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量子力学において、ベル-KS定理としても知られるコーヘン-スペッカー（KS）定理[ 1 ]は、1966年にジョン・S・ベル[ 3 ]によって、また1967年にサイモン・B・コーヘンとエルンスト・スペッカーによって証明された「不可能」定理[ 2 ]である[ 4 ]。この定理は、量子力学の予測を文脈に依存しない方法で説明しようとする隠れた変数理論の許容されるタイプに一定の制約を課す。コーヘンとスペッカーによって証明されたこの定理のバージョンは、有限個の状態ベクトルの観点からこの制約の明示的な例も与えた。
コッヘン・スペッカーの定理はベルの定理を補完するものである。ベルの定理は量子力学の予測を再現するあらゆる隠れた変数理論の特徴として非局所性を確立したが、コッヘン・スペッカーの定理はそのような理論の必然的な特徴として文脈依存性を確立した。 [ 1 ]
この定理は、量子力学の結果を再現することを目的とした隠れた変数理論の2つの基本的な仮定、すなわち、量子力学的観測量に対応するすべての隠れた変数は任意の時点で確定値を持つこと、およびそれらの変数の値は本質的であり、測定に使用される装置に依存しないことの間に矛盾があることを証明している。この矛盾は、量子力学的観測量が必ずしも可換である必要はないという事実に起因する。ヒルベルト空間の次元が少なくとも3である場合、これらの観測量の代数のすべての可換部分代数を、隠れた変数理論の古典的な構造を表すと仮定される1つの可換代数に同時に埋め込むことは不可能であることが判明する。
コッヘン・スペッカーの定理は、検討中の実験や分析的観点に関連する特定の枠組み（厳密には恒等演算子の射影分解）の文脈を無視して、物理的現実の要素すべてが量子力学的ヒルベルト空間形式によって一貫して同時に表現できると仮定する隠れた変数理論を排除します。イシャムとバターフィールド[ 5 ]が簡潔に述べたように（非文脈的な隠れた変数理論と同様に普遍的な確率的標本空間を仮定した場合） 、コッヘン・スペッカーの定理は「すべての物理量に値を割り当てながら、同時にそれらの間の関数関係を維持することは不可能である」と主張します。
KS定理は、量子力学の完全性（または不完全性）に関する議論において重要な一歩であり、1935年にアインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンによる論文でコペンハーゲン解釈の完全性に関する仮定が批判され、いわゆるEPRパラドックスが生じたことで、議論が活発化した。このパラドックスは、量子力学的測定結果が、測定前に微視的対象の性質として存在すると仮定される物理的実在の要素の存在の結果として、決定論的に生成されるという仮定から生じる。EPR論文では、量子力学的観測量の測定値が、そのような物理的実在の要素の役割を果たすことができると仮定されていた。この形而上学的な仮定の結果、EPR批判は物理学界の大多数によって真剣に受け止められなかった。さらに、ボーアは回答[ 6 ]の中で、EPR論文の曖昧さを指摘し、たとえ普遍的な文脈が全く異なっていても、局所的な測定基準を変更した測定の遠隔的な結果には何も変化がないと想定できると述べていた。ボーアによれば、測定配置から生じる文脈性を考慮に入れると、EPRの推論は無効になるという。その後、アインシュタイン[ 7 ]は、ボーアの文脈性への依存は非局所性（「遠隔作用」）を意味し、結果として、非局所性を避けたいのであれば不完全性を受け入れなければならないと指摘した。
1950年代と1960年代には、形而上学に抵抗のない人々にとって2つの発展の道が開かれており、どちらの道もフォン・ノイマンが提示した「不可能」定理[ 8 ]を改良したもので、隠れた変数理論が量子力学と同じ結果をもたらすことは不可能であることを証明しようとしていた。まず、ボームは量子力学の解釈を発展させ、これは一般的に量子力学の基礎となる隠れた変数理論として受け入れられている。ボームの理論の非局所性により、ベルは量子現実が非局所的であり、おそらく局所的な隠れた変数理論だけが量子力学と矛盾すると考えるようになった。さらに重要なことに、ベルは実験的に検証可能な不等式、ベルの不等式を導出することで、この問題を形而上学のレベルから物理学のレベルに引き上げることに成功した。
