フルヴィッツの定理（合成代数）

数学において、フルヴィッツの定理は、アドルフ・フルヴィッツの定理であり、1923年に死後発表されたもので、非退化正定値二次形式を備えた有限次元単位実非結合代数のフルヴィッツ問題を解決するものである。この定理は、二次形式が代数の非零部分における正の実数への準同型を定義するならば、その代数は実数、複素数、四元数、または八元数と同型でなければならず、他の可能性は存在しないことを述べている。このような代数は、フルヴィッツ代数と呼ばれることもあり、合成代数の例である。

合成代数の理論はその後、任意の二次形式と任意の体へと一般化されました。^{[ 1 ]}フルヴィッツの定理は、平方和の乗法式は 1、2、4、8 次元でのみ発生することを示唆しており、これはもともと1898 年にフルヴィッツによって証明された結果です。これは、ラドン (1922)でも解決されたフルヴィッツ問題の特殊なケースです。次元の制限に関するその後の証明は、有限群の表現論を使用してエックマン (1943)によって、またクリフォード代数を使用してリー (1948)とシュヴァレー (1954)によって与えられました。フルヴィッツの定理は、代数トポロジーでは球面上のベクトル場と古典群のホモトピー群の問題に^[²^]、量子力学では単純ジョルダン代数の分類に応用されています。^[³^]

ユークリッド・フルヴィッツ代数

意味

フルヴィッツ代数または合成代数とは、必ずしも結合的ではない有限次元代数 $Aに、$ $q$ $($ $a b$ $) =$ $q$ $($ $a$ $)$ $q$ $($ $b$ $)$ を満たす非退化二次形式 $q$ を付与した単位元を持つ代数である。基礎となる係数体が実数であり、 $q$ が正定値である場合、 $($ $a$ $,$ $b$ $) =$ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $[$ $q$ $($ $a$ $+$ $b$ $) -$ $q$ $($ $a$ $) -$ $q$ $($ $b$ $)]は$ 内積となる。この場合、 $Aは$ ユークリッドフルヴィッツ代数または (有限次元)ノルム付き除算代数と呼ばれる。^[⁴^]

$A$ がユークリッドフルヴィッツ代数であり、 $aが$ $A$ に属する場合、対合演算子と右乗算演算子および左乗算演算子を次のように定義する。

a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.

明らかに、この対合は周期が２であり、内積とノルムを保存します。これらの演算子は次の性質を持ちます。

対合は反自己同型写像である、すなわち $(ab)* = b * a *$
$aa * = ‖ a ‖ 2 1 = a * a$
$L (a *) = L (a)*$ 、 $R (a *) = R (a)*$ なので、代数上の対合は随伴を取ることに対応する。
$Re (ab) = Re (ba)$ $Re$ $x$ $= ($ $x$ $+$ $x$ $*)/2 = ($ $x$ $, 1)1 の$ 場合
$Re (ab) c = Re a (bc)$
$L (a 2) = L (a) 2$ 、 $R (a 2) = R (a) 2$ なので、 $Aは$ 代替代数です。

これらの性質は、恒等式の偏極バージョン $(ab, ab) = (a, a)(b, b)$ から始めて証明されます。

\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}

$b = 1$ または $d = 1$ と設定すると、 $L (a *) = L (a)*$ および $R (c *) = R (c)*$ が得られます。

したがって、 $Re(ab) = (ab, 1)1 = (a, b *)1 = (ba, 1)1 = Re(ba)$ となります。

同様に $Re (ab) c = ((ab) c,1)1 = (ab, c *)1 = (b, a * c *)1 = (bc, a *)1 = (a (bc),1)1 = Re a (bc)$ 。

したがって、 $((ab)*, c) = (ab, c *) = (b, a * c *) = (1, b *(a * c *)) = (1, (b * a *) c *) = (b * a *, c)$ となり、 $(ab)* = b * a *$ となります。

偏極恒等式 $‖ a ‖ 2 (c, d) = (ac, ad) = (a * (ac), d)$ により、 $L (a *) L (a) = L (‖ a ‖ 2)$ となります。これを 1 に適用すると、 $a * a = ‖ a ‖ 2 1となります。$ $a を$ $a *$ に置き換えると、もう一方の恒等式が得られます。

