一般相対論における質量

一般相対性理論(GR)における質量の概念は、特殊相対性理論における質量の概念よりも定義が微妙です。実際、一般相対性理論では、質量という用語の定義は 1 つではなく、さまざまな状況に適用できる複数の異なる定義が提供されています。状況によっては、一般相対性理論におけるシステムの質量が定義されないこともあります。

この微妙な違いの理由は、重力場のエネルギーと運動量が明確に局在化することができないからです。（^[1]の第20章を参照。）したがって、一般相対論における質量の厳密な定義は、古典力学や特殊相対論のように局所的ではなく、時空の漸近的性質を参照します。漸近的に平坦な時空と漸近的に反ド・ジッター空間に対しては、明確に定義された質量の概念が存在します。しかし、これらの定義は他の設定では注意して使用する必要があります。

特殊相対性理論では、粒子の静止質量は、特殊相対性理論における質量に関する記事で説明されているように、エネルギーと運動量の観点から明確に定義できます。ただし、エネルギーと運動量の概念を一般相対性理論に一般化するのは微妙です。その主な理由は、重力場自体がエネルギーと運動量に寄与するためです。ただし、「重力場エネルギー」はエネルギー運動量テンソルの一部ではありません。代わりに、重力場の全エネルギーへの寄与として識別されるものは、アインシュタイン方程式の反対側にあるアインシュタインテンソルの一部です (したがって、これらの方程式の非線形性の結果です)。特定の状況では、方程式を書き直して、「重力エネルギー」の一部が応力-エネルギー-運動量擬似テンソルの形で他のソース項と並ぶようにすることは可能ですが、この分離はすべての観察者に当てはまるわけではなく、それを得るための一般的な定義はありません。^[2]

それでは、古典力学では簡単に定義できるシステムの全質量という概念をどのように定義するのでしょうか。結局のところ、少なくとも漸近的に平坦な時空（大まかに言えば、それ以外は空で重力のない無限空間にある孤立した重力システムを表す）については、ADM 3+1 分割が解決策につながります。通常のハミルトン形式と同様に、その分割で使用される時間方向には関連するエネルギーがあり、これを積分するとADM 質量（または同等に ADM エネルギー）と呼ばれるグローバルな量が得られます。 ^{[3]あるいは、}静止している時空、つまり時間のようなキリング ベクトル場（時間の生成場として、エネルギーと正準共役である）を持つ時空 に対して質量を定義する可能性があります。その結果が、いわゆるコマー質量です^{[4] [5]} 定義方法は完全に異なりますが、静止した時空に対する ADM 質量と同等であることが示されます。^[6]コマー積分の定義は、少なくとも漸近的な時間並進対称性がある非定常場にも一般化できる。特定のゲージ条件を課すことで、ヌル無限大でのボンディエネルギーを定義できる。ある意味では、ADM エネルギーは時空に含まれるエネルギーのすべてを測定するが、ボンディエネルギーは重力波によって無限大に運ばれた部分を除外する。^[5] 今定義した質量の正値定理を証明するために多大な努力が費やされてきたが、それは正値、または少なくとも下限値の存在が、下からの有界性というより基本的な問題に関係しているからである。エネルギーに下限値がなければ、孤立系は絶対的に安定ではなく、さらに低い総エネルギー状態に崩壊する可能性が常に存在する。ADM 質量とボンディ質量の両方が正であることの証明はいくつか存在する。特に、これはミンコフスキー空間(両方ともゼロ) が安定していることを意味する。^[7] ここではエネルギーに焦点を当ててきましたが、グローバル運動量に対する類似の定義も存在します。角キリングベクトルの場が与えられ、コマールの手法に従えば、グローバル角運動量も定義できます。^[8]

これまで述べた定義の欠点は、それらが（ゼロまたは空間的な）無限大でのみ定義されていることである。1970 年代以降、物理学者と数学者は、孤立系の質量など、その系を含む空間の有限領域内で定義された量のみを使用して定義される適切な準局所量を定義するという、より野心的な取り組みに取り組んできた。しかし、ホーキングエネルギー、ジェロクエネルギー、ツイスター法に基づくペンローズ準局所エネルギー運動量など、さまざまな定義が提案されているものの、この分野はまだ流動的である。最終的には、適切に定義された準局所質量を使用して、フープ予想をより正確に定式化し、ブラックホールのいわゆるペンローズ不等式（ブラックホールの質量を地平線の領域に関連付ける）を証明し、ブラックホール力学の法則の準局所バージョンを見つけることが期待されている。^[9]

