グリーソンの定理

数理物理学 において、グリーソンの定理は、量子物理学で確率を計算するために用いられる規則であるボルンの規則が、非文脈性の仮定とともに、量子物理学における測定の通常の数学的表現から導き出せることを示している。アンドリュー・M・グリーソンは1957年に、ジョージ・W・マッキーが提起した疑問に答える形でこの定理を初めて証明した^{[1]。この業績は、隠れ}た変数理論の幅広いクラスが量子物理学と矛盾することを示す上で重要な役割を果たした点で歴史的に重要なものであった。それ以来、さまざまなバリエーションが証明されている。グリーソンの定理は、量子論理の分野と、量子理論の数学的公理の最小セットを見つけようとするその試みにとって特に重要である。

量子力学では、各物理システムはヒルベルト空間に関連付けられています。この概要では、ヒルベルト空間は有限次元であると仮定しています。ジョン・フォン・ノイマンによって体系化されたアプローチでは、物理システムに対する測定は、そのヒルベルト空間上の自己随伴演算子によって表され、この演算子は「観測可能」と呼ばれることもあります。このような演算子の固有ベクトルはヒルベルト空間の正規直交基底を形成し、その測定の可能な各結果は、基底を構成するベクトルの 1 つに対応します。密度演算子は、トレースが 1 に等しいヒルベルト空間上の半正定値演算子です。フォン・ワイツゼッカーの言葉で言えば、密度演算子は「確率のカタログ」です。定義できる各測定について、その測定の結果の確率分布は密度演算子から計算できます。^[2]そのための手順はボルンの規則であり、これは、 が 密度演算子であり、 が 測定結果に対応する基底ベクトルへの射影演算子であることを示しています。 $${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ),}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

ボルン則はヒルベルト空間の各単位ベクトルに確率を関連付け、正規直交基底を構成する単位ベクトルの任意の集合についてこれらの確率の合計が 1 になるようにします。さらに、単位ベクトルに関連付けられた確率は密度演算子と単位ベクトルの関数であり、そのベクトルが埋め込まれる基底の選択などの追加情報の関数ではありません。グリーソンの定理は逆を証明します。つまり、これらの条件を満たす単位ベクトル (または、それと同等に、それらに投影される演算子) への確率の割り当てはすべて、ボルン則を何らかの密度演算子に適用する形をとります。グリーソンの定理はヒルベルト空間の次元が 3 以上の場合に成り立ちます。次元 2 の場合は反例があります。

量子システムでの測定結果の確率は 0 から 1 までの実数でなければなりません。また、一貫性を保つためには、個々の測定について、さまざまな可能な結果の確率を合計すると 1 になる必要があります。グリーソンの定理は、射影演算子によって識別される測定結果に確率を割り当てる関数は、密度演算子とボルン則で表現できる必要があることを示しています。これにより、確率を計算する規則が示されるだけでなく、可能な量子状態のセットも決定されます。

を射影演算子から単位区間への関数とし、射影演算子の集合が単位行列に加算される（つまり、正規直交基底に対応する）場合、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$$${\displaystyle \sum _{i}f(\Pi _{i})=1.}$$

このような関数は、測定結果に対する確率値の割り当てを表現し、その割り当ては「非文脈的」であり、結果の確率は、その結果が埋め込まれている測定には依存せず、その特定の結果の数学的表現、すなわちその射影演算子にのみ依存する。^{[3] [4] : §1.3  [5] : §2.1  [6]}グリーソンの定理は、そのような関数に対して、単位トレースを持つ 正半定値演算子が存在し、${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle f(\Pi _{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ).}$$

ボルンの規則と「確率のカタログ」が単位トレースの正半定値演算子であるという事実は、測定値が正規直交基数で表され、確率の割り当てが「非文脈的」であるという仮定から生じます。グリーソンの定理を適用するには、測定値が定義される空間が実ヒルベルト空間または複素ヒルベルト空間、または四元数モジュールでなければなりません。^{[a] (たとえば、} p進数を使用して量子力学の類似物を構築しようとする場合、グリーソンの議論は適用できません。)

1932年、ジョン・フォン・ノイマンも、教科書『量子力学の数学的基礎』でボルン則を導出することに成功した。しかし、フォン・ノイマンが隠れた変数がないという証明の根拠とした仮定はかなり強固で、最終的には十分な根拠がないとみなされた。^[14]特に、フォン・ノイマンは、確率関数は可換か非可換かを問わず、すべての観測可能量に対して線形でなければならないと仮定した。彼の証明は、ジョン・ベルによって「間違っているだけでなく愚かだ！」と嘲笑された。^{[15] [16]}一方、グリーソンは線形性を仮定せず、可換射影子の加法性と非文脈性を仮定しただけであり、これらの仮定はより根拠があり、物理的に意味があると考えられた。^{[16] [17]}

