逆三角関数

数学において、逆三角関数（逆三角関数^{[1] 、} 循環関数^[2]、または弧関数^[3]とも呼ばれる）は、適切に制限された定義域における三角関数の逆関数である。具体的には、正弦関数、余弦関数、正接関数、余接関数、割線関数、余割関数の逆関数であり^[4]、任意の角度の三角比から角度を取得するために使用される。逆三角関数は、工学、航海、物理学、幾何学で広く使用されている。

逆三角関数の表記法はいくつかあります。最も一般的な慣例は、逆三角関数に arc- 接頭辞を使用して名前を付けることです。arcsin ( x )、arccos( x )、arctan( x )などです。^[1] (この表記法はこの記事全体で使用されます。) この表記法は、次の幾何学的関係から生じています。^[要出典] ラジアンで測定する場合、角度θラジアンは、長さがrθの円弧に対応します。ここで、rは円の半径です。したがって、単位円では、 x の余弦関数は円弧と角度の両方です。これは、半径 1 の円弧が角度と同じだからです。または、「余弦がxである円弧」は「余弦がxである角度」と同じです。これは、円弧の半径での長さが、角度のラジアンでの測定値と同じだからです。^[5]コンピュータプログラミング言語では、逆三角関数はasin、acos、atanなどの省略形で呼ばれることが多い。^[6]

1813 年にジョン・ハーシェルによって導入されたsin ⁻¹ ( x )、cos ⁻¹ ( x )、tan ⁻¹ ( x )などの表記法^{[7] [8]は、英語の文献[1]}でもよく使われており、同じく確立されたsin ^[−1] ( x )、cos ^[−1] ( x )、tan ^[−1] ( x ) よりもはるかに多く使用されています。これらは、逆関数の表記法と一貫性のある慣習であり、たとえば、各逆三角関数の多値バージョンを定義するのに役立ちます。ただし、これは sin 2 ( x )などの式の一般的な^意味論と論理的に矛盾しているように見えるかもしれませんが(ただし、括弧なしのsin ² xだけが実際によく使用されます)、これらの式は関数の合成ではなく数値の累乗を参照するため、逆数(乗法逆数) と逆関数の表記法が混同される可能性があります。^[9] ${\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.}$

逆三角関数にはそれぞれ独自の名前が付いているため、混乱はある程度緩和されます。たとえば、(cos( x )) ⁻¹ = sec( x )などです。ただし、あいまいであるため、この関数を使用しないよう推奨する著者もいます。^{[1] [10]}少数の著者によって使用されている別の危うい慣例に、最初の文字を大文字にして上付き文字「 −1」を使用するものがあります。Sin ⁻¹ ( x )、Cos ⁻¹ ( x )、Tan ⁻¹ ( x )などです。^[11]これは、逆数との混同を避けるためのもので、逆数はsin ⁻¹ ( x )、cos ⁻¹ ( x )など、またはより適切なのはsin ⁻¹ x、cos ⁻¹ xなどと表されるべきですが、多くの一般的な高水準プログラミング言語（例：MathematicaやMAGMA）が標準の三角関数にまったく同じ大文字の表現を使用しているのに対し、他の言語（Python、SymPy、NumPy、Matlab、MAPLEなど）は小文字を使用しているため、今度は大きな曖昧さの原因となります。

したがって、2009 年以降、ISO 80000-2規格では、逆関数に対して「arc」接頭辞のみが指定されています。

6 つの三角関数はいずれも1 対 1ではないため、逆関数を持つためには制限が必要です。したがって、逆関数の結果の範囲は、元の関数の定義域の適切な (つまり厳密な)サブセットになります。

たとえば、関数 を多価関数の意味で使用する場合、平方根関数はから定義できるのと同じように、関数 はとなるように定義されます。となる実数が与えられた場合、となる数が複数（実際には、可算無限個）存在します。たとえば、となるだけでなく、 となる数も存在します。 値が 1 つだけ必要な場合は、関数をその主枝に制限することができます。この制限により、ドメイン内の のそれぞれについて、式はという単一の値のみに評価されます。これらの特性は、すべての逆三角関数に適用されます。 ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$${\displaystyle y^{2}=x,}$${\displaystyle y=\arcsin(x)}$${\displaystyle \sin(y)=x.}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \sin(y)=x}$${\displaystyle \sin(0)=0,}$${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \arcsin(x)}$

