クアドリフォリウム

四葉曲線（四つ葉のクローバー^[1]とも呼ばれる）は、角周波数が2のバラ曲線の一種です。極座標は次のようになります。

${\displaystyle r=a\cos(2\theta ),\,}$

対応する代数方程式

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}.\,}$

これを反時計回りに45°回転させると、

${\displaystyle r=a\sin(2\theta )\,}$

対応する代数方程式

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}.\,}$

どちらの形式でも、種数0 の平面代数曲線です。

四葉の 双曲線は

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2}=16( x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+y^{ 2}).\,}$

四辺形の内側の面積は で、これは四辺形の外接円の面積のちょうど半分です。四辺形の 周囲は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi a^{2}}$

${\displaystyle 8a\operatorname {E} \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=4\pi a\left({\frac {(52{\sqrt {3}}-90)\operatorname {M} '(1,7-4{\sqrt {3}})}{\operatorname {M} ^{2}(1,7-4{\sqrt {3}})}}+{\frac {7-4{\sqrt {3}}}{\operatorname {M} (1,7-4{\sqrt {3}})}}\right)}$

ここで はを法とする第二種完全楕円積分、は算術幾何平均、 は第2変数に関する導関数を表す。 ^[2]${\displaystyle \operatorname {E} (k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {M} }$${\displaystyle '}$

• J. Dennis Lawrence (1972)。特殊平面曲線のカタログ。Dover Publications。p. 175。ISBN 0-486-60288-5。

• JSXGraph を使用したインタラクティブな例