ハーウィッツ問題

数学において、フルヴィッツ問題（アドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられた）は、特定の数の変数の平方和の間に存在すると知られている関係を一般化した 二次形式間の乗法関係を見つける問題である。

2つの変数の平方和の間にはよく知られた乗法関係がある。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}\ 、}$

（ブラフマグプタ・フィボナッチ恒等式 として知られる）、またオイラーの4平方恒等式とデゲンの8平方恒等式もある。これらはそれぞれ複素数（）、四元数（）、八元数（ ）のノルムの乗法性として解釈できる。^{[1] : 1–3  [2]}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$

体Kに対するフルヴィッツ問題は、次の形式の一般関係を見つけることである。

${\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}$

ここで、 zはxとyの双線型形式である。つまり、各zはx _i y _jの形式の項のK線型結合である。^{[3] : 127}

このような恒等式が存在する場合、その三重項はKに対して許容可能と呼ばれます。 ^{[1] : 125}許容可能な三重項の自明なケースには、次のようなものがあります。 標数 2のKの場合、このような体上ではすべての平方和が平方になるため、問題は興味深い ものではなく、このケースは除外されます。それ以外の場合、許容可能性は定義体とは独立であると考えられています。^{[1] : 137}${\displaystyle \;(r,s,n)\;}$ ${\displaystyle \;(r,s,rs)\;.}$

ハーウィッツは1898年にこの問題を特別なケースで提起し、係数が に取り込まれる場合、許容される値は のみであることを示した^{[3] : 130}彼の証明は 2以外の任意の標数の体に拡張される。 ^{[1] : 3}${\displaystyle \;r=s=n\;}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \,(n,n,n)\,}$${\displaystyle \;n\in \{1,2,4,8\}\;.}$

「ハーウィッツ・ラドン」問題は、形式の許容可能な三つ組を見つける問題である。明らかに、は許容可能である。ハーウィッツ・ラドン定理は、任意の体上では許容可能であることを述べている。ここで、はv が奇数で定義された関数であり、^{[1] : 137  [3] : 130}${\displaystyle \,(r,n,n)\;.}$${\displaystyle \;(1,n,n)\;}$${\displaystyle \;\left(\rho (n),n,n\right)\;}$${\displaystyle \,\rho (n)\,}$${\displaystyle \;n=2^{u}v\;,}$ ${\displaystyle \;u=4a+b\;,}$${\displaystyle \;0\leq b\leq 3\;,}$${\displaystyle \;\rho (n)=8a+2^{b}\;.}$

他の許容されるトリプルとしては、^{[1] : 138}と^{[1] : 137 がある。}${\displaystyle \,(3,5,7)\,}$${\displaystyle \,(10,10,16)\;.}$

• 合成代数
• ハーヴィッツの定理（ノルム除算代数）
• ラドン・フルヴィッツ数