グループの直積

数学、特に群論において、直積は2 つの群 $G$ と $Hを取り、通常$ $G \times H と$ 表記される新しい群を構築する演算です。この演算は、集合の直積の群論的類似物であり、数学における直積の重要な概念の 1 つです。

アーベル群の文脈では、直積は直和と呼ばれることもあり、と表記されます。直和はアーベル群の分類において重要な役割を果たします。有限アーベル群の基本定理によれば、すべての有限アーベル群は巡回群の直和として表現できます。 $G\oplus H$

意味

群 $G$ (演算 $*$ 付き) と $群 H$ $(演算∆$ 付き) が与えられた場合、直積 $G \times H$ は次のように定義されます。

基になる集合は直積 $G \times H$ です。つまり、 $g$ $\in$ $G$ かつ $h$ $\in$ $H$ の順序付きペア $(g, h)$ です。
$G$ $\times$ $H$ の二項演算は成分ごとに定義されます。
$(g 1 、 h 1) \cdot (g 2 、 h 2) = (g 1 * g 2 、 h 1 ∆ h 2)$

結果として得られる代数的オブジェクトは、グループの公理を満たします。具体的には、次のようになります。

結合性: $G \times H$ の二項演算は結合的である。
身元: 直積には単位元、つまり $(1 G, 1 H)$ があります。ここで、 $1 G$ $はG$ の単位元であり、 $1 H$ $はH$ の単位元です。
逆数: $G$ $\times$ $H$ の元 $($ $g$ $,$ $h$ $)$ の逆元は $($ $g$ $-1$ $,$ $h$ $-1$ $)$ のペアです。ここで、 $g$ $-1は$ $G$ の $g$ の逆元であり、 $h$ $-1は$ $H$ の $h$ の逆元です。

例

$R を$ 加法による実数の群とします。すると、直積 $R$ $\times$ $R は、$ ベクトル加法によるすべての 2 成分ベクトル $($ $x$ $,$ $y$ $)$ の群になります。

(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)

。

$R + を$ 乗算による正の実数の群とする。すると、直積 $R + \times R + は$ 、成分ごとの乗算による第1象限のすべてのベクトルの群となる。

(x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

。

$G$ と $H を$ それぞれ 2 つの元を持つ巡回群とします。

すると直積 $G \times H$ はクラインの4元群と同型になる。

基本的な性質

直積は同型性を除いて可換かつ結合的です。つまり、任意の群 $G$ 、 $H$ 、 $Kに対して、$ $G \times H ≅ H \times G$ および $(G \times H) \times K ≅ G \times (H \times K)$ です。
自明群は、同型性を除いて直積の単位元です。E $が$ 自明群を表す場合、任意の群 $Gに対して$ $G ≅ G \times E ≅ E \times G$ です。
直積 $G$ $\times$ $H$ の位数は、 $G$ と $H$ の位数の積です。
$| G \times H | = | G | | H |$ .
これは、集合の直積の濃度の公式から導かれます。
各要素 $（ g 、 h ）の位数は$ $g$ と $h$ の位数の最小公倍数である：^[1]
$| (g, h) | = lcm (| g |, | h |)$ です。
特に、 $| g |$ と $| h |$ が互いに素である場合、 $(g, h)の位数は$ $g$ と $h$ の位数の積になります。
結果として、 $G$ と $Hが$ 互いに素な位数を持つ巡回群であれば、 $G \times H$ も巡回群となる。つまり、 $m$ と $n$ が互いに素であれば、
$(Z / m Z) \times (Z / n Z) ≅ Z / mn Z$ 。
この事実は中国剰余定理と密接に関係しています。

代数構造

$G$ と $H を$ 群とし、 $P = G \times H$ とし、 $P$ の次の2つの部分集合を考えます。

G' = { (g, 1) : g \in G}

かつ

H' = { (1, h) : h \in H}

。

これらは両方とも実際には $P$ のサブグループであり、最初のものは $Gと同型で、2番目のものは$ $H$ と同型です。これらをそれぞれ $G$ および $H$ と同一視すると、直積 $P は$ 元のグループ $G$ と $H を$ サブグループとして含むと考えることができます。

$P$ のこれらの部分群には、次の 3 つの重要な特性があります。(ここでも、 $G'$ と $H' をそれぞれ$ $G$ と $H$ と同一視します。)