$L$ $($ $a$ $*)$ $L$ $($ $a$ $) =$ $L$ $($ $a$ $*$ $a$ $)$ に $a *$ の式を代入すると、 $L$ $($ $a$ $)$ $2$ $=$ $L$ $($ $a2$ $)$ $が$ 得られる。同様にして $、$ $R$ $($ $a2$ $) =$ $R$ $($ $a$ $)$ $2$ の式も証明できる。

分類

実数 $R$ 、複素数 $C$ 、四元数 $Hが、標準ノルムと対合を持つ結合的ユークリッド・フルヴィッツ代数の例であることを確認するのは日常的なことである。さらに、$ $R \subset C \subset H$ のような自然な包含関係が存在する。

このような包含関係を分析すると、 AA Albertによって形式化されたCayley–Dickson 構成が得られます。A $を$ ユークリッドフルヴィッツ代数、 $B$ を真の単位元を持つ部分代数、つまりそれ自体がユークリッドフルヴィッツ代数とします。A $の B$ に $直交$ する単位ベクトル $jを選びます。$ $($ $j$ $, 1) = 0$ なので、 $j$ $* = -$ $j$ となり、したがって $j$ $2$ $= -1 と$ なります。C $を$ $B$ と $j$ によって生成される部分代数とします。これは単位元を持ち、再びユークリッドフルヴィッツ代数です。C は次のCayley–Dickson 乗法則を満たします。

\displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}

$B$ と $Bj$ は直交しています。なぜなら $jは$ $B$ に直交しているからです。 $aが$ $B$ に含まれる場合、直交性により $0 = 2($ $j$ $,$ $a$ $*) =$ $ja$ $-$ $a$ $*$ $jとなるため、$ $j a = a * j$ となります。対合の公式は次のようになります。 $B$ $\oplus$ $B j$ が乗法に関して閉じていることを示すには、 $Bj$ $=$ $jBとなります。$ $Bj は$ 1 に直交しているため、 $($ $bj$ $)* = -$ $bj$ となります。

$b (cj) = (cb) j$ は $(b, j) = 0$ なので、 $x \in$ $A$ に対して、 $(b (cj), x) = (b (jx), j (cj)) = -(b (jx), c *) = -(cb, (jx)*) = -((cb) j, x *) = ((cb) j, x)$ となります。
$（ jc ） b = j （ bc ）$ 上記の随伴をとる。
$(bj)(cj) = - c * b$ は $(b, cj)$ = 0 なので、 $x \in$ $A$ に対して、 $((bj)(cj), x) = -((cj) x *, bj) = (bx *, (cj) j) = -(c * b, x)$ となります。

$a$ $+$ $bj$ および $c$ $+$ $dj$ に対して $C$ にノルムの乗法性を課すと、次のようになる。

\displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}

これは

\displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}

したがって、 $d (ac) = (da) c$ となり、 $B は$ 結合法則を満たさなければならない。

$この分析は、 Rを$ $C$ に、 $Cを$ $H$ に含める場合に適用される。上記の積と内積を用いて $O = H \oplus Hとすると、$ $J = (0, 1)によって生成される非可換非結合代数が得られる。これにより、$ 八元数またはケイリー数の通常の定義が回復される。A $が$ ユークリッド代数であれば、 $Rを含まなければならない。A が$ $R$ より厳密に大きい場合、上記の議論から $Cが含まれることがわかる。A が$ $C$ より大きい場合、 $H$ が含まれる。A がさらに大きい場合、 $Oを含まなければならない。しかし、$ $O$ は結合的ではないため、そこでプロセスは停止しなければならない。実際、 $H$ は可換ではなく、 $O$ では $a (bj) = (ba) j \neq (ab) j$ である。^[⁵^]