主な逆関数は次の表に示されています。

注: 一部の著者^[要出典]は、アークセカントの範囲を と定義しています。これは、正接関数がこの領域で非負であるためです。これにより、一部の計算がより一貫性を持ちます。たとえば、この範囲を使用すると、範囲 の場合はと書く必要があります。これは、正接関数が では非負ですが、 では非正であるためです。同様の理由で、同じ著者がアークコセカントの範囲をまたは と定義しています。${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

が複素数であることが許可されている場合、 の範囲はその実数部にのみ適用されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

以下の表は、逆三角関数の名前と定義域、およびそれらの通常の主値の範囲をラジアンで示しています。

記号は実数全体の集合を表し、 は整数全体の集合を表します。 の整数倍全体の集合は で表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}$${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.}$$

記号は集合減算を表し、例えば、は区間内にない（つまり実数）の点の集合である。${\displaystyle \,\setminus \,}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-1,1).}$

ここで、 の領域を簡潔に記述するために上で使用されているミンコフスキー和表記法とについて説明します。${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}}$${\displaystyle \cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec }$

コタンジェントとコセカントのドメイン${\displaystyle \cot }$${\displaystyle \csc }$:とのドメインは同じです。これらは、ある整数に対して の形をとらないすべての実数、つまりすべての角度の集合です。${\displaystyle \,\cot \,}$${\displaystyle \,\csc \,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin \theta \neq 0,}$${\displaystyle \pi n}$${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

接線と割線${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \sec }$の定義域:との定義域は同じです。これらは、${\displaystyle \,\tan \,}$${\displaystyle \,\sec \,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta \neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}}$$

各三角関数は、その引数の実部において周期的であり、各区間ですべての値を2回通過する。${\displaystyle 2\pi :}$

• 正弦と余弦の周期は（は整数）で始まり、で終わり、その後反転して${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• コサインとセカントの周期は で始まり、で終わり、その後反転してになります。${\displaystyle 2\pi k,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$${\displaystyle 2\pi k+\pi }$${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• 接線は周期を で開始し、 で終了し、それをまで繰り返します（前方へ）。${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• コタンジェントの周期は で始まり、で終了し、その後 まで繰り返します（順方向）。${\displaystyle 2\pi k,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi }$${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

この周期性は、一般的な逆関数に反映されます。ここでは、は整数です。 ${\displaystyle k}$

次の表は、6 つの標準三角関数を含む等式を解くために逆三角関数がどのように使用されるかを示しています。指定された値とはすべて適切な範囲内にあると想定されており、以下の関連する式は明確に定義されています。「いくつかの」は「いくつかの整数について」 の別の言い方であることに注意してください。${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k.}$

この記号は論理的等価性を表し、左辺が真であれば右辺も真であり、逆に右辺が真であれば左辺も真であることを示します (この概念の詳細と例については、 この脚注^{[注 1]を参照してください)。}${\displaystyle \,\iff \,}$

ここで、最初の 4 つのソリューションは、展開形式で次のように記述できます。

たとえば、の場合、ある に対して であり、の場合、ある に対して である場合、 の場合に は偶数であり、 の場合に は奇数です。方程式および は、それぞれ およびと同じ解を持ちます。先ほど解いた方程式 (つまり、 /および/を除く) を除く上記のすべての方程式において、解の式の整数は によって一意に決定されます(および を固定した場合)。 ${\displaystyle \cos \theta =-1}$${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sin \theta =1}$${\displaystyle \sin \theta =-1.}$${\displaystyle \sec \theta =-1}$${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$${\displaystyle \cos \theta =-1}$${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \sec \theta =-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r,s,x,}$${\displaystyle y}$

整数パリティ の助けを借りて、「プラスまたはマイナス」記号を含まない ソリューションを記述することが可能です。 $${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \,\pm \,}$

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$ある人にとって${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

同様に、セカント関数についても、

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$ある人にとって${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

ここで、整数が偶数の場合は に等しく、奇数の場合は に等しくなります。 ${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$${\displaystyle \pi h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi h+\pi }$

との解には、意味が明らかになった「プラスまたはマイナス」記号が含まれています。 の議論は同じなので、 の解についてのみ説明します。と の間にはが与えられており、を満たすある区間に角度があることがわかっています。これを見つけたいのですが、上の表は、解が であることを示しています 。これは 、次の文の (少なくとも) 1 つが真であることを簡潔に表したものです。${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \sec \theta =x}$${\displaystyle \,\pm ,\,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \sec \theta =x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta =x.}$${\displaystyle \theta .}$$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