交差 $G$ $\cap$ $H$ は自明です。
$P$ のすべての要素は、 $G$ の要素と $H$ の要素の積として一意に表現できます。
$G$ のすべての要素は $H$ のすべての要素と可換です。

$これら 3 つの特性を組み合わせることで、直積P$ の代数構造が完全に決まります。つまり、 $P が$ 上記の性質を満たす部分群 $G$ と $H を$ 持つ任意の群である場合、 $P は必然的に$ $G$ と $H$ の直積と同型になります。この状況では、 $P は$ 部分群 $G$ と $H$ の内部直積と呼ばれることもあります。

状況によっては、上記の 3 番目のプロパティが次のように置き換えられます。

3′.

P

では

G

と

Hは

両方とも正常です。

この性質は性質 3 と同等です。なぜなら、自明な交差を持つ 2 つの正規部分群の要素は必然的に交換されるからです。この事実は、 $G$ 内の任意の $g$ 、 $H$ 内の任意の $h$ の交換子 $[g, h]$ を考慮することで推論できます。

例

$V を$ クラインの4元群とします。このとき、 $V は$ 2 つの要素を持つサブグループ {1, a } と {1, b }の内部直積になります。
をmn位数の巡回群とし、mとnが互いに素であるとします。このとき、とはそれぞれm位数とn 位数の巡回部分群であり、はこれらの部分群の内部直積です。 $\langle a\rangle$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $\langle a\rangle$
$C \times を$ 乗算のもとでの非ゼロ複素数の群とします。すると、 $C$ $\times は$ 単位複素数の円周群 $T$ と乗算のもとでの正の実数の群 $R$ $+$ との内部直積になります。
nが奇数の場合、一般線型群 $GL(n, R)は$ 特殊線型群 $SL(n, R)とすべての$ スカラー行列からなる部分群との内部直積である。
同様に、nが奇数のとき、直交群 $O(n, R)は特殊直交群$ $SO(n, R)$ と2元部分群 ${-I, I} の$ 内部直積である。ここで、 $Iは$ 単位行列を表す。
立方体の対称群は、回転のサブグループと2元群 ${-$ $I$ $,$ $I$ $}$ の内部直積です。ここで、 $I$ は単位元、 $-$ $Iは$ 立方体の中心を通る点反射です。同様の事実は、二十面体の対称群にも当てはまります。
n を奇数とし、 D _{4 n を}位数 4 nの二面体群とする。
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
このとき、D _{4 n は}_{、（D 2}_nと同型である）部分群と2要素部分群 {1, r ⁿ }との内部直積です。 $\langle r^{2},s\rangle$

プレゼンテーション

$G \times H$ の代数構造は、 $G$ と $H$ の表現を用いて直積を表現するために使用できる。具体的には、

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

そして

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

ここで、とは（互いに素な）生成集合であり、とは定義関係である。 $S_{G}$ $S_{H}$ $R_{G}$ $R_{H}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

ここで、の各要素がの各要素と可換であることを指定する関係の集合です。 $R_{P}$ $S_{G}$ $S_{H}$

例えば

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

そして

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

それから

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

通常の構造

上で述べたように、部分群 $G$ と $H は$ $G \times H$ において正規群である。具体的には、関数 $π G : G \times H \to G$ と $π H : G \times H \to H を$ 次のように定義する。

π G (g, h) = g

かつ

π H (g, h) = h です

。

すると、 $π G$ と $π H は$ 準同型写像であり、その核はそれぞれ $H$ と $Gである。これは$ 射影準同型写像として知られる。

したがって、 $G \times H は$ $H$ による $G$ の拡張です(またはその逆)。G $\times$ $H$ が有限群である場合、 $G$ $\times$ $H$ の合成因子は $Gの合成因子と$ $H$ の合成因子の和集合 $と$ まったく同じになります。

その他の特性

普遍的な財産

直積 $G \times H$ $は$ 、次の普遍的性質によって特徴付けられます。π $G : G \times H \to G$ と $π H : G \times H \to H$ を射影準同型とします。すると、任意の群 $P$ と任意の準同型 $ƒ G : P \to G$ と $ƒ H : P \to H$ に対して、次の図式が可換となる一意の準同型 $ƒ: P \to G \times H$ が存在します。

