バケット引数

アイザック・ニュートンの回転バケツ論（ニュートンのバケツとも呼ばれる）は、真の回転運動は、周囲の物体に対する物体の相対的な回転として定義できないことを示すために考案された。これは、「真の運動と静止」の「特性、原因、および結果」からの5 つの論証のうちの 1 つであり、一般に真の運動と静止は、他の物体に対する運動または静止の特別な例として定義することはできず、絶対空間を参照してのみ定義できるという彼の主張を裏付けるものである。あるいは、これらの実験は、「絶対回転」が何を意味するかについての操作的定義を提供するものであり、「何に対する回転か？」という疑問に答えようとはしていない。^[1]一般相対性理論は、絶対空間と、原因がシステムの外部にある物理学、時空の測地線の概念を不要にする。^[2]

これらの議論と、絶対的および相対的な時間、空間、場所、運動の区別についての議論は、ニュートンの著作『自然哲学の数学的原理』 （1687年）の第1巻の定義の章末にあるスコリウム（第3巻末の一般スコリウムと混同しないように）に記載されています。このスコリウムは、古典力学の基礎を確立し、惑星の運動に関する初めて定量的に適切な力学的説明をもたらした万有引力の法則を導入しました。^[3]

17世紀の自然哲学者たちは、直線慣性の原理と見かけの運動の運動学的相対性（これがプトレマイオス体系とコペルニクス体系のどちらが正しいかの根底にある）を受け入れていたにもかかわらず、真の運動と静止は個々の物体の物理的に別々の記述子であるとみなし続けた。ニュートンが反対した支配的な見解は、ルネ・デカルトによって考案され、ゴットフリート・ライプニッツによって（部分的に）支持された。それは、空間は物質の延長に他ならないので、空の空間は形而上学的に不可能である、あるいは言い換えれば、物と物の間の空間について語るとき、実際には物と物の間に存在する関係について言及しているのであって、物と物の間に立つ何らかの実体について言及しているのではない、というものである。^{[4] [5]} 上記の理解と一致して、物体の運動に関するいかなる主張も、時間経過に伴う説明に帰着し、その説明では、検討中の物体はt ₁では「ランドマーク」物体の1つのグループの近くにあり、t ₂では他の「ランドマーク」物体の近くにあります。^{[6] [7]}

しかし、デカルトは、可動部分を持ち、もともと周囲のリングに対して静止していた物体がリングに対して特定の角速度まで加速される状況と、周囲のリングが中心物体に対して反対の加速度を与えられた別の状況との間には、実際の違いがあることを認識していました。中心物体と周囲のリングだけを考慮すると、中心物体と周囲のリングの両方が絶対的に剛体であると仮定すると、動きは互いに区別がつきません。しかし、中心物体も周囲のリングも絶対的に剛体でない場合は、どちらかまたは両方の部分が回転軸から飛び出す傾向があります。

異端審問に関係する偶発的な理由から、デカルトは運動を絶対的かつ相対的なものとして語った。^{[8] [検証に失敗した]}

19世紀後半には、すべての運動は相対的であるという主張が、特にエルンスト・マッハ（1883年）によって再導入されました。 ^{[9] [10]}

したがって、物体が空間内で方向と速度を変えずに保持すると言うとき、私たちの主張は、宇宙全体に対する簡潔な言及に他なりません。

— エルンスト・マッハ;チウフォリーニとホイーラー著『重力と慣性』 387ページより引用

ニュートンは、紐で吊るされた水の入ったバケツ（ラテン語：situla）について論じています。 ^[11]紐をしっかりとねじってバケツを放すと、バケツは実験者に対してだけでなく、中に入っている水に対しても急速に回転し始めます。（この状況は、上の図Bに相当します。）

この段階での相対運動は最大であるが、水面は平らなままであり、バケツに近いにもかかわらず、水の各部分が相対運動の軸から遠ざかる傾向がないことを示す。最終的に、紐がほどけ続けると、実験者に対して回転するバケツの運動を捉えて、水面は凹面の形をとる。この凹面の形は、水がバケツに対して静止しているにもかかわらず、水が回転していることを示す。言い換えれば、水の凹面を引き起こすのはバケツと水の相対運動ではなく、運動は相対的であり、絶対運動はないという考えに反する。（この状況は図 D に対応する。）水の凹面は、他の何か、たとえば絶対空間に対する回転を示している可能性があるか？ニュートンは次のように述べている。「水の真の絶対的な円運動を見つけて測定することができる」^[12]

