エタール基本群

エタールまたは代数的基本群は、スキームに関して、位相空間の通常の基本群の代数幾何学における類似物です。

代数位相幾何学では、尖った位相空間の基本群は、 を基底とするループのホモトピー類の群として定義されます。この定義は、実多様体や複素多様体などの空間ではうまく機能しますが、ザリスキ位相を持つ代数多様体では望ましくない結果をもたらします。 ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle x}$

被覆空間の分類では、基本群が普遍被覆空間のデッキ変換の群とまったく同じであることが示されています。これはより有望です。代数多様体の有限エタール射は、位相空間の被覆空間の適切な類似物です。残念ながら、代数多様体は上で有限である「普遍被覆」を持たないことが多いため、 の有限エタール被覆のカテゴリ全体を考慮する必要があります。すると、有限自己同型群の逆極限としてエタール基本群を定義できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

が連結かつ局所的にネーター的なスキームであり、が の幾何学的点であり、がスキームからの有限エタール射であるペアのカテゴリであるとします。このカテゴリの射は、上のスキームとしての射です。このカテゴリには、集合のカテゴリへの 自然な関手、つまり関手 があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (Y,f)}$${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (Y,f)\to (Y',f')}$${\displaystyle Y\to Y'}$${\displaystyle X.}$

${\displaystyle F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);}$

幾何学的にはこれは上の のファイバーであり、抽象的には上のスキームのカテゴリでによって表される米田関手である。関手は では通常表現できないが、 では、実際には のガロア被覆によって、代表現可能である。 これは、 が のガロア被覆、つまり となる 上の有限エタールスキームであるような有向集合によってインデックス付けされた における射影システムを持つことを意味する。^[1]これはまた、関手の同型を与えたことを意味する。 ${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I,}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)}$

${\displaystyle F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)}$。

特に、射影システムの顕著な点があります。 ${\displaystyle P\in \varprojlim _{i\in I}F(X_{i})}$

このような 2 つの場合、写像は群準同型を誘導し 、射影システム から自己同型群の射影システムを生成します。次に、次の定義を行います。におけるのエタール基本群は逆極限です。 ${\displaystyle X_{i},X_{j}}$${\displaystyle X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}),}$

逆極限トポロジーを使用します。

関数は、から有限かつ連続な-集合のカテゴリへの関数となり、と有限かつ連続な -集合のカテゴリの間のカテゴリの同値性を確立します。^[2]${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

の最も基本的な例は、体のエタール基本群です。本質的には、定義により、 の基本群は絶対ガロア群と同型であることが示されます。より正確には、の幾何学的点を選択することは、分離的に閉じた拡大体 を与えることに等しく、その基点に関するエタール基本群はガロア群 と同一視されます。ガロア群のこの解釈は、グロタンディークのガロア理論として知られています。 ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spec} k)}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

より一般的には、体上の任意の幾何学的に連結な多様体（つまり、連結な多様体）に対して、 profinite 群の正確な列が存在する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{sep}:=X\times _{k}k^{sep}}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(X^{sep},{\overline {x}})\to \pi _{1}(X,{\overline {x}})\to \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)\to 1.}$

複素数上の有限型のスキームでは、 のエタール基本群と の通常の位相的基本群、つまり に付随する複素解析空間との間に密接な関係があります。この場合に通常呼ばれる代数的基本群は、のprofinite 完備化です。これは、 のすべての有限エタール被覆はのエタール被覆に由来するというリーマン存在定理の結果です。特に、 上の滑らかな曲線の基本群(つまり、開いたリーマン面) はよく理解されているため、これによって代数的基本群が決まります。より一般的には、代数的に閉じた体の拡大によって同型基本群が誘導されるため、標数 0 の任意の代数的に閉じた体上の適切なスキームの基本群は既知です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

正特性の代数的に閉じた体の場合、結果は異なります。これは、この状況ではアルティン・シュライアー被覆が存在するためです。たとえば、アフィン直線の基本群は位相的に有限生成 ではありません。何らかのスキームUのtame 基本群は、に沿って tame 分岐する被覆のみを考慮した の通常の基本群の商です。ここで は何らかのコンパクト化であり、 はにおけるの補集合です。^{[3] [4]}たとえば、アフィン直線 の tame 基本群はゼロです。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

のエタールホモトピー型はエタールホモトピー群によって完全に決定されるという意味で、すべてのアフィンスキームは -空間であることがわかります。 ^{[5] が}幾何学的な点であることに注意してください。 ${\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle K(\pi ,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}$${\displaystyle {\overline {x}}}$

圏論の観点から見ると、基本群は関数です。

{尖った代数多様体} → {無限群}。

逆ガロア問題は、どのような群が基本群（または体拡大のガロア群）として出現できるかを問うものである。遠アーベル幾何学、例えばグロタンディークのセクション予想は、基本群によって決定される多様体のクラスを特定しようとするものである。^[6]

フリードランダー (1982) は、エタール ホモトピー型のスキームを用いて高次のエタール ホモトピー群を研究しました。

Bhatt & Scholze (2015, §7) は、プロエタール基本群と呼ばれるエタール基本群の変種を導入しました。これは、有限エタール被覆の代わりに、エタールであり、かつ適正性の評価基準を満たす写像を検討することによって構築されます。幾何学的に単分岐スキーム (たとえば、正規スキーム) の場合、2 つのアプローチは一致しますが、一般にプロエタール基本群はより細かい不変量です。そのプロ有限完備化はエタール基本群です。

• エタール射影
• 基本グループ
• 基本的なグループスキーム

• バット、バーガブ。 Scholze、Peter (2015)、「スキームのプロエタール トポロジー」、Asterisque : 99–201、arXiv : 1309.1198、Bibcode :2013arXiv1309.1198B、MR  3379634
• フリードランダー、エリック・M. (1982)、「単体スキームのエタールホモトピー」、数学研究年報、第104巻、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-08288-2
• Murre, JP (1967)、グロタンディークの基本群理論入門講義、ボンベイ：タタ基礎研究所、MR  0302650
• 玉川 明夫 (1997)、「アフィン曲線に対するグロタンディーク予想」、Compositio Mathematica、109 (2): 135–194、doi : 10.1023/A:1000114400142、MR  1478817
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