さです。）分解ランクの特徴付けと同様に、これはランクを効率的に計算する方法ではありませんが、理論的には有用です。単一の非ゼロ小行列式は、行列のランクの下限（つまりその次数）を示し、これは（例えば）特定の操作によって行列のランクが低下しないことを証明するのに役立ちます。

ゼロでない $p$ マイナー (非ゼロの行列式を持つ $p \times p$ 部分行列) は、その部分行列の行と列が線形独立であることを示し、したがって、完全な行列の行と列も (完全な行列において) 線形独立であるため、行ランクと列ランクは少なくとも行列式のランク以上になります。ただし、その逆はそれほど単純ではありません。行列式のランクと列ランクの等価性は、 $n個のベクトルのスパンの次元が$ $p$ である場合、それらのベクトルの $p 個$ が空間を張る (同等に、ベクトルの部分集合であるスパン集合を選択できる) という記述を強化するものです。この等価性は、行の部分集合と列の部分集合が同時に可逆な部分行列を定義することを意味します (同等に、 $n$ 個のベクトルのスパンの次元が $p$ である場合、これらのベクトルの $p 個$ が空間を張り、それらが線形独立である $p 個$ の座標の集合が存在します)。

テンソルランク – 最小の単純テンソル数

$行列A$ のランクは、 $A が$ k $個$ のランク 1 行列の和として表せる最小の数 $k$ である。ここで、行列は、非ゼロの積として表せる場合に限りランク 1 を持つと定義される。 $c\cdot r$ 列ベクトル $c$ と行ベクトル $rの。このランクの概念は$ テンソルランクと呼ばれ、特異値分解の分離可能モデル解釈において一般化することができる。

不動産

$Aは$ $m \times n$ 行列であると仮定し、上記のように線形写像 $fを$ $f (x) = A x$ と定義します。

$m \times n$ 行列のランクは非負の整数であり、 $m$ または $n$ を超えることはできません。つまり、 $\displaystyle \operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).}$ $ランクがmin(m, n)$ である行列はフルランクであると言われ、そうでない行列はランク不足であると言われます。
ランクがゼロなのはゼロ行列のみである。
$f$ が単射（または「1対1」）であるのは、 $A の$ ランクが $n$ である場合のみです（この場合、 $A は$ フル列ランクを持つと言います）。
$fが$ 全射（または「上へ」）であるのは、 $A の$ ランクが $m$ である場合のみです（この場合、 $A$ は行フルランクであると言います）。
$Aが$ 正方行列（つまり $m = n$ ）である場合、 $Aが$ 可逆であるのは、 $Aの$ ランクが $n$ （つまり $A$ がフルランク）である場合に限る。
$Bが任意の$ $n \times k$ 行列である場合、 $\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).}$
$Bがランク$ $nの$ $n \times k$ 行列である場合、 $\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$
$C$ がランク $mの$ $l \times m$ 行列である場合、 $\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$
$A$ のランクが $r$ に等しいのは、可逆な $m \times m$ 行列 $X$ と可逆な $n \times n$ 行列 $Y$ が存在し、 $XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}},$ ここで、 $I r は$ $r \times r$ の単位行列を表し、3 つのゼロ行列のサイズは $r \times (n - r)$ 、 $(m - r) \times r$ および $(m - r) \times (n - r) です$ 。
シルベスターのランク不等式：^{[ 11 ]} $A$ が $m \times n$ 行列で $B$ が $n \times k$ 行列の場合、

\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (B)-\dim(\operatorname {Im} B\cap \ker A)

これは^{[ ii ]を意味する。}

\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).}

これは次の不等式の特殊なケースです。

フロベニウスによる不等式： $AB$ 、 $ABC$ 、 $BC$ が定義されている場合、^{[ iii ]} $\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).$
ランク劣加法性: ^{[ 12 ]} $A$ と $B$ が $m \times n$ 行列の場合、

|\operatorname {rank} (A)-\operatorname {rank} (B)|\leq \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)