1846年にアンドリュー・モットがニュートンの言葉を翻訳した。^[13]

長い紐で吊るされた容器が頻繁に回転すると紐が強くねじれ、水が満たされ、水とともに静止します。その後、別の力が突然作用して、逆方向に回転し、紐がねじれを解く間、容器はしばらくこの動きを続けます。水面は、容器が動き始める前と同じように最初は平坦ですが、容器が徐々にその動きを水に伝えると、水は明らかに回転し始め、少しずつ後退し、容器の側面に上昇して凹面を形成します...この水の上昇は、その運動の軸から後退しようとする水の動きを示しています。そして、ここでは相対的な動きと正反対である水の真の絶対的な円運動が明らかになり、この動きによって測定できます。...したがって、この動きは周囲の物体に対する水のいかなる移動にも依存せず、真の円運動はそのような移動によって定義できません。...;しかし、相対的な運動は...まったく実際の効果を欠いています。...特定の物体の真の運動を見かけ上の運動から発見し、効果的に区別することは、確かに非常に困難なことです。なぜなら、これらの運動が行われる不動の空間の部分は、決して私たちの感覚で観察できないからです。

— アイザック・ニュートン;プリンキピア、第 1 巻: スコリウム

運動は絶対的であり相対的ではないという議論は不完全である。なぜなら、実験の参加者をバケツと水だけに限定しているが、この制限は確立されていないからである。実際、水の凹面は明らかに重力の引力に関係しており、暗に地球も参加者である。マッハは相対運動のみが確立されていると主張したため、次のような批判がある。^[14]

ニュートンの回転する水の容器の実験は、容器の側面に対する水の相対的な回転では目立った遠心力は発生しないが、地球や他の天体の質量に対する水の相対的な回転によって遠心力が発生することを単に示している。

— エルンスト・マッハ、L. ブキオーが『ライプニッツ』で引用。 104

マッハの仮説が一般相対性理論にどの程度統合されているかは、マッハの原理の記事で議論されています。一般相対性理論は完全にマッハ的ではないと一般的に考えられています。

回転する水の表面が曲がっていることは、すべての観察者の同意するところです。しかし、この曲率の説明には、すべての観察者にとって遠心力が関係しています。ただし、完全に静止している観察者の場合は、曲率は観察している水の回転速度と一致しており、追加の遠心力は必要ありません。したがって、静止フレームを特定でき、「何に対して静止しているか」を尋ねる必要はありません。

「運動の法則はどのような基準系に対して成り立つのか？」という当初の疑問は、誤って提起されたことが明らかになった。運動の法則は、本質的に基準系のクラスと、（原理的には）それらを構築する手順を決定するからである。 ^[15]

絶対回転の発生を判断するという同じ目的を持つ補足的な思考実験もニュートンによって提案されました。それは、ひもで結ばれた 2 つの同一の球が重心の周りを回転する様子を観察する例です。ひもに張力が発生することは絶対回転を示しています。回転する球を参照してください。

回転バケツ実験の歴史的な関心は、水面の形状を観察することで絶対的な回転を検出できることを示唆する有用性にあります。しかし、回転によってこの変化がどのようにもたらされるのか疑問に思う人もいるかもしれません。以下は、バケツ内の回転する水面の凹面を理解するための 2 つのアプローチです。

バケツの中で回転する液体の表面の形状は、表面の要素に働くさまざまな力に対するニュートンの法則を使って決定できます。たとえば、Knudsen と Hjorth を参照してください。^[16]解析は、水が静止しているように見える共回転フレームの自由体図から始まります。水の高さh = h ( r ) は、回転軸Ωからの半径距離rの関数であり、この関数を決定することが目的です。表面上の水の体積の要素は、重力による垂直方向の力F _g、水平方向の半径方向外向きの遠心力F _Cfgl、および選択された表面要素を取り囲む残りの水による水面に対して垂直な力F _{nの 3 つの力を受けることが示されています。周囲の水による力は、平衡状態の液体は}せん断応力を支えることができないため、水面に対して垂直であることが知られています。[ ^17] Anthony と Brackett を引用すると、次のようになります。 ^[18]

