有限型の射影

可換代数では、可換環の準同型 が与えられたとき、が-代数として有限生成である場合、は有限型の-代数と呼ばれます。 が有限- 代数である可能性は非常に高く、これは が-加群として有限生成であることを意味します。 たとえば、任意の可換環と自然数に対して、多項式環は有限型の - 代数ですが、= 0 または= 0 でない限り、有限 - 加群ではありません。有限ではない有限型準同型の別の例は です。 ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A[x_{1},\dots,x_{n}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)}$

スキームに関する類似の概念は次のようになります。スキームの射が 有限型であるとは、がアフィン開サブスキームによる被覆を持ち、 が有限型の -代数を持つ のアフィン開サブスキームによる有限被覆を持つ場合です。 は上で有限型であるとも言えます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Spec} (A_{i})}$${\displaystyle f^{-1}(V_{i})}$${\displaystyle U_{ij}=\オペレーター名 {スペック} (B_{ij})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{ij}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

たとえば、任意の自然数と体に対して、上のアフィン-空間と射影 -空間は 上(つまり 上)で有限型ですが、 = 0でない限り上では有限ではありません。より一般的には、上の任意の準射影スキームは上で有限型です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

ノイマン正規化補題は、幾何学的に言えば、体上の有限型のあらゆるアフィン スキームは、上のアフィン空間への有限射影射を持ち、ここで はの次元である、ということを述べています。同様に、体上のあらゆる射影スキームは、射影空間への有限射影射を持ち、ここで はの次元である、ということを述べています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

• 有限生成代数

ボッシュ、ジークフリート(2013)。『代数幾何学と可換代数』ロンドン：シュプリンガー。pp. 360–365。ISBN 9781447148289。