定理。ユークリッドのフルヴィッツ代数は、実数、複素数、四元数、八元数のみである。

その他の証明

Lee (1948)とChevalley (1954)の証明では、クリフォード代数を用いて、 $A$ の次元 $N が$ 1、2、4、または 8 でなければならないことを示しています。実際、 $($ $a$ $, 1) = 0の演算子$ $L$ $($ $a$ $)$ は $L$ $($ $a$ $)$ $2$ $= -‖$ $a$ $‖$ $2$ を満たし、実クリフォード代数を形成します。 $a$ が単位ベクトルである場合、 $L$ $($ $a$ $)は$ $-$ $I$ の二乗と歪随伴です。したがって、 $N は$ 偶数または 1 でなければなりません(この場合、 $A$ には 1 に直交する単位ベクトルは含まれません)。実クリフォード代数とその複素化は、 $N$ 次元複素空間である $A$ の複素化に作用します。Nが偶数の場合、 $N$ $- 1は$ 奇数なので、クリフォード代数は次元 $2$ $N$ $/2 - 1$ の複素既約表現をちょうど 2 つ持ちます。したがって、この2 のべき乗は $N$ $を$ 割り切らなければなりません。これは、 $Nが$ 1、2、4、または8のいずれかしか取り得ないことを容易に示している。

エックマン（1943）の証明は、有限群の表現論、あるいは初等アーベル2群の射影表現論を用いており、これは実クリフォード代数の表現論と等価であることが知られている。実際、1の直交補空間の正規直交基底 $e$ $i$ を取ると、以下の式を満たす演算子 $U$ $i$ $=$ $L$ $($ $e$ $i$ $)$ が得られる。

U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).

これは位数2の $N$ $-1個の$ 群の直積の射影表現である。（ $N$ は1より大きいと仮定する。）演算子 $U$ $iは$ 構成上、歪対称かつ直交である。実際、エックマンはこの種の演算子をわずかに異なるが同等な方法で構成した。これは実際、フルヴィッツ（1923）で最初に採用された方法である。^[⁶^] 2つの形式に対する合成法則が存在すると仮定する。

\displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}

ここで、 $z i$ $はx$ と $y$ に関して双線形である。したがって

\displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}

ここで、行列 $T (x) = (a ij)は$ $x$ に関して線形である。上記の関係は以下と同等である。

\displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}

書き込み

\displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}

関係は

\displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}

$ここでV i = (T N) t T i$ と設定します。したがって、 $V N = I$ となり、 $V 1 、 ... 、 V N - 1は、$ $U i$ とまったく同じ関係を満たす、歪随伴直交行列となります。

\displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}

$V i は$ 実ベクトル空間上の $-$ $I の$ 二乗を持つ直交行列であるため、 $N$ は偶数です。

$G を$ 、以下の要素 $v i$ によって生成される有限群とする。

\displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}

ここで $ε$ は位数 2 の中心です。交換子部分群 $[G, G]$ は 1 と $ε$ から構成されます。N が奇数の場合 $、$ これは中心と一致しますが、 $N$ が偶数の場合、中心は位数 4 で、追加の要素 $γ = v 1 ... v N - 1$ と $ε γ$ を持ちます。Gの $gが$ $中心$ にない場合、その共役類は正確に $g$ と $εg$ $です。したがって、 N が$ 奇数の場合は $2 N - 1 + 1 個$ の共役類があり、 $N$ が偶数の場合は $2$ $N$ $-$ $1$ $+ 2 個$ の共役類があります。G $は$ $|$ $G$ $/ [$ $G$ $,$ $G$ $]$ $| = 2$ $N$ $-$ $1$ 個の 1 次元複素表現を持ちます。既約複素表現の総数は共役類の数です。したがって、 $N が$ 偶数であるため、さらに 2 つの既約複素表現があります。次元の二乗の和は $|$ $G$ $|$ に等しく、次元は $|$ $G$ $|$ を割り切るため、 2 つの既約表現は次元 $2$ $($ $N$ $- 2)/2$ でなければなりません。N が偶数の場合 $、$ 2 つあり、その次元は群の位数を割り切る必要があるため、2 のべき乗となり、両方とも次元 $2$ $($ $N$ $- 2)/2でなければなりません。V$ $i$ $が$ 作用する空間は複素化できます。その複素次元は $Nになります。それは$ $G$ のいくつかの複素既約表現に分解され、すべて次元は $2$ $($ $N$ $- 2)/2$ です。特にこの次元は $\leq$ $N$ なので、 $N$ は 8 以下です。N $= 6$ $の$ 場合、次元は 4 で、6 を割り切れません。したがって、N は1、2、4、または 8 のいずれかになります。

ジョルダン代数への応用

$A を$ ユークリッドフルヴィッツ代数とし、M $n (A) を$ $A上の$ $n$ × $n$ 行列の代数とする。これは、次の対合を持つ単位元を持つ非結合代数である。

\displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}

トレース $Tr(X)は、$ $X$ の対角要素と実数値トレースの和として、 $Tr R (X) = Re Tr(X)$ と定義される。実数値トレースは以下を満たす。

\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).