2番目の不等式が等号で成立するのは、行列

A

と

B

の

列空間と行空間がそれぞれゼロベクトルのみを共通に持つ場合に限られる。したがって、ランク

k行列は

、少なくとも

k

個のランク1行列の和として表すことができる。

$Aが$ 実数上の行列である場合、 $A$ のランクとそれに対応するグラム行列のランクは等しくなります。したがって、実数行列の場合、 $\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).$ これは、それらの零空間の等価性を証明することによって示すことができる。グラム行列の零空間は、次のベクトル $xによって与えられる。$ $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ この条件が満たされれば、 $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ ^{[ 13 ]} 実際、 $(kerA)^{\perp }=\operatorname {Im} A^{T}$ 、 $\mathbb {R} ^{n}=kerA\oplus \operatorname {Im} A^{T}$ これは、 $\operatorname {Im} A=\operatorname {Im} AA^{T}$ 同様に $\operatorname {Im} A^{T}=\operatorname {Im} A^{T}A$ 。
$Aが$ 複素数上の行列で、 ${\overline {A}}$ $はA$ の複素共役を表し、 $A * は$ $A$ の共役転置(すなわち、 $A$ の随伴) を表す。 $\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).$

アプリケーション

行列のランクを計算する有用な応用例の1つは、連立一次方程式の解の数を計算することです。ルーシェ・カペリの定理によれば、拡大行列のランクが係数行列のランクより大きい場合、連立方程式は矛盾しています。一方、これら2つの行列のランクが等しい場合、連立方程式には少なくとも1つの解が存在します。解は、ランクが変数の数と等しい場合に限り一意です。そうでない場合、一般解は $k個の$ 自由パラメータを持ちます。ここで $k$ は変数の数とランクの差です。この場合（連立方程式が実数または複素数であると仮定すると）、連立方程式には無限個の解が存在します。

制御理論では、行列のランクを用いて、線形システムが制御可能か、あるいは観測可能かを判断することができる。

通信複雑性の分野では、関数の通信行列のランクは、2者がその関数を計算するために必要な通信量の上限を示す。

一般化

ランクの概念は、任意の環上の行列に対してさまざまな一般化がなされており、行列の列ランク、行ランク、列空間の次元、行空間の次元は、それぞれ異なる場合や存在しない場合がある。

Thinking of matrices as tensors, the tensor rank generalizes to arbitrary tensors; for tensors of order greater than 2 (matrices are order 2 tensors), rank is very hard to compute, unlike for matrices.

There is a notion of rank for smooth maps between smooth manifolds. It is equal to the linear rank of the derivative.

Matrices as tensors

Matrix rank should not be confused with tensor order, which is called tensor rank. Tensor order is the number of indices required to write a tensor, and thus matrices all have tensor order 2. More precisely, matrices are tensors of type (1,1), having one row index and one column index, also called covariant order 1 and contravariant order 1; see Tensor (intrinsic definition) for details.

The tensor rank of a matrix can also mean the minimum number of simple tensors necessary to express the matrix as a linear combination, and that this definition does agree with matrix rank as here discussed.

Notes

↑Alternative notation includes $\rho (\Phi )$ from Katznelson & Katznelson (2008, p. 52, §2.5.1) and Halmos (1974, p. 90, § 50).
↑Proof: Apply the rank–nullity theorem to the inequality $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$
↑Proof. The map $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ is well-defined and injective. We thus obtain the inequality in terms of dimensions of kernel, which can then be converted to the inequality in terms of ranks by the rank–nullity theorem. Alternatively, if $M$ is a linear subspace then $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ; apply this inequality to the subspace defined by the orthogonal complement of the image of $BC$ in the image of $B$ , whose dimension is $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ; its image under $A$ has dimension $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