1. ${\displaystyle \,\theta =\arccos x+2\pi k\,}$ある整数または${\displaystyle k,}$
   
2. ${\displaystyle \,\theta =-\arccos x+2\pi k\,}$ある整数に対して${\displaystyle k.}$

上で述べたように、（定義により の場合にのみ発生します）場合、整数 の値は異なりますが、ステートメント（1）と（2）の両方が成立します。 がステートメント（1）の整数である場合、つまり が成立する場合、ステートメント（2）の整数は です（ のため）。ただし、の場合、整数は一意であり、 によって完全に決定されます （定義により の場合にのみ発生します）場合、 （のため、両方のケースで はに等しい）ため、ステートメント（1）と（2）は、この特定のケースでは偶然同一です（したがって両方とも成立します）。 と の場合を検討したので、今度はおよびの場合に焦点を当てます。したがって、今後はこれを前提とします。 の解は依然として であり 、これは前と同様に、ステートメント（1）と（2）のいずれかが真であると述べるための省略形です。ただし今回は および のため、ステートメント（1）と（2）は異なり、さらに、2つの等式のうち正確に1つが成立します（両方ではありません）。 についての追加情報は、どちらが成立するかを判断するために必要です。たとえば、 であり、についてわかっているのは だけであるとします（それ以上はわかりません）。そして 、さらに、この特定のケース（ の場合と の場合の両方について）では、したがって、 はまたはのいずれかである可能性がある ことを意味します。追加情報なしでは、これらの値のどちらが であるかを判断することはできません。 の値を判断できる追加情報の例としては、角度が- 軸より上にあること（この場合は）を知ること、または角度が - 軸より下にあること（この場合は）を知ることが挙げられます。 ${\displaystyle \,\arccos x=\pi \,}$${\displaystyle x=\cos \pi =-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta =\pi +2\pi K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K+1}$${\displaystyle \theta =-\pi +2\pi (1+K)}$${\displaystyle x\neq -1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta .}$${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$${\displaystyle x=\cos 0=1}$${\displaystyle \,\pm \arccos x=0\,}$${\displaystyle \,+\arccos x=+0=0\,}$${\displaystyle \,-\arccos x=-0=0\,}$${\displaystyle \,\pm \arccos x\,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$${\displaystyle \,\arccos x=\pi ,\,}$${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$${\displaystyle \,\arccos x\neq \pi ,\,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$${\displaystyle \,0<\arccos x<\pi ,\,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}$$${\displaystyle \arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}}$$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle \,-\,}$$${\displaystyle \theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \,\pi /2\,}$${\displaystyle \,-\pi /2.}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta =-\pi /2}$

以下の表は、与えられた三角関数の下で 2 つの角度の値が等しいか互いに負である場合に、 それらの角度がどのように関係するかを示しています。${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

最後の行の縦の二重矢印は、およびが満たす場合のみ満たすことを示しています。${\displaystyle \Updownarrow }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|}$${\displaystyle \left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.}$

基本的な三角方程式のすべての解の集合

したがって、基本的な三角方程式 (たとえば はそのような方程式であり、 は常に成り立つため、は常に解です) の単一の解が与えられた場合、その方程式のすべての解の集合は次のようになります。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin \theta =y}$${\displaystyle \sin(\arcsin y)=y}$${\displaystyle \theta :=\arcsin y}$

上記の式は、反射とシフトの恒等式を使って変換できる。^[12]

これらの式は、特に次のことが成り立つことを意味します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$

ここで、 swapping swappingと swapping はそれぞれ の類似の方程式を与えます。 ${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$${\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}$

例えば、等式を使うと、方程式は次のように変形できます。これにより、方程式の解（ここで）が使用できるようになります。その解は 次 のようになります。これは次のようになります。 ここで という事実と代入を使うと、 の別の解は次のようになります。 代入を使うと、上の式の右辺を の代わりに で表すことができます。${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$${\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}$${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$${\displaystyle h:=-k}$${\displaystyle \;\cos \theta =x\;}$$${\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .}$$${\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}$${\displaystyle \;\arccos x\;}$${\displaystyle \;\arcsin x.\;}$

三角関数と逆三角関数は、以下の表にまとめられています。これらを簡単に導くには、1 辺の長さが 1、もう 1 辺の長さが である直角三角形の形状を考え、ピタゴラスの定理と三角比の定義を適用します。逆正割と逆余割については、図では が正であると想定されているため、絶対値と符号(sgn) 演算を使用して結果を修正する必要があることに注意してください。 ${\displaystyle x,}$${\displaystyle x}$

補角:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

否定的な議論:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

相互の議論:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}$

上記の恒等式は、と が逆数であるという事実（すなわち）とともに使用（および導出）することができ、およびおよび も同様である。${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \csc }$${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}}$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \sec ,}$${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \cot .}$

