逆平均曲率フロー

微分幾何学と幾何解析 の数学の分野において、逆平均曲率フロー (IMCF)は、リーマン多様体または擬リーマン多様体の部分多様体の幾何フローである。これは、一般相対性理論で興味深い、リーマンのペンローズ不等式の特定のケースを証明するために使用されている。

形式的には、擬リーマン多様体( M , g )と滑らかな多様体 Sが与えられたとき、逆平均曲率流は開区間IとI × SからMへの滑らかな写像Fから成り、

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}={\frac {-\mathbf {H} }{|\mathbf {H} |^{2}}},}$

ここでHは浸漬の平均曲率ベクトルF ( t ,⋅)である。

gがリーマン関数で、S がdim( M ) = dim( S ) + 1で閉じており、S から M への滑らかな浸漬 f の平均曲率がゼロでない場合には、「初期データ」がfである一意の逆平均曲率フローが存在する。^[1]

逆平均曲率フローの簡単な例は、ユークリッド空間内の同心円状の超球面族によって与えられます。そのような球の次元がnで、半径がrの場合、その平均曲率は⁠ん/r⁠ . したがって、このような同心球の族は、逆平均曲率流を形成するのは、

${\displaystyle r'(t)={\frac {r(t)}{n}}.}$

したがって、同心の円形超球の族は、半径が指数関数的に増加すると、逆平均曲率フローを形成します。

1990 年、クラウス・ゲルハルトは、この状況がユークリッド空間の平均凸星形の滑らかな超曲面のより一般的なケースの特徴であることを示した。特に、そのような初期データに対しては、逆平均曲率フローがすべての正の時間に対して存在し、平均凸星形の滑らかな超曲面のみで構成される。さらに、表面積は指数的に増加し、表面積を固定する再スケーリングの後、表面は丸い球に滑らかに収束する。ゲルハルトの研究における幾何学的推定は、最大原理に従う。したがって、漸近的な丸さは、クリロフ・サフォノフの定理の結果となる。さらに、ゲルハルトの方法は、より一般的な曲率ベースの超曲面フローに同時に適用される。

幾何学的フローではよくあることですが、より一般的な状況でのIMCF解は有限時間特異点を持つことが多く、Iを( a ,∞)の形に取ることができないことが多いことを意味します。^[2]

ユン・ガン・チェン、義賀義一、後藤俊一、およびローレンス・エバンスとジョエル・スプラックの平均曲率流に関する独創的な研究に続いて、ゲルハルト・フイスケンとトム・イルマネンは、リーマン多様体（M、g）の超曲面に対するIMCF方程式を楕円偏微分方程式に置き換えた。

${\displaystyle \operatorname {div} _{g}{\frac {du}{|du|_{g}}}=|du|_{g}}$

実数値関数uに対してM上に存在します。この方程式の弱解は変分原理によって指定できます。Huisken と Ilmanen は、漸近平坦または漸近円錐である任意の完全連結な滑らかなリーマン多様体( M、g )、および境界が滑らかな埋め込み部分多様体であるMの任意のプレコンパクトで開部分集合Uに対して、 Uの補集合上で正の弱解であり、 U上で非正であるM上の適切な局所リプシッツ関数uが存在し、さらにそのような関数はUの補集合上で一意に決定されることを証明しました。

アイデアは、t が増加するにつれて、 { x  : u ( x ) < t }の境界が、 Uの境界によって与えられた初期条件で、逆平均曲率フローで生じる超曲面を通って移動するというものです。ただし、楕円と弱い設定はより広いコンテキストを提供します。なぜなら、そのような境界は不規則性を持ち、不連続にジャンプする可能性があり、これは通常の逆平均曲率フローでは不可能だからです。

Mが 3 次元でg が非負のスカラー曲率を持つ特殊なケースでは、Huisken と Ilmanen は、ホーキング質量と呼ばれる特定の幾何学的量を{ x  : u ( x ) < t }の境界に対して定義でき、 t の増加に対して単調に非減少であることを示した。滑らかな逆平均曲率フローのより単純なケースでは、これは局所的な計算に相当し、1970 年代に物理学者Robert Gerochによって示された。Huisken と Ilmanen の設定では、関係する表面の不規則性や不連続性の可能性により、これはより非自明である。

ヒュースケンとイルマネンはゲロッホの単調性を拡張した結果、ホーキング質量を使用して、「最も外側の」極小面の表面積と、非負のスカラー曲率を持つ漸近的に平坦な 3 次元リーマン多様体の ADM 質量の間を補間することができました。これにより、リーマンのペンローズ不等式の特定のケースが解決されました。

逆平均曲率フローの簡単な例は、内の同心円状の超球面の族によって与えられます。半径 の 次元球面の平均曲率は です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$${\displaystyle H={\frac {m}{r}}\in \mathbb {R} }$

球の回転対称性（または一般には等長変換における平均曲率の不変性）により、逆平均曲率流方程式は、半径の初期球に対して常微分方程式に簡約される。 ${\displaystyle \partial _{t}F=H^{-1}\nu }$${\displaystyle r_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}r(t)=&{\frac {r(t)}{m}},\\r(0)=&r_{0}.\end{aligned}}}$

この常微分方程式の解（例えば変数分離によって得られる）は

${\displaystyle r(t)=r_{0}e^{t/m}}$。

• ゲルハルト、クラウス (1990)。 「非凸超曲面の球面への流れ」。 微分幾何学ジャーナル。32 (1): 299–314。doi : 10.4310/ jdg /1214445048。MR 1064876。Zbl 0708.53045  。
• ジェロック、ロバート(1973)。「エネルギー抽出」。 ニューヨーク科学アカデミー紀要。224 ( 1): 108–117。Bibcode :1973NYASA.224..108G。doi : 10.1111 /j.1749-6632.1973.tb41445.x。S2CID 222086296。Zbl 0942.53509  。
• Huisken, Gerhard ; Ilmanen, Tom (2001). 「逆平均曲率フローおよびリーマン・ペンローズ不等式」Journal of Differential Geometry . 59 (3): 353–437. doi : 10.4310/jdg/1090349447 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5581-4 . MR  1916951. Zbl  1055.53052.
• Huisken, Gerhard ; Polden, Alexander (1999)。「超曲面の幾何進化方程式」。Hildebrandt, S.、Struwe, M. (編)。変分法と幾何進化問題。Centro Internazionale Matematico Estivo の第 2 セッション (Cetraro、イタリア、1996 年 6 月 15 ～ 22 日)。数学の講義ノート。第 1713 巻。ベルリン: Springer。pp . 45 ～ 84。doi : 10.1007 /BFb0092667。MR 1731639。Zbl  0942.35047  。