具体的には、準同型写像 $ƒは$ 、次の式で与えられる。

ƒ(p) = (ƒ G (p), ƒ H (p))

。

これは圏論における積の普遍的性質の特殊なケースです。

サブグループ

$A が$ $G$ のサブグループであり、 $B が$ $H$ のサブグループである場合、直積 $A \times Bは$ $G \times H$ のサブグループです。たとえば、 $G$ $\times$ $H$ における $G$ の同型コピーは積 $G$ $\times$ ${1}$ です。ここで、 ${1}は$ $H$ の自明なサブグループです。

$A$ と $B$ が正規群であれば、 $A \times Bは$ $G \times H$ の正規部分群である。さらに、直積の商は商の直積と同型である。

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

です。

$G \times Hのどの部分群も$ $Gの部分群と$ $H$ の部分群の積であるというのは一般には当てはまらないことに注意されたい。例えば、 $G$ が任意の非自明な群である場合、積 $G \times G$ は対角部分群を持つ。

Δ = { (g, g) : g \in G}

$これはG$ の 2 つの部分群の直積ではありません。

直積のサブグループはGoursatの補題によって記述される。他のサブグループには $G$ と $H$ のファイバー積が含まれる。

共役と中央集権化

2 つの要素 $(g 1, h 1)$ と $(g 2, h 2)が$ $G$ $\times$ $H$ で共役であるためには、 $g$ $1$ と $g$ $2 が$ $G$ で共役であり、 $h$ $1$ と $h$ $2 が$ $H$ で共役である必要があります。したがって、 $G$ $\times$ $Hの各共役類は、$ $Gの共役類と$ $H$ の共役類の直積に過ぎません。

同様に、 $(g, h) \in G \times H$ の場合、 $($ $g$ $,$ $h$ $)$ の中心化子は、 $g$ と $h$ の中心化子の積に過ぎません。

C G \times H (g, h)

=

C G (g) \times C H (h)

です。

同様に、 $G$ $\times$ $H$ の中心は $G$ と $H$ の中心の積です。

Z (G \times H)

=

Z (G)\times Z (H)

です。

直積のサブグループ自体がすべて直積として分解されるわけではないため、正規化子はより複雑な方法で動作します。

自己同型と準同型

$α が$ $G$ の自己同型でβ $が$ $H$ の自己同型ならば、積関数 $α$ $\times$ $β$ $:$ $G$ $\times$ $H$ $\to$ $G$ $\times$ $H$ は次のように定義される。

(α \times β)(g, h) = (α (g) , β (h))

$はG \times H$ の自己同型である。従って、 $Aut(G \times H)$ は直積 $Aut(G) \times Aut(H)$ と同型な部分群を持つ。

$一般に、 G \times H$ のすべての自己同型が上記の形をとるというわけではありません。（つまり、 $Aut(G) \times Aut(H)は、$ $Aut(G \times H)$ の適切な部分群であることが多いのです。）例えば、 $G が任意の群である場合、2つの因子を入れ替える$ $G$ $\times$ $G$ の自己同型 $σ が$ 存在し、つまり

σ (g 1, g 2) = (g 2, g 1)

。

$別の例として、 Z \times Z$ の自己同型群は $GL (2, Z)$ であり、これは整数要素と行列式, $\pm1 を持つすべての$ $2 \times 2$ 行列の群です。この自己同型群は無限ですが、上記の形式を持つ自己同型は有限個しかありません。

一般に、 $G$ $\times$ $H$ のあらゆる自己準同型は $2 \times 2$ 行列として表すことができる。

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

ここで、 $αは$ $G$ の自己準同型、 $δ は$ $H$ の自己準同型、 $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ および $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H は準同型です。このような行列は、$ $α$ の像のすべての要素が $β$ の像のすべての要素と交換し、 $γの像のすべての要素が$ $δ$ の像のすべての要素と交換するという性質を持つ必要があります。

GとH が分解不能で中心のない群である場合、自己同型群は比較的単純で、GとHが同型でない場合は Aut( G ) × Aut( H )となり、 G ≅ Hの場合は Aut( G ) wr 2 となり、 wr は花輪積を表します。これはクルル・シュミットの定理の一部であり、有限直積に対してより一般的に当てはまります。

