技術的代替の限界率

させて${\displaystyle Y}$これが私たちの生産機能です。

生産関数の全微分をとることにより、以下の結果が得られる。

$\displaystyle \ dY=(\partial Y/\partial x_{1})dx_{1}+(\partial Y/\partial x_{2})dx_{2}}$または、上記から代入して、

$\displaystyle \ dY=MP_{1}dx_{1}+MP_{2}dx_{2}}$または、一般性を失うことなく、財xに関する効用関数の全微分、

${\displaystyle {\frac {dY}{dx_{1}}}=MP_{1}{\frac {dx_{1}}{dx_{1}}}+MP_{2}{\frac {dx_{2}}{dx_{1}}}$つまり、

$\displaystyle {\frac {dY}{dx_{1}}}=MP_{1}+MP_{2}{\frac {dx_{2}}{dx_{1}}}}$。

無差別曲線上のどの点においても、$\displaystyle dY/dx_{1}=0}$、 なぜなら${\displaystyle Y=c}$、 どこ${\displaystyle c}$は定数である。上記の式から次のことが導かれる。

${\displaystyle 0=MP_{1}+MP_{2}{\frac {dx_{2}}{dx_{1}}}}$または並べ替え

${\displaystyle -MP_{1}=MP_{2}{\frac {dx_{2}}{dx_{1}}}}$

${\displaystyle {\frac {MP_{1}}{MP_{2}}}={\frac {-dx_{2}}{dx_{1}}}}$