References

↑Axler (2015) pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119
12Roman (2005) p. 48, § 1.16
↑Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359
1 2Mackiw, G. (1995), "A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix", Mathematics Magazine, 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337
↑Hefferon (2020) p. 200, ch. 3, Definition 2.1
↑Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1
↑Valenza (1993) p. 71, § 4.3
↑ハルモス (1974) p. 90、§50
↑ Wardlaw, William P. (2005), "行ランクは列ランクに等しい", Mathematics Magazine , 78 (4): 316–318 , doi : 10.1080/0025570X.2005.11953349 , S2CID 218542661
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics , Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
↑張福珍 (2011). 「定理 2.6」.行列理論：基本結果と技法. Universitext (第 2版). Springer. p. 52. ISBN 978-1-4614-1098-0。
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). "Section 0.4.5(d)".行列解析（第2版）. Cambridge University Press. p. 13. ISBN 978-0-521-54823-6。
↑ミルスキー、レオニード (1955).線形代数入門. ドーバー出版. ISBN 978-0-486-66434-7。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

情報源

アクサー、シェルドン（2015）。線形代数の正しい学び。数学学部教科書（第3 版）。シュプリンガー。ISBN 978-3-319-11079-0。
ハルモス、ポール・リチャード(1974) [1958].有限次元ベクトル空間.数学学部教科書（第2 版）. Springer . ISBN 0-387-90093-4。
ヘフェロン、ジム（2020）。線形代数（第4 版）。Orthogonal Publishing L3C。ISBN 978-1-944325-11-4。
Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
ローマン、スティーブン（ 2005）。高度線形代数。数学学部教科書（第2 版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-24766-1。
Valenza, Robert J. (1993) [1951].線形代数：抽象数学入門.数学学部教科書（第3 版）. Springer . ISBN 3-540-94099-5。

さらに読む

ロジャー・A・ホーン、チャールズ・R・ジョンソン（1985）。『行列解析』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-38632-6。
Kaw, Autar K. 著書『行列代数入門』からの2つの章：1. ベクトルおよび連立方程式
マイク・ブルックス著：マトリックス・リファレンス・マニュアル。

[5] Alternative notation includes $\rho (\Phi )$ from Katznelson & Katznelson (2008, p. 52, §2.5.1) and Halmos (1974, p. 90, § 50).

[13] Proof: Apply the rank–nullity theorem to the inequality $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$

[14] Proof. The map $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ is well-defined and injective. We thus obtain the inequality in terms of dimensions of kernel, which can then be converted to the inequality in terms of ranks by the rank–nullity theorem. Alternatively, if $M$ is a linear subspace then $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ; apply this inequality to the subspace defined by the orthogonal complement of the image of $BC$ in the image of $B$ , whose dimension is $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ; its image under $A$ has dimension $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

[1] Axler (2015) pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119

[:0-2] 12Roman (2005) p. 48, § 1.16

[3] Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359

[mackiw-4] 1 2Mackiw, G. (1995), "A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix", Mathematics Magazine, 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337

[6] Hefferon (2020) p. 200, ch. 3, Definition 2.1

[7] Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1

[8] Valenza (1993) p. 71, § 4.3

[9] ハルモス (1974) p. 90、§50

[wardlaw-10] Wardlaw, William P. (2005), "行ランクは列ランクに等しい", Mathematics Magazine , 78 (4): 316–318 , doi : 10.1080/0025570X.2005.11953349 , S2CID 218542661

[banerjee-roy-11] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics , Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[12] 張福珍 (2011). 「定理 2.6」.行列理論：基本結果と技法. Universitext (第 2版). Springer. p. 52. ISBN 978-1-4614-1098-0。

[15] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). "Section 0.4.5(d)".行列解析（第2版）. Cambridge University Press. p. 13. ISBN 978-0-521-54823-6。

[16] ミルスキー、レオニード (1955).線形代数入門. ドーバー出版. ISBN 978-0-486-66434-7。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

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