一般化

有限直積

一度に2つ以上の群の直積をとることも可能である。群の有限列 $G 1, ..., G n$ が与えられたとき、直積

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

は次のように定義されます。

$G 1 \times \dots \times G n$ の要素はタプル $(g 1, ..., g n)$ であり、各 $iについて$ $g i \in G i$ です。
$G 1 \times \dots \times G n$ 上の演算は成分ごとに定義されます。
$(g 1, ..., g n)(g 1', ..., g n')$ = $(g 1 g 1', ..., g n g n')$ です。

これは 2 つのグループの直積と同じ特性を多く持ち、同様の方法で代数的に特徴付けることができます。

無限の直接製品

無限個のグループの直積をとることもできます。グループの無限シーケンス $G 1 、 G 2 、...$ の場合、これは上記の有限直積と同じように定義でき、無限直積の要素は無限タプルになります。

より一般的には、グループのインデックス付きファミリ{ $G i$ } $i \in I$ が与えられた場合、直積 $Π i \in I G i$ は次のように定義されます。

$Π i \in I G i$ の元は、集合 $G$ $i$ の無限直積の元です。つまり、各 $i$ に対して $ƒ($ $i$ $) \in$ $G$ $i$ という性質を持つ関数 $ƒ:$ $I$ $\to ⋃$ $i$ $\in$ $I$ $G$ $i$ です。
$2つの要素ƒ、 g$ の積は成分ごとに定義されます。
$(ƒ• g)(i)$ = $ƒ(i)• g (i)$ .

有限直積とは異なり、無限直積 $Π i \in I G i は$ 同型部分群 { $G i$ } $i \in I$ の元によって生成されません。代わりに、これらの部分群は、無限直和と呼ばれる直積の部分群を生成します。これは、有限個の非単位元成分のみを持つすべての元で構成されます。

その他の製品

半直接製品

$部分群G$ と $H を$ 持つ群 $P は$ 、次の 3 つの条件を満たす限り、 $G$ と $H$ の直積に同型であることを思い出してください。

交差 $G$ $\cap$ $H$ は自明です。
$P$ のすべての要素は、 $G$ の要素と $H$ の要素の積として一意に表現できます。
$P$ では $G$ と $H は$ 両方とも正常です。

$G$ と $H$ の半直積は、 3 番目の条件を緩和して、 2 つのサブグループ $G$ $、$ $H$ のうちの 1 つだけが正規である必要があるようにすることで得られます。結果の積は、依然として順序付きペア $($ $g$ $、$ $h$ $)$ で構成されますが、乗算の規則が少し複雑になります。

3 番目の条件を完全に緩和して、 2 つのサブグループのどちらも正規分布である必要がないようにすることもできます。この場合、グループ $Pは$ $G$ と $H$ のZappa–Szép 積と呼ばれます。

無料製品

$G$ と $H$ の自由積は、通常 $G$ $*$ $H$ と表記され、直積と似ているが、 $G$ $*$ $H$ の部分群 $G$ と $H は$ 可換である必要がない。つまり、

G

=

〈 S G

|

R

G

〉

かつ

H

=

〈

S

H

|

R

H

〉

、

$はG$ と $H$ のプレゼンテーションであり、

G * H

=

〈 S G \cup S H

|

R

G

\cup

R

H

〉

です。

直積とは異なり、自由積の要素は順序付きペアで表すことはできません。実際、任意の 2 つの非自明なグループの自由積は無限大です。自由積は、実際にはグループのカテゴリの余積です。

間接製品

$G$ と $H が$ 群である場合、 $G$ と $H$ の部分直積は、射影準同型の下で $G$ と $H$ に射影的に写像される $G$ $\times$ $H$ の任意の部分群です。Goursatの補題により、すべての部分直積はファイバー積です。

繊維製品

$G$ 、 $H$ 、 $Q を$ 群とし、 $𝜑 : G \to Q$ と $χ : H \to Q を$ 準同型とする。 $G$ と $H$ の $Q$ 上のファイバー積（プルバックとも呼ばれる）は、 $G$ $\times$ $H$ の次の部分群である。

$G\times _{Q}H=\{\,(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\,\}{\text{.}}$ $𝜑 : G \to Q$ と $χ : H \to Q$ が同型写像であれば、これは部分直積です。

参考文献

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[1] ガリアン、ジョセフ A. (2010)。現代抽象代数(7 版)。センゲージ学習。 p. 157.ISBN 9780547165097。