$これらは、 n = 1$ の場合の既知の恒等式の直接的な結果である。

$A$ において、結合子を次のように定義する。

\displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}

これは三重線形であり、 $A$ が結合的であれば恒等的に消滅します。A は代替代数であるため $、$ [ a $, a, b] = 0$ および $[b, a, a] = 0 と$ なります。偏極化により、結合子は 3 つの要素に関して反対称であることがわかります。さらに、 $a$ 、 $b$ または $c が$ $R$ に含まれる場合、 $[a, b, c] = 0 となります。これらの事実から、$ $M 3 (A)$ はある特定の交換関係を持つことがわかります。実際、 $Xが$ $M 3 (A)$ の対角成分が実数である行列である場合、

\displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}

$A$ に含まれる $a$ の場合。実際、 $Y$ $= [$ $X$ $,$ $X$ $2$ $]$ の場合、

\displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}

$X$ の対角成分は実数であるため、 $Y$ の非対角成分はゼロになります。Yの各対角成分は $、$ $X$ の非対角項のみを含む2つの結合子の和です。結合子は巡回置換に対して不変であるため、 $Y$ の対角成分はすべて等しくなります。

$H n (A)$ を、積 $X$ $\circ$ $Y$ $=$ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $($ $X Y$ $+$ $Y X$ $)$ および内積 $($ $X$ $,$ $Y$ $) = Tr$ $R$ $( X Y$ $)を持つ$ $M n (A)$ の自己共役要素の $空間$ とする。

定理。A $が$ 結合的 (実数、複素数、または四元数) で $n$ $\geq 3 の$ 場合 $、またはA$ が非結合的 (八元数) で $n$ $= 3 の$ 場合 $、 H n (A)は$ ユークリッドジョルダン代数で。

例外的なジョルダン代数 $H 3 (O)は、$ AA Albertにちなんでアルバート代数と呼ばれます。

$H n (A) が$ ユークリッドジョルダン代数の公理を満たすことを確認するために、実トレースは $($ $X$ $,$ $X$ $) = Σ$ $‖$ $x$ $ij$ $‖$ $2$ の対称双線形形式を定義します。したがって、これは内積です。実トレースの性質により、結合法則 $($ $Z$ $\circ$ $X$ $,$ $Y$ $) = ($ $X$ $,$ $Z$ $\circ$ $Y$ $)を満たします。確認すべき主な公理は、$ $L$ $($ $X$ $)$ $Y$ $=$ $X$ $\circ$ $Y$ で定義される演算子 $L$ $($ $X$ $)$ のジョルダン条件です。

\displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}

$A$ が結合的である場合、これは簡単に確認できます。M $n (A)は結合代数であり、$ $X \circ Y = ⁠ 1 / 2 ⁠ (X Y + Y X)$ のジョルダン代数だからです。A $=$ $O$ かつ $n$ $= 3$ $の$ 場合は特別な議論が必要であり、最も短い議論の 1 つはFreudenthal (1951 )によるものです。^{[ 7 ]}

実際、 $Tが$ $Tr$ $T$ $= 0$ の $H 3 (O)$ にある場合、

\displaystyle {D(X)=TX-XT}

$H 3 (O)$ の歪随伴導関数を定義します。実際、

\operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,

となることによって

(D(X),X^{2})=0.

極性収率：

(D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.