2つ目の流れは、コーヘン＝スペッカーの定理である。ベルのアプローチとの本質的な違いは、隠れた変数理論によって量子力学を支える可能性が、局所性や非局所性への言及とは無関係に扱われる点にある。むしろ、局所性よりも強い制約、すなわち、隠れた変数は測定対象の量子系にのみ関連付けられ、測定装置には関連付けられないという制約が課される。これは非文脈性の仮定と呼ばれる。文脈性は、ここでは量子力学的観測量の非互換性と関連付けられ、非互換性は測定配置の相互排他性に関連付けられる。コーヘン＝スペッカーの定理は、ヒルベルト空間の次元が3以上の場合、非文脈的な隠れた変数モデルでは量子論の予測を再現できないと述べている。
ベルは1966年にコーヘン・スペッカーの定理の証明を発表したが、その論文は彼の有名なベル不等式の論文よりも前に雑誌に投稿されたものの、編集者の机の上で2年間行方不明になっていた。コーヘン・スペッカーの証明よりもかなり簡単な証明が後に、マーミン[ 9 ] [ 10 ]やペレス[ 11 ]などによって与えられた。しかし、多くの簡単な証明は、例えば4次元以上の高次元のヒルベルト空間に対してのみ定理を確立している。
文脈性の最初の実験的テストは2000年に実施され[ 12 ]、検出、鮮明度、互換性の抜け穴のないバージョンは2022年に実現した[ 13 ]。
KS定理は、すべての古典量が相互に両立可能であるにもかかわらず、量子力学的観測量の集合を古典量の集合に埋め込むことが可能かどうかを検証する。Kochen–Specker論文で最初に指摘されたのは、量子力学的観測量の集合の代数的構造を無視すれば、これは自明な方法で可能であるということである。実際、観測量Aが値a kを持つ確率を p A ( a k )とすると、すべての可能な観測量Aについて積Π A p A ( a k )を取ると、有効な同時確率分布となり、周辺分布を取ることで量子力学的観測量のすべての確率が得られる。しかし、KochenとSpeckerは、この同時確率分布は観測量間のすべての相関を無視しているため、受け入れられないと指摘している。したがって、量子力学では、A がa kの値を持つ場合、 A 2はa k 2 の値を持ち、これはAとA 2の値が非常に相関していることを意味します。
より一般的には、KochenとSpeckerによれば、任意の関数fに対して、値が観測可能な満たす
A 1とA 2が互換性のある（測定可能な）観測量である場合、同様に、次の2つの等式が成り立つはずです。
そして本物で、
これらのうち最初のものは、A 1とA 2が両立するか否かに関わらずこの等式が成り立つというフォン・ノイマンの仮定に比べて、かなり弱められたものである。コーヘンとスペッカーは、これらのより弱い仮定に基づいても値の割り当ては不可能であることを証明できた。そのために、彼らは観測量を特別なクラス、すなわち、ヒルベルト空間の特定の直交基底の固有ベクトルへの射影演算子に対応する、値 0 と 1 のみを持ついわゆるイエス・ノー観測量に限定した。
ヒルベルト空間が少なくとも 3 次元である限り、彼らは 117 個の射影演算子のセットを見つけることができましたが、それらのそれぞれに 0 または 1 の値を曖昧さなく割り当てることはできません。Kochen と Specker によるかなり複雑な証明の代わりに、ここでは、より少ない数の射影演算子を使用する、はるかに単純な証明の 1 つを再現する方が分かりやすいですが、これはヒルベルト空間の次元が少なくとも 4 の場合にのみ定理を証明します。わずか 18 個の射影演算子のセットに基づいて同様の結果を得ることが可能であることがわかっています。[ 14 ]
