高木の存在定理

類体理論において、高木存在定理は、任意の数体Kに対して、 Kの有限アーベル拡大（Kの固定された代数的閉包内）とKの係数を介して定義される一般化イデアル類群との間に 1 対 1 の包含反転対応が存在することを述べています。

証明の主な役割はKの十分なアーベル拡大の存在を示すことであるため、これは存在定理と呼ばれます。

ここで、係数（または放射因​​子）は、正の整数指数を持つKの値（素数または位数とも呼ばれる）の形式的な有限積です。係数に現れるアルキメデスの値には、その完成形が実数（複素数ではない）であるものだけが含まれます。それらはK上の順序付けと同一視され、指数 1 にのみ現れます。

法m は、非アルキメデス的（有限）部分m _fとアルキメデス的（無限）部分m _∞の積である。非アルキメデス的部分m _{f は、} Kの整数環 O _Kの非ゼロのイデアルであり、アルキメデス的部分m _{∞は、単に}Kの実埋め込みの集合である。このような法mには、分数イデアルのグループが2つ関連付けられている。大きい方I _mは、 mと互いに素なすべての分数イデアルのグループである（つまり、これらの分数イデアルは、 m _fに現れる素イデアルを含まない）。小さい方P _mは、主分数イデアル（ u / v）のグループである。ここで、 uとv は、 O _Kの非ゼロの元であり、 m _fと素であり、u ≡ v mod m _fであり、m _∞の各順序付けでu / v > 0 である。 （ここで重要なのは、P _mにおいて、イデアルの生成元のいくつかが指定された形式を持つことだけが必要であるということです。 1 つがそうであっても、他はそうでない可能性があります。 たとえば、K を有理数とすると、イデアル (3) はP ₄に含まれます。なぜなら、 (3) = (−3) であり、 −3 は必要条件に適合するからです。 しかし、 (3) はP _4∞には含まれません。なぜなら、ここではイデアルの正の生成元が 1 mod 4 であることが要求されているのですが、そうではないからです。） I _mとP _mの間にある任意のグループHについて、商I _m / Hは一般化イデアル類グループと呼ばれます。

存在定理によってKのアーベル拡大に対応するのは、これらの一般化されたイデアル類群であり、実際、これらの拡大のガロア群です。一般化されたイデアル類群が有限であることは、これらが数体の有限アーベル拡大のガロア群であることを知るよりずっと前に、通常のイデアル類群が有限であることの証明と同じ方法で証明されます。

厳密に言えば、 Kの有限アーベル拡大と一般化イデアル類群との対応は、完全に 1 対 1 ではありません。異なるモジュライに対して定義された一般化イデアル類群は、 Kの同じアーベル拡大を生み出す可能性があり、これは、一般化イデアル類群上のやや複雑な同値関係で事前にコード化されています。

具体的には、有理数のアーベル拡大Lの場合、これは、 1 つの円分体に存在する有理数のアーベル拡大が、無限に多くの他の円分体にも存在するという事実に対応し、そのような円分体の各オーバーフィールドに対して、ガロア理論によって、同じ体Lに対応するガロア群の部分群が得られます。

類体理論のイデアル定式化では、アーベル拡大と適切なイデアル群との間に正確な一対一対応が得られ、イデアル理論的言語における同値な一般化イデアル類群は、同じイデアル群に対応する。

存在定理の特殊なケースは、m = 1 かつH = P _{1 の}ときである。この場合、一般化されたイデアル類群はKのイデアル類群であり、存在定理は、ガロア群がKのイデアル類群に同型で、 L がKのすべての場所で非分岐であるような唯一のアーベル拡大L / Kが存在することを述べている。この拡大はヒルベルト類体と呼ばれる。これはダヴィド・ヒルベルトによって存在すると予想され、この特殊なケースでの存在は、高木の一般存在定理より前の1907年に フィリップ・フルトヴェングラーによって証明された。

ヒルベルト類体のさらなる特別な性質は、数体のより小さなアーベル拡大には当てはまらないが、数体内のすべてのイデアルがヒルベルト類体において主イデアルになることである。主化が起こることを証明するには、アルティンとフルトヴェングラーが必要であった。

存在定理は、第一次世界大戦中の孤立した時期に日本で証明した高木によるものである。彼は1920年に国際数学者会議でこの定理を発表し、1920年代の類体理論の古典理論の発展につながった。ヒルベルトの要請により、この論文は1925年にMathematische Annalen誌に掲載された。

• 階級形成

• ヘルムート・ハッセ、「類体理論の歴史」、pp. 266–279 in Algebraic Number Theory、eds. JWS Cassels and A. Fröhlich、Academic Press 1967。（ハッセの記事に添付されている豊富な参考文献も参照してください。）