$Z = 1$ と設定すると、 $D$ が歪随伴であることがわかります。このことから、上記の恒等式の内積の結合法則と合わせて、微分性質 $D (X \circ Y) = D (X)\circ Y + X \circ D (Y)が導かれます。$

定理の記述にあるように $A$ と $n を$ 用いて、 $K を$ $E$ $=$ $H$ $n$ $($ $A$ $)$ の自己同型群とし、内積を不変とする。これは $O$ $($ $E$ $)$ の閉部分群であるため、コンパクトリー群である。そのリー代数は、歪随伴微分から成る。Freudenthal (1951)は、 $E$ の $Xが与えられたとき、$ $k$ $($ $X$ $)$ が対角行列となるような $K$ の自己同型 $k$ が存在することを示した。(自己随伴性により、対角成分は実数となる。) Freudenthal の対角化定理は、任意の非結合代数 $A$ に対して、実対角行列によるジョルダン積が $M$ $n$ $($ $A$ $)$ 上で可換であることから、ジョルダン条件を直ちに導く。

対角化定理を証明するために、 $E$ の $X$ を取ります。コンパクト性により、 $k は$ $Kで$ $k$ $($ $X$ $)$ の非対角項のノルムの二乗和を最小化するように選択できます。K $はすべての二乗和を保存するので、これは$ $k$ $($ $X$ $)$ の対角項のノルムの二乗和を最大化することと同等です。X $を$ $k X$ に置き換えると、最大値は $X$ で達成されると仮定できます。座標を置換することによって作用する対称群 $S$ $n$ $はK$ にあるので、 $X が対角でない場合、$ $x$ $12$ とその随伴 $x$ $21$ はゼロでないと仮定できます。T $を$ $(2, 1)$ エントリ $a$ 、 $(1, 2)$ エントリ $-$ $a$ $*$ 、その他 0 の歪随伴行列とし、 $Dを$ $Eの ad$ $T$ の微分とします。Kで $k$ $t$ $= exp$ $tD$ とします $。すると、$ $X$ $($ $t$ $) =$ $k$ $t$ $X$ の最初の 2 つの対角要素だけが $X$ の対角要素と異なる。対角要素は実数である。 $t$ $= 0$ における $x$ $11$ $($ $t$ $)$ の導関数は $[$ $T$ $,$ $X$ $]$ の $(1, 1)$ 座標、すなわち $a$ $*$ $x$ $21$ $+$ $x$ $12$ $a$ $= 2($ $x$ $21$ $,$ $a$ $)である。$ $a$ $=$ $x$ $21$ の場合、この導関数はゼロではない。一方、群 $k$ $t は$ 実数値トレースを保存する。 $x$ $11$ と $x$ $22$ しか変更できないため、それらの和を保存する。しかし、直線 $x$ $+$ $y$ $=$ 定数では、 $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ は局所最大値を持たない (大域最小値のみを持つ) ため、矛盾が生じる。したがって、 $X は$ 対角行列でなければならない。

注記

↑
参照：
↑
参照：
- エックマン 1989
- エックマン 1999
↑ジョーダン、フォン・ノイマン、ウィグナー 1934
↑ファラウトとコランニー、1994 年、p. 82
↑ファラウトとコラーニー 1994 年、 81–86ページ
↑
参照：
- ハーウィッツ 1923 、p.11
- ハースタイン1968、141-144頁
↑
参照：
- ファラウトとコランイ 1994 年、 88–91ページ
- ポストニコフ 1986