1940年代後半までに、ジョージ・マッキーは量子物理学の数学的基礎に興味を持ち始め、特に、測定値をヒルベルト空間上の正規直交基底として表す理論において、確率を計算するための唯一の規則がボルンの規則であるかどうか疑問に思っていた。^{[18] [19]マッキーは}シカゴ大学のアーヴィング・シーガルとこの問題について議論し、シーガルは当時大学院生だったリチャード・ケイディソンにこの問題を提起した。ケイディソンは、2次元ヒルベルト空間では、量子状態とボルンの規則に対応しない確率測度が存在することを示した。グリーソンの結果は、これが次元2でのみ起こることを示唆している。^[19]

グリーソンのオリジナルの証明は3段階で進む。^{[20] : §2}グリーソンの用語では、フレーム関数はヒルベルト空間の単位球面上の 実数値関数であり、 ベクトルが正規直交基底を構成するときは常に となる。前のセクションで定義した非文脈的確率割り当ては、フレーム関数と同等である。^[b]標準的な方法、つまりボルンの規則を量子状態に適用することによって記述できるそのような測度は、正則フレーム関数と呼ばれる。グリーソンは、フレーム関数が必ず正則である場合に関する一連の補題を導き、最終定理に至っている。まず、ヒルベルト空間上のすべての連続フレーム関数が正則であることを確立する。このステップでは、球面調和関数の理論を使用する。次に、 上のフレーム関数は連続でなければならないことを証明し、 の特殊なケースの定理を確立する。このステップは、証明の中で最も難しいと考えられている。^{[21] [22]}最後に、彼は一般的な問題がこの特殊なケースに還元できることを示している。グリーソンは、この証明の最後の段階で使用された補題の1つを、彼の博士課程の学生リチャード・パレに帰している。^{[1] : fn 3}${\displaystyle f}$$${\displaystyle \sum _{i}f(x_{i})=1}$$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ロビン・リス・ハドソンはグリーソンの定理を「有名だが、非常に難しい」と評した。^[23]クック、キーン、モランは後にグリーソンの定理よりも長いが、前提条件が少ない証明を作成した。^[21]

グリーソンの定理は、量子測定理論におけるいくつかの基本的な問題を浮き彫りにする。フックスが主張するように、この定理は「ボルンの確率則や密度演算子の状態空間構造が理論の他の公理にどの程度依存しているかを示している」ため、「極めて強力な結果」である。その結果、量子理論は「当初考えられていたよりも緊密なパッケージ」である。^{[24] : 94–95}量子形式論を別の公理から再導出するさまざまなアプローチは、それに応じて、ヒルベルト空間の構造とボルンの規則の間のギャップを埋める重要なステップとしてグリーソンの定理を採用してきた。^[c]

さらに、この定理は、量子力学における特定のクラスの隠れた変数の可能性を排除する上で果たした役割において歴史的に重要です。決定論的な隠れた変数理論は、与えられた結果の確率が常に0 か 1 のいずれかであることを意味します。たとえば、スピン 1 の原子に対するシュテルン・ゲルラッハ測定では、選択された軸に沿った原子の角運動量が 、および と指定できる 3 つの値のいずれかであることが報告されます。決定論的な隠れた変数理論では、測定で見つかった結果を固定する基礎となる物理的特性が存在します。基礎となる物理的特性の値に応じて、与えられた結果 (たとえば、 の結果) は、不可能であるか保証されているかのいずれかでなければなりません。しかし、グリーソンの定理は、そのような決定論的な確率測度は存在しないことを意味します。マッピングは、任意の密度演算子 に対してヒルベルト空間の単位球面上で連続しています。この単位球 は連結されているため、その上の連続した確率測度は決定論的になり得ません。^{[26] : §1.3}グリーソンの定理は、量子論が、不確実性は隠れた自由度に関する無知に起因するという古典的な直感から根本的に大きく逸脱していることを示唆している。 ^[27]より具体的には、グリーソンの定理は「非文脈的」な隠れた変数モデルを排除する。量子力学の隠れた変数モデルは、グリーソンの定理の含意を避けるために、測定対象システムだけに属する特性ではなく、測定が行われる外部の文脈にも依存する隠れた変数を含まなければならない。この種の依存性は、不自然または望ましくないものと見なされることが多く、状況によっては特殊相対性理論と矛盾する。^{[27] [28]}${\displaystyle -}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +}$${\displaystyle +}$${\displaystyle u\to \langle \rho u,u\rangle }$${\displaystyle \rho }$

2次元ヒルベルト空間（量子ビット ）の反例を構築するには、隠れた変数 を3次元ユークリッド空間の単位ベクトルとします。ブロッホ球を使用すると、量子ビット上の各可能な測定は、単位球上の2つの反対点として表すことができます。測定結果の確率を、その結果を表す点が と同じ半球にある場合は1 、そうでない場合は0と定義すると、グリーソンの仮定に従う測定結果への確率の割り当てが得られます。ただし、この確率の割り当ては、有効な密度演算子に対応していません。 の可能な値に確率分布を導入することで、量子理論の予測を再現する量子ビットの隠れた変数モデルを構築できます。^{[27] [29]}${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$