正弦表の一部分しか持っていない場合に便利な恒等式:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

ここで複素数の平方根が使用されるときは常に、正の実数部（平方が負の実数の場合は正の虚数部）を持つ根を選択します。

上記の表から直接導かれる便利な形式は

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$。

ということを認識することで得られます。 ${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$

半角の公式,から、次の式が得られます。 ${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

これは正接の加算公式から導かれる。

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

許可することで

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

zの複素数値の導関数は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

xの実数値のみ:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

これらの式は三角関数の微分によって導出できる。例えば、ならば 、${\displaystyle x=\sin \theta }$${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

導関数を積分し、値を 1 点で固定すると、逆三角関数の定積分としての式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

x が1 に等しい場合、限定された領域を持つ積分は不定積分ですが、それでも明確に定義されています。

正弦関数や余弦関数と同様に、逆三角関数も次のようにべき級数を使って計算できます。逆正弦の場合、級数はその導関数 を二項級数として展開し、項ごとに積分することで（上記の積分定義を使用して）導くことができます。逆正接の級数は同様に、その導関数 を幾何級数で展開し、上記の積分定義を適用することで導くことができます（ライプニッツ級数 を参照）。 ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$

他の逆三角関数の級数は、上記の関係に従ってこれらを使って表すことができます。例えば、、、などです。別の級数は次のように表されます。^[13]${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

レオンハルト・オイラーは、テイラー級数よりも速く収束する逆正接級数を発見しました。

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$^[14]

( n = 0の場合の和の項は空積であり、1 も同様です。)

あるいは、次のように表現することもできる。

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$

逆正接関数の別の級数は次のように表される。

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$

ここで虚数単位はである。^[15]${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

逆正接のべき級数の 2 つの代替として、次の一般化連分数があります。

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

2 番目は、切断複素平面で有効です。切断は 2 つあり、虚軸に沿って− iから無限遠点ま​​で下がる切断と、同じ軸に沿ってiから無限遠点ま​​で上がる切断です。これは、−1 から 1 までの実数に最適です。部分分母は奇数の自然数で、部分分子 (最初の分子の後) は ( nz ) ^{2で、各完全平方は 1 回出現します。最初のものは}レオンハルト オイラーによって開発され、2 番目のものはガウス超幾何級数を利用してカール フリードリヒ ガウスによって開発されました。

zの実数値と複素数値の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

実数x ≥ 1の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

-1 から 1 までの範囲外の 実数xについて:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

絶対値は、逆正割関数と逆余割関数の負の値と正の値の両方を補正するために必要です。また、2 つの関数の導関数の絶対値により、x の正の値と負の値に対して 2 つの異なる解が生成されるため、signum 関数も必要です。これらは、逆双曲関数の対数定義を使用してさらに簡略化できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

arcosh 関数の引数の絶対値はグラフの負の半分を作成し、上記の signum 対数関数と同一になります。

これらの不定積分はすべて、部分積分と上記に示した簡単な微分形式を 使用して導出できます。

（つまり部分積分）を使用して、 ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}$

単純な置換 により最終結果は次のようになります。 ${\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}$

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

逆三角関数は解析関数なので、実数直線から複素平面まで拡張できます。これにより、複数のシートと分岐点を持つ関数が生成されます。拡張を定義する 1 つの方法は、次のとおりです。

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

ここで、虚軸のうち厳密に分岐点（−i と +i）の間にない部分は、主シートと他のシートの間の分岐カットです。積分の経路は分岐カットを横切ってはなりません。zが分岐カット上にない場合、0 からzへの直線経路がそのような経路です。zが分岐カット上にある場合、経路は上部の分岐カットの場合はRe[x] > 0から、下部の分岐カットの場合はRe[x] < 0から近づく必要があります。

逆正弦関数は次のように定義されます。

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

ここで（平方根関数は負の実軸に沿って切断され、）厳密に−1と+1の間にない実軸の部分は、arcsinの主シートと他のシートとの間の分岐切断です。

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

これは arcsin と同じカットを持ちます。

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

これは arctan と同じカットを持ちます。

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

ここで、実軸の -1 から +1 までの間の部分は、arcsec の主シートと他のシートとの間のカットです。

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

arcsec と同じカットを持ちます。

これらの関数は、複素対数を使用して表現することもできます。これにより、自然な方法でそれらの定義域が複素平面に拡張されます。関数の主値の次の恒等式は、それらが定義されているすべての場所で、分岐カット上であっても成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

