より高いローカルフィールド

数学において、高次の（次元の）局所体は、完全な離散評価体の重要な例です。このような体は、多次元局所体と呼ばれることもあります。

通常の局所体（典型的には数体の完備化または代数曲線の局所環の商体）上では、実数や複素数などのアルキメデス局所体でない限り、体の局所パラメータの選択に関連付けられた一意の射影的離散値（ランク 1）が存在する。同様に、ほとんどすべてのn次元局所体上で、体のn個の局所パラメータの選択に関連付けられたランクnの離散値が存在する。 ^[1] 1 次元局所体とは対照的に、高次の局所体には留数体の列がある。^[2]高次の局所体には、考慮に入れたい留数体の情報の数に応じて、異なる積分構造が存在する。^[2]

幾何学的には、高次局所体は高次元スキームの局所環の局所化と完成の過程を経て出現する。^[2] 高次局所体は高次元数論の主題の重要な部分であり、局所的な考察のための適切なオブジェクトの集合を形成する。

有限体は次元 0 で、有限剰余体を持つ完全離散値体は次元 1 です ( RやCなどのアルキメデスの局所体も次元 1 と定義するのが自然です)。したがって、剰余体が次元n −1である場合、完全離散値体は次元nを持つと言えます。高次局所体とは次元が 1 より大きい体であり、1 次元局所体は従来の局所体です。有限次元高次局所体の剰余体を「最初の」剰余体と呼び、その剰余体を 2 番目の剰余体と呼びます。このパターンは有限体に達するまで続きます。^[2]

2 次元ローカル フィールドは次のクラスに分類されます。

• 正の特性を持つ体、つまり、1次元局所体上の変数tの形式的な冪級数、つまりF _q (( u ))(( t ))です。
• 特性ゼロの等特性体、特性ゼロの1次元局所体F上の形式的な冪級数 F (( t ))です。
• 混合特性体とは、 F {{ t }}型の体の有限拡張であり、F は特性 0 の 1 次元局所体です。この体は、両方向に無限の形式的冪級数の集合として定義され、係数の値の最小値は整数であり、係数の値はインデックスが負の無限大に向かうにつれて 0 に近づくような Fからの係数を持ちます。 ^[2]
• アルキメデスの2次元局所体。実数 Rまたは複素数 C上の形式的な冪級数です。

高次の局所体はさまざまな文脈で現れる。幾何学的な例は以下の通りである。特性 p の有限体上の曲面、曲面上の曲線、曲線上の点が与えられたとき、その点で局所環をとる。次に、この環を完成し、曲線で局所化し、結果として得られる環を完成する。最後に、商体をとる。結果は有限体上の 2 次元局所体である。^[2]

可換代数を使った構成もあり、これは非正則環では技術的になります。出発点は、ネーター正則なn次元環と、それに対応する商環が正則であるような素イデアルの完全旗です。上記のように、一連の完備化と局所化が行われ、n次元の局所体に到達します。

1 次元の局所体は通常、離散値を使用して開集合を定義する評価位相で考慮されます。これは、高次元の局所体には十分ではありません。なぜなら、留数レベルの位相も考慮する必要があるからです。高次元の局所体には、この問題に対処する適切な位相 (一意に定義されない) を与えることができます。このような位相は、 n > 1の場合、ランクnの離散値に関連付けられた位相ではありません。2 次元以上では、体の加法群は、局所的にコンパクトではない位相群になり、位相の基底は可算ではありません。最も驚くべきことは、乗算が連続的ではないことです。ただし、連続的であるため、すべての合理的な算術目的には十分です。位相的な考慮事項をより形式的なものに置き換える反復Ind–Proアプローチもあります。^[3]

2次元局所体には変換不変測度は存在しない。その代わりに、有限加法的な変換不変測度が、体上の2次元離散値に関して閉球によって生成される集合の環上に定義され、実数上の形式的冪級数R (( X )) の値を取る。^[4]この測度は、ある洗練された意味で可算加法でもある。これは、高次局所体上の高次ハール測度と見ることができる。すべての高次局所体の加法群は非正準自己双対であり、適切な関数空間上で高次フーリエ変換を定義できる。これは、高次調和解析につながる。^[5]

1 次元の局所類体理論は、高次元でも類似物がある。乗法群の適切な置き換えは n 次ミルノア K 群となる。ここでn は体の次元であり、これは体上の最大アーベル拡大のガロア群への相互写像の領域として現れる。さらに良いのは、n 次ミルノア K 群をすべての正の整数で割り切れる要素の部分群で割った商を扱うことである。フェセンコ定理により、^[6]この商は、適切な高次元位相を備えた K 群の最大分離位相商とみなすこともできる。n 次ミルノア K 群のこの商から高次元局所体の最大アーベル拡大のガロア群への高次元局所相互準同型には、1 次元局所類体理論の特徴と類似した特徴が数多くある。

高次局所類体理論は、ミルナーK理論の境界写像を用いて、体と留数体のレベルでの相互写像を含む可換図を作成することで、留数体レベルでの類体理論と互換性がある。^[7]

一般高次局所類体理論は加藤和也^[8]とイヴァン・フェセンコ[ ⁹ ]によって開発された。^[10]正特性における高次局所類体理論はアレクセイ・パルシン^[11]によって提案された。

• フェセンコ、イヴァン B. ; ボスコフ、セルゲイ V. (2002)、局所体とその拡張、数学モノグラフの翻訳、第 121 巻 (第 2 版)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-3259-2、MR  1915966、Zbl  1156.11046
• Fesenko, Ivan B. ; Kurihara, Masato, eds. (2000)、高次局所体への招待。1999 年 8 月 29 日～9 月 5 日にドイツ、ミュンスターで開催された高次局所体に関する会議で行われた講演の拡張版、Geometry and Topology Monographs、第 3 巻 (初版)、University of Warwick: Mathematical Sciences Publishers、doi :10.2140/gtm.2000.3、ISSN  1464-8989、Zbl  0954.00026