そのためには、u 1、u 2、u 3、u 4が4 次元ヒルベルト空間の直交基底の 4 つの直交ベクトルである場合、これらのベクトルに対する射影演算子P 1、P 2、P 3、P 4はすべて相互に可換である（したがって、互換性のある観測量に対応し、値 0 または 1 を同時に割り当てることができる）ことを認識すれば十分である。
したがって、
しかし、
から = 0 または 1、4つの値のうち1つは1でなければならず、残りの3つは0でなければならない。
カベロ[ 15 ] [ 16 ]は、カーナハン[ 17 ]によって展開された議論を拡張し、9つの直交基底を検討した。各基底は、基底ベクトルが明示的に表示される次の表の列に対応する。基底は、各射影演算子がちょうど2つのコンテキストに現れるように選択され、コンテキスト間の関数関係を確立する。
さて、「不可能」定理は、次のことが不可能であることを確認することによって導き出されます。すなわち、上記の表の各区画に、1または0のいずれかの値を、次のような方法で配置することは不可能です。
偶然にも、今やらなければならないのは、表に値 1 が何回出現するかという質問をすることだけです。一方では、(a) は 1 が 9 回出現することを示唆しています。列が 9 つあり、(a) は 1 が各列にちょうど 1 回出現すると述べています。他方では、(b) は 1 が偶数回出現することを示唆しています。区画はすべて同じ色のペアになっており、(b) はペアの一方の要素に 1 が含まれている場合、もう一方の要素にも 1 が含まれている必要があると述べています。繰り返しますが、(a) は 1 が 9 回出現すると言い、(b) は偶数回出現すると言っています。9 は偶数ではないので、(a) と (b) は互いに矛盾していることがわかります。区画への 1 と 0 の分布は、両方を満たすことは不可能です。
ベルの定理（ CHSH不等式）の通常の証明は、少なくとも4次元のKS定理の簡単な証明に変換することもできます。ベルのセットアップには、4つの結果（実験の各翼で同時に行われるバイナリ測定の4組）を持つ4つの測定と、2つの結果（実験の各翼で行われる2つのバイナリ測定、伴わないもの）を持つ4つの測定が含まれるため、24個の射影演算子があります。
Kochen–Specker の論文では、価値の帰属の可能性が議論されています。文脈依存である可能性があり、つまり、表の異なる列の同じベクトルに対応する観測量は、異なる列が異なる測定配置に対応するため、同じ値を持つ必要はありません。サブ量子現実（隠れた変数理論で説明される）は測定の文脈に依存する可能性があるため、量子力学的観測量と隠れた変数の間の関係は同型ではなく同型である可能性があります。これにより、文脈に依存しない値の割り当ての要件は不要になります。したがって、KS 定理は非文脈的な隠れた変数理論のみを排除します。文脈性の可能性は、いわゆる量子力学の様相解釈を生み出しました。
KS定理により、物理的現実の要素が量子力学的観測量の値によって表されるというアインシュタインの仮定の不可能性が証明される。量子力学的観測量の値は、まず測定機器のポインタの最終位置を指し、これは測定中にのみ生じるため、物理的現実の要素の役割を果たすことはできない。物理的現実の要素が存在するとすれば、量子力学ではなく、サブクォンタム（隠れた変数）理論による記述が必要となるように思われる。後の出版物[ 18 ]では、隠れた変数が量子力学的観測量の値とは異なる微視的対象のサブクォンタム特性を指すと想定される隠れた変数理論に基づいてベルの不等式が議論されている。これにより、ルイ・ド・ブロイによって既に実践されていた、異なる理論によって記述される異なるレベルの現実を区別する可能性が開かれる。このようなより一般的な理論においては、KS定理は、物理的現実のサブクォンタム要素と測定によって得られた観測量の値との間に決定論的な関係が存在するという意味で、測定が忠実であると仮定される場合にのみ適用可能である。