参考文献

Albert, AA (1934)、「量子力学のある代数について」、Ann. of Math.、35 (1): 65–73、doi : 10.2307/1968118、JSTOR 1968118
Chevalley, C. (1954), 『スピノルとクリフォード代数の代数理論』、コロンビア大学出版局
Eckmann、Beno (1943)、「Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz–Radon über die Kompositionquadratischer Formen」、コメント。数学。ヘルブ。、15 : 358–366、土井: 10.1007/bf02565652、S2CID 123322808
エックマン、ベノ（1989）「フルヴィッツ・ラドン行列とモジュロ8の周期性」 Enseign . Math . 、35：77–91{{citation}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)
エックマン、ベノ（1999）「トポロジー、代数、解析―関係と欠落したつながり」、『アメリカ数学会紀要』、46：520–527
Faraut, J.; Koranyi, A. (1994), Analysis on symmetric cones , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 978-0198534778
Freudenthal、Hans (1951)、Oktaven、Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie、ユトレヒト国立数学研究所
フロイデンタール、ハンス（1985）、「オクタベン、オースナフメグルッペンとオクタベンジオメトリー」、Geom。デディカータ、19 : 7–63、土井: 10.1007/bf00233101、S2CID 121496094 （1951年の記事の再掲載）
Herstein, IN (1968)、非可換環、Carus Mathematical Monographs、第15巻、アメリカ数学協会、ISBN 978-0883850152
Hurwitz、A. (1898)、「Über die Commission derquadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln」、Goett。ナクル。 : 309～ 316
Hurwitz、A. (1923)、「Über die Komposition derquadratischen Formen」、Math。アン。、88 ( 1–2 ): 1–25、土井: 10.1007/bf01448439、S2CID 122147399
Jacobson, N. (1968), 「ジョルダン代数の構造と表現」、アメリカ数学会コロキウム出版物、第 39巻、アメリカ数学会
Jordan, P. ; von Neumann, J. ; Wigner, E. (1934)、「量子力学形式の代数的一般化について」、Ann. of Math.、35 (1): 29–64、doi : 10.2307/1968117、JSTOR 1968117
Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields , Graduate Studies in Mathematics , vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1095-8MR 2104929、Zbl 1068.11023
Lee, HC (1948)、「Hurwitz-Radon pour la construction des formes quadratiques」、コメント。数学。ヘルブ。、21 : 261–269、doi : 10.1007/bf02568038、S2CID 121079375、2014-05-03のオリジナルからアーカイブ
Porteous, IR (1969)、『位相幾何学』、Van Nostrand Reinhold、ISBN 978-0-442-06606-2、Zbl 0186.06304
ポストニコフ、M. (1986)、リー群とリー代数。幾何学講義。第5学期、Mir
Radon, J. (1922)、「Lineare scharen orthogonaler matrizen」、Abhandlungen aus dem Mathematischen セミナー der Universität Hamburg、1 : 1–14、doi : 10.1007/bf02940576、S2CID 120583389
Rajwade, AR (1993), Squares , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 171, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42668-8、Zbl 0785.11022
シェーファー、リチャード D. (1995) [1966]、『非結合代数入門』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-68813-8、Zbl 0145.25601
Shapiro、Daniel B. (2000)、二次形式の構成、De Gruyter Expositions in Mathematics、vol. 33、ウォルター・デ・グリュイテル、ISBN 978-3-11-012629-7、Zbl 0954.11011

さらに読む

Baez, John C. (2002)、「八元数」、Bull. Amer. Math. Soc.、39 (2): 145–205、arXiv : math/0105155、doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X、S2CID 586512
コンウェイ、ジョン・H.、スミス、デレク・A. (2003)、『四元数と八元数について：その幾何学、算術、対称性』、AK Peters、ISBN 978-1568811345
Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989)、「恒等式を持つノルム代数。フルヴィッツの定理」、『ハイパー複素数。代数への初等的入門』、A. Shenitzer 訳（第 2 版）、Springer-Verlag、p. 121、ISBN 978-0-387-96980-0、Zbl 0669.17001
Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) 「合成代数。フルヴィッツの定理 — ベクトル積代数」、Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.、Springer、ISBNによるNumbersの第 10 章 0-387-97202-1
Springer, TA州; FD Veldkamp (2000)、Octonions、Jordan Algebras and Exceptional Groups、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66337-9

[1] 参照：
ラム 2005
ラジワデ 1993
シャピロ 2000

[mwAio] ラム 2005

[mwAiw] ラジワデ 1993

[mwAi4] シャピロ 2000

[2] 参照：
エックマン 1989
エックマン 1999

[mwAjQ] エックマン 1989

[mwAjY] エックマン 1999

[3] ジョーダン、フォン・ノイマン、ウィグナー 1934

[4] ファラウトとコランニー、1994 年、p. 82

[5] ファラウトとコラーニー 1994 年、 81–86ページ

[6] 参照：
ハーウィッツ 1923 、p.11
ハースタイン1968、141-144頁

[mwAlE] ハーウィッツ 1923 、p.11

[mwAlY] ハースタイン1968、141-144頁

[7] 参照：
ファラウトとコランイ 1994 年、 88–91ページ
ポストニコフ 1986

[mwAl8] ファラウトとコランイ 1994 年、 88–91ページ

[mwAmU] ポストニコフ 1986

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[ 7 ]

フルヴィッツの定理（合成代数）

ユークリッド・フルヴィッツ代数

意味

分類

その他の証明

ジョルダン代数への応用

関連項目

注記

参考文献

さらに読む

関連するトピック

数学

アドルフ・フルヴィッツ

定理

正定値