グリーソンの定理は、ジョン・ベル、エルンスト・スペッカー、サイモン・コーヘンによる後の研究のきっかけとなり、コーヘン＝スペッカー定理と呼ばれる結果につながり、同様に非文脈的隠れた変数モデルは量子力学と両立しないことを示しています。上で述べたように、グリーソンの定理は、0と1の値のみを取るヒルベルト空間の光線には確率測度が存在しないことを示しています（その空間の次元が2を超える限り）。コーヘン＝スペッカーの定理は、そのような確率測度を定義できない特定の有限の光線の部分集合を構築することにより、このステートメントを洗練させます。^{[27] [30]そのような有限の光線の部分集合が存在しなければならないという事実は、}論理的コンパクト性の議論を通じてグリーソンの定理から従いますが、この方法では目的の集合を明示的に構築するわけではありません。^{[20] : §1}ベルの定理として知られる関連する隠れた変数のない結果では、隠れた変数理論が非文脈的であるという仮定は、それが局所的であるという仮定に置き換えられています。コッヘン-スペッカー構成で使用される同じ光線セットを使用して、ベル型の証明を導くこともできます。^{[27] [31] [32]}

ピトウスキーはグリーソンの定理を用いて、量子力学は新しい確率理論であり、起こり得る事象の空間の構造が古典的なブール代数から修正されていると主張した。彼はこれを特殊相対論がニュートン力学の運動学を修正する方法に類似していると考えている。^{[4] [5]}

グリーソン定理とコッヘン・スペッカー定理は、パースペクティビズム、構成的経験主義、エージェント的実在論など、さまざまな哲学の支持に引用されてきた。^{[33] [34] [35]}

グリーソンの定理は、格子理論を多用する量子論理に応用されている。量子論理は、量子測定の結果を論理命題として扱い、これらの論理命題によって形成される関係と構造を研究する。それらは、古典論理で有効な分配法則が緩和された格子に編成され、量子物理学では、すべての量のペアを同時に測定できるわけではないという事実を反映している。^[36]量子論理の表現定理は、そのような格子がスカラー積を持つベクトル空間の部分空間の格子と同型であることを示している。^{[5] ：§2}ソレールの定理 を使用すると、ベクトル空間が定義される（スキュー）体Kは、追加の仮説を使用して、グリーソンの定理が成り立つために必要な実数、複素数、または四元数のいずれかであることが証明できます。^{[12] : §3  [37] [38]}

グリーソンの定理を適用することで、格子要素上の確率関数の形式を制限できます。格子要素から確率へのマッピングが非文脈的であると仮定すると、グリーソンの定理は、それがボルン則で表現可能である必要があることを確立します。

グリーソンは当初、システムに適用される測定がフォン・ノイマン型、すなわち、考えられる各測定がヒルベルト空間の正規直交基底に対応するという仮定のもとで定理を証明した。後に、ブッシュ^[39]と独立にケイブスら [ ^{24] :116  [40]は、}正演算子値測定(POVM)として知られる、より一般的な測定クラスについて類似の結果を証明した。すべてのPOVMの集合にはフォン・ノイマン測定の集合が含まれるため、この定理の仮定はグリーソンの定理よりも大幅に強力である。これにより、この結果の証明はグリーソンのものよりも簡単になり、結論はより強力になった。グリーソンの元の定理とは異なり、POVMを使用する一般化されたバージョンは、単一量子ビットの場合にも適用される。^{[41] [42]}しかし、POVMが基本的なものではないため、POVMの非文脈性を仮定することは議論の余地があり、一部の著者は、非文脈性は基礎となるフォン・ノイマン測定に対してのみ仮定されるべきであると主張している。^[43]グリーソンの定理は、元のバージョンでは、ヒルベルト空間が有理数上で定義されている場合、つまり、ヒルベルト空間内のベクトルの成分が有理数または有理数部分を持つ複素数に制限されている場合には成立しない。しかし、許容される測定の集合がすべてのPOVMの集合である場合、定理は成立する。^{[40] : §3.D}

グリーソンによる最初の証明は構成的ではなかった。その証明の根拠の一つは、コンパクト空間上で定義されたすべての連続関数は最小値に到達するという事実である。最小値が発生する場所をすべてのケースで明示的に示すことはできないため、この原理に依拠する証明は構成的証明にはならない。しかし、定理は構成的証明が見つかるような形で再定式化できる。^{[20] [44]}

グリーソンの定理は、理論の観測量がフォン・ノイマン代数を形成するいくつかのケースに拡張することができる。具体的には、観測量の代数が可換フォン・ノイマン代数上の2×2行列の代数として表現できる直和を持たない場合（つまり、 I ₂型の直和を持たない場合）に、グリーソンの結果の類似性が成り立つことが示される。本質的に、定理を証明する上での唯一の障壁は、ヒルベルト空間が量子ビットの空間である場合、グリーソンの元の結果が成り立たないという事実である。^[45]