アルティン・ヴェルディエ双対性

数学において、アルティン・ヴェルディエ双対性は、マイケル・アルティンとジャン＝ルイ・ヴェルディエ(1964)によって導入された、代数的数環のスペクトル上の構成可能なアーベル層の双対性定理であり、テイト双対性 を一般化したものである。

これは、エタール（または平坦）コホモロジーに関する限り、数体内の整数環が3 次元の数学的オブジェクトのように振舞うことを示しています。

X を全虚数体Kの整数環のスペクトルとし、F をX上の構成可能なエタールアーベル層とする。このとき、米田ペアリング

${\displaystyle H^{r}(X,F)\times \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})\to H^{3}(X,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

任意の整数rに対して、有限アーベル群の非退化ペアリングです。

ここで、H ^r ( X, F ) は、Fに値を持つスキームXのr番目のエタールコホモロジー群であり、Ext ^r ( F, G ) は、X上のエタールアーベル層のカテゴリにおけるエタール層 F によるエタール層 G の r 拡大の群です。さらに、G mは、X_の構造層の単位のエタール層を表します。

クリストファー・デニンガー （1986）は、構成可能だが必ずしも捩れ層ではない層に対してアルティン・ヴェルディエ双対性を証明した。そのような層Fに対して、上記のペアリングは同型性を誘導する。

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{r}(X,F)^{*}&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})&&r=0,1\\H^{r}(X,F)&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})^{*}&&r=2,3\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle (-)^{*}=\operatorname {Hom} (-,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$

U を数体Kの整数環のスペクトルの開部分スキームとし、F をU上の有限平坦可換群スキームとする。するとカップ積は非退化ペアリングを定義する。

${\displaystyle H^{r}(U,F^{D})\times H_{c}^{3-r}(U,F)\to H_{c}^{3}(U,{\mathbb {G} }_{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

有限アーベル群のすべての整数rに対して。

ここでF ^{D は}Fのカルティエ双対を表し、これはU上の別の有限平坦可換群スキームです。さらに、は平坦アーベル層Fに値を持つスキームUのr番目の平坦コホモロジー群であり、は平坦アーベル層Fに値を持つUのコンパクトサポートを持つr番目の平坦コホモロジーです。${\displaystyle H^{r}(U,F)}$${\displaystyle H_{c}^{r}(U,F)}$

コンパクトな台を持つ平坦コホモロジーは、長完全列を生成するように定義される。

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{r}(U,F)\to H^{r}(U,F)\to \bigoplus \nolimits _{v\notin U}H^{r}(K_{v},F)\to H_{c}^{r+1}(U,F)\to \cdots }$

和は、アルキメデスのものも含め、 Uに含まれないKのすべての場所で取られます。局所寄与H ^r ( K _v , F ) は、Kのvの場所におけるヘンゼル化K _vのガロアコホモロジーであり、 Tate法によって修正されています。

${\displaystyle H^{r}(K_{v},F)=H_{T}^{r}(\mathrm {Gal} (K_{v}^{s}/K_{v}),F(K_{v}^{s})).}$

これは分離可能な閉包である${\displaystyle K_{v}^{s}}$${\displaystyle K_{v}.}$

• アルティン、マイケル、ヴェルディエ、ジャン＝ルイ(1964)、「数体のエタールコホモロジーに関するセミナー」、代数幾何学に関する夏期講習会で行われたセミナーに関連して作成された講義ノート。ホイットニー邸、マサチューセッツ州ウッズホール。1964 年 7 月 6 日～7 月 31 日(PDF)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、 2011 年 5 月 26 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ
• Deninger、Christopher (1986)、「非ねじり層への Artin-Verdier 双対性の拡張」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、366 : 18–31、doi :10.1515/crll.1986.366.18、MR  0833011
• Mazur、Barry (1973)、「数体のエタール コホモロジーに関するメモ」、高等師範科学誌、シリーズ 4、6 ( 4): 521–552、doi :10.24033/asens.1257、ISSN  0012-9593 、MR  0344254
• ミルン、ジェームズ・S. (2006)、算術双対定理（第2版）、BookSurge、LLC、pp. viii+339、ISBN 1-4196-4274-X