均一な密度の流体の表面は、静止している場合には、どこでも力の線に対して垂直です。そうでない場合、表面上の点における力は、表面に垂直な成分と接線方向の成分の 2 つに分解できます。しかし、流体の性質上、接線方向の力は流体の動きを引き起こし、これは流体が静止しているという主張に反します。

— ウィリアム・アーノルド・アンソニー & サイラス・フォッグ・ブラケット:物理学初等教科書、p. 127

さらに、水の要素は動かないので、3 つの力の合計は 0 でなければなりません。合計が 0 になるためには、水の力は遠心力と重力の合計と反対の方向を向いている必要があります。つまり、水面の法線がこの方向を向くように調整する必要があります。(非常によく似た問題として、バンク ターンの設計があります。この場合、車が道路から滑り落ちないようにターンの傾斜が設定されます。回転するバケツの場合の類似点は、水面の要素は、表面の法線がベクトルの加算 F _g + F _Cfglによって形成されるベクトルの結果と一致しない限り、表面を上下に「滑り」ます。)

rが増加すると、遠心力は次の関係に従って増加します (式は単位質量あたりで書かれています)。

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=m\オメガ ^{2}r\ ,}$

ここでΩは水の一定の回転速度である。重力は変化しない。

${\displaystyle F_{\mathrm {g} }=mg\ ,}$

ここでgは重力加速度である。これら2つの力が加わり、垂直から 角度φで次の式で表される合力が生じる。

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {F_{\mathrm {Cfgl} }}{F_{\mathrm {g} }}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ 、}$

これは明らかにrが増加するにつれて大きくなります。この結果が水面に対して垂直になり、その結果、水面下の力によって効果的にゼロにされるためには、表面に対する法線は同じ角度、つまり

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}\ ,}$

表面の形状に関する常微分方程式が導かれます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}$

または、統合する:

${\displaystyle h(r)=h(0)+{\frac {1}{2g}}\left(\Omega r\right)^{2}\ ,}$

ここで、h (0) はr = 0における水の高さです。言い換えると、水面は半径に応じて放物線状になります。

水面の形状は、共回転フレームにおける遠心力に関連する位置エネルギーという興味深いアイデアを使用して、非常に直感的な方法で見つけることができます。角速度Ωで均一に回転する基準フレームでは、架空の遠心力は保存的であり、位置エネルギーは次のようになります。^{[19] [20]}

${\displaystyle {U}_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {1}{2}}m\オメガ ^{2}r^{2}\ ,}$

ここで、r は回転軸からの半径です。この結果は、ポテンシャルの勾配を取って放射状の外向きの力を求めることで確認できます。

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {\partial }{\partial r}}{U}_{\mathrm {Cfgl} }}$ ${\displaystyle =m\Omega ^{2}r\ .}$

位置エネルギー (蓄積された仕事) の意味は、試験体を大きな半径から小さな半径に移動すると、遠心力に逆らう仕事が行われ、位置エネルギーが得られるということです。しかし、高度が低い小さな半径にあるこの試験体は、同等の重力位置エネルギーを失っています。

したがって、位置エネルギーは、回転するバケツ内の水面の凹面を説明します。平衡状態では、表面は、その表面上のどの位置の体積要素も他のどの位置と同じ位置エネルギーを持つような形状をとることに注意してください。そうであれば、すべての位置のエネルギーが等しいため、表面上の水の要素には位置を移動する動機がありません。つまり、平衡が達成されます。一方、より低いエネルギーを持つ表面領域が利用可能であれば、理想的な液体では横方向の移動に対する障壁がないため、より高い位置エネルギーを持つ表面位置を占める水は、より低いエネルギーの位置を占めるように移動するでしょう。

水の表面形状を一時的に変更して、等エネルギー表面とは異なる形状にすることで、この平衡状態を故意に崩すことを想像できるかもしれません。この形状の変化は安定せず、水は人工的に作り出した形状にとどまらず、バケツの側面または液体の非理想的な性質によって生じる非理想的な摩擦力によって振動が抑えられ、水が平衡形状に落ち着くまで、さまざまな形状を一時的に模索します。