すべての逆三角関数は直角三角形の角度を出力するため、オイラーの公式を使用して複素平面に直角三角形を形成することで一般化できます。代数的に、次の式が得られます。

${\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}$

または

${\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}$

ここでは隣接辺、は対辺、 は斜辺です。ここから を解くことができます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}$

または

${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}$

実数値の および に対しては、単純に虚数部を取ればうまくいきますが、または が複素数値の場合は、結果の実数部が除外されないように最終方程式を使用する必要があります。斜辺の長さによって角度は変化しないため、 の実数部を無視すると方程式から も削除されます。最終方程式では、各辺の長さを入力することで、複素平面における三角形の角度がわかることがわかります。3 辺のうちの 1 辺を 1 に、残りの 1 辺を入力 に設定することで、逆三角関数の 1 つの式が得られ、合計 6 つの方程式が得られます。逆三角関数には 1 つの入力しか必要ないため、ピタゴラスの定理の関係 を使用して、三角形の最終辺を他の 2 辺に当てはめる必要があります。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \ln(a+bi)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

以下の表は、各逆三角関数の a、b、c の値と、それらの値を上記の式に代入して簡略化した結果得られる同等の式を示しています。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}}$

簡略化された式の特定の形式により、各逆三角関数の通常の主枝と異なる出力が発生する可能性があります。列の arccotangent を除くすべての関数に対して、and主枝を使用すると、指定された定式化により通常の主枝が出力されます。 列の arccotangent は、and規則を使用して通常の主枝で出力されます。 ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$

この意味で、逆三角関数はすべて、複素数値対数関数の特殊なケースと考えることができます。これらの定義は任意の複素数値に機能するため、定義では出力として双曲角が考慮され、逆双曲関数をさらに定義するために使用できます。三角関数の指数形式から始めて逆関数を解くことで、これらの関係を代数的に証明することができます。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}$

正弦の指数定義を用いて、${\displaystyle \xi =e^{i\phi },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

（正の枝が選択されます）

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

逆三角関数は、直角三角形の辺の長さがわかっている場合に、残りの2つの角度を決定するときに役立ちます。直角三角形の正弦と余弦の定義を思い出すと、次のようになります。

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$

多くの場合、斜辺は不明であり、ピタゴラスの定理を使用してアークサインまたはアークコサインを使用する前に計算する必要があります。ここで、 は斜辺の長さです。この状況では、斜辺の長さは必要ないため、アークタンジェントが役立ちます。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.}$

たとえば、屋根が 20 フィート伸びるときに 8 フィート下がるとします。屋根は水平に対してθ の角度をなします。θは次のように計算できます。

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

2 つの引数を取るatan2関数は、 yとxが与えられた場合にy / xの逆正接を計算しますが、範囲は (− π、  π ] です。言い換えると、 atan2( y、  x ) は、平面の正のx軸とその上の点 ( x、  y )の間の角度であり、反時計回りの角度 (上半平面、y  > 0) の場合は正の符号、時計回りの角度 (下半平面、y  < 0) の場合は負の符号になります。これは、多くのコンピュータ プログラミング言語で最初に導入されましたが、現在では科学や工学の他の分野でも一般的になっています。

標準的な逆正接関数では、（− ⁠π/2⁠、⁠π/2⁠）、次のように表現できます。

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}}$

これは複素数x  +  i yの引数の主値にも等しくなります。

上記の関数のこの限定バージョンは、次のように正接半角の公式を使用して定義することもできます。

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)}$

ただし、 x  > 0 またはy ≠ 0の場合に限ります。 ただし、x ≤ 0 かつ y = 0 の場合は失敗するため、この式は計算には適していません。

上記の引数の順序 ( y、x ) は最も一般的であり、特にC プログラミング言語などのISO 標準で使用されていますが、少数の著者は逆の規則 ( x、y )を使用する可能性があるため、注意が必要です。これらのバリエーションについては、atan2で詳しく説明されています。

多くの応用^[16]では、方程式の解は与えられた値に可能な限り近づくことである。適切な解はパラメータ修正逆正接関数によって生成される。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x=\tan(y)}$${\displaystyle -\infty <\eta <\infty }$

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}$

この関数は最も近い整数に丸めます。 ${\displaystyle \operatorname {rni} }$

0 とπに近い角度ではアークコサインは条件が悪く、 − π /2 とπ /2に近い角度ではアークサインも同様に条件が悪くなります。したがって、コンピュータアプリケーションでは、これらの関数への入力の安定性と計算の感度を考慮するか、別の方法を使用する必要があります。^[17]

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン A.編 (1972)。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 978-0-486-61272-0。

• ワイスタイン、エリック・W.「インバース・タンジェント」。マスワールド。