等エネルギー面の原理がどのように機能するかを見るには、バケツの回転速度をゼロから徐々に上げていく様子を想像してください。水面は最初は平らで、明らかに等位置エネルギー面です。これは、水に作用する重力場において、表面上のすべての点が同じ高さにあるためです。しかし、回転角速度が小さいと、表面の水の要素は遠心力の影響を受けて外側に移動することで、より低い位置エネルギーを実現できます。重力の力で地球の中心に近づく物体を考えてみましょう。物体は力に従うことで位置エネルギーを下げます。水は圧縮できず、バケツの範囲内にとどまらなければならないため、この外側への動きによって、半径が大きい方の水の深さが増し、半径が大きい方の表面の高さが増し、半径が小さい方の表面が低くなります。水面はわずかに凹面になり、その結果、半径が大きい方の水の位置エネルギーは、より高い高さを達成するために重力に逆らって行われた仕事によって増加します。水位が上昇するにつれて、遠心力による位置エネルギーの減少と重力に逆らうエネルギーの増加が釣り合うため、周辺への動きはもはや有利ではなくなります。したがって、所定の回転角速度では、凹面は安定した状態を表し、回転が速いほど、この表面はより凹状になります。回転が停止した場合、凹面を形成するために蓄えられたエネルギーは、摩擦などによって消散され、平衡の平らな表面が復元される必要があります。

一定の位置エネルギーの表面を定量的に実装するには、水の高さをとします。すると、重力によってもたらされる単位質量あたりの位置エネルギーは、表面上の単位質量あたりの総位置エネルギーは、 ${\displaystyle h(r)\,}$${\displaystyle gh(r)\ }$

${\displaystyle {U}={U}_{0}+gh(r)-{\frac {1}{2}}\Omega ^{2}r^{2}\,}$

背景エネルギーレベルはrに依存しません。静的な状況（回転フレーム内の流体の動きがない）では、このエネルギーは位置rに依存せず一定です。エネルギーが一定であることを要求すると、放物線形式が得られます。 ${\displaystyle {U}_{0}}$

${\displaystyle h(r)={\frac {\Omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h(0)\ ,}$

ここで、h (0) はr = 0 (軸) における高さです。図 1 および 2 を参照してください。

遠心分離機の動作原理も、この位置エネルギーの式で簡単に理解できます。これは、回転軸から遠い体積がより重い物質で占められている場合、エネルギー的に有利であることを示しています。

• ブライアン・グリーン(2004)。「第 2 章 宇宙とバケツ」。宇宙の構造: 空間、時間、現実の質感。AA Knopf。ISBN 0-375-41288-3。
• 宇宙マイクロ波背景放射の等方性は、宇宙が回転していないことを示すもう 1 つの指標です。参照:
  • RB パートリッジ (1995)。3 K: 宇宙マイクロ波背景放射。ケンブリッジ大学出版局。pp. 279–280。ISBN 0-521-35254-1。^{[永久リンク切れ‍ ]}
  • D. リンデンベル (1996)。相対論的天体物理学 (イゴール・ドミトリエヴィッチ・ノビコフ、バーナード・ジャン・トレフォー・ジョーンズ、ドラザ・マルコヴィッチ (編集者) 編)。ケンブリッジ大学出版局。p. 167。ISBN 0-521-62113-5。
  • ラルフ・A・アルファーとロバート・ハーマン（1975年）。ビッグバン宇宙論と宇宙黒体放射（Proc. Am. Philos. Soc. vol. 119, no. 5（1975）ed.）アメリカ哲学協会。pp. 325–348。ISBN 9781422371077。

• スタンフォード哲学百科事典のニュートンの空間、時間、運動に関する見解、ロバート・リナシエヴィッツによる記事。この記事の最後では、元のラテン語テキストと比較して翻訳では細かい区別が失われていることが説明されています。
• 空間が原因因子として作用するという考えに反対するライプニッツの主張については、『ライプニッツの生涯と哲学』の「空間、時間、識別不能なもの」のセクションを参照してください。
• ニュートンのバケツ 水の形状を示すインタラクティブなアプレットと、この記事で示されているものよりも完全な水の形状モデルの数学的導出を含む添付の PDF ファイル。