静止時空の非技術的な定義は、計量係数のいずれも時間の関数ではない時空です。ブラックホールのシュワルツシルト計量と回転するブラックホールのカー計量は、静止時空の一般的な例です。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

定義により、静止した時空は時間並進対称性を示します。これは技術的には時間的キリング ベクトルと呼ばれます。システムは時間並進対称性を持つため、ノイマンの定理によりエネルギーが保存されることが保証されます。静止したシステムには、運動量がゼロであると見なせる明確に定義された静止フレームもあるため、システムのエネルギーを定義すると質量も定義されます。一般相対性理論では、この質量はシステムのコマー質量と呼ばれます。コマー質量は静止したシステムに対してのみ定義できます。

コマー質量は、フラックス積分によって定義することもできます。これは、ガウスの法則が表面に囲まれた電荷を、通常の電気力に面積を掛けたものとして定義する方法に似ています。ただし、コマー質量を定義するために使用されるフラックス積分は、電界を定義するために使用されるものとは少し異なります。通常の力は実際の力ではなく、「無限遠の力」です。詳細については、 メインの記事を参照してください。

2 つの定義のうち、時間変換対称性の観点から見たコマー質量の記述は、最も深い洞察を提供します。

重力源を含むシステムが無限の真空領域に囲まれている場合、時空の幾何学は、無限遠で特殊相対論の平坦なミンコフスキー幾何学に近づく傾向があります。このような時空は、「漸近的に平坦な」時空として知られています。

時空が漸近的に平坦なシステムでは、ADMおよびボンディのエネルギー、運動量、質量を定義できます。ノイマンの定理では、ADM のエネルギー、運動量、質量は空間無限大での漸近対称性によって定義され、ボンディのエネルギー、運動量、質量はヌル無限大での漸近対称性によって定義されます。質量はエネルギー運動量の4 次元ベクトルの長さとして計算されることに注意してください。これは、システムの「無限大」でのエネルギーと運動量と考えることができます。

ADMエネルギーは、無限遠における次のフラックス積分によって定義される。^[1]時空が漸近的に平坦である場合、これは「無限遠」の近くで計量が平坦な空間の計量に近づくことを意味する。計量が平坦な空間から離れる漸近偏差は、次のようにパラメータ化できる。

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$

ここで、は平面空間の計量である。ADMエネルギーは、無限遠における 表面上の積分によって与えられる。${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle P^{0}={1 \over 16\pi G}\int \left(\partial ^{k}h_{jk}-\partial ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},}$

ここで、 はの外向きの法線です。繰り返しの添字についてはアインシュタインの総和法則が想定されていますが、k と j の総和は空間方向に対してのみ適用されます。上記の式で共変微分ではなく通常の微分を使用するのは、漸近幾何学が平坦であるという仮定に基づいているためです。 ${\displaystyle S_{j}}$${\displaystyle S}$

上記の式に対する直感は、次のようにして得られます。表面 S を球面とみなし、法線が放射状に外側を向いているとします。エネルギー源 r から離れた距離では、テンソルはのように減少することが予想され、r に関する導関数はこれを に変換します。大きな半径での球の面積も のように正確に増加するため、エネルギーの有限値が得られます。 ${\displaystyle h_{ij}}$${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle r^{-2}}$${\displaystyle r^{2}}$

漸近的に平坦な時空における運動量の表現を得ることも可能である。そのような表現を得るには、次のように定義する。

${\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \beta }+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta }+{\bar {h}}^{\mu \beta }\eta ^{\alpha \nu }}$

どこ

${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{1 \over 2}\eta _{\mu \nu }h_{\alpha }^{\alpha }}$

そして、運動量は漸近的に平坦な領域におけるフラックス積分によって得られる。

${\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}$

上記の式から得られる 式は、H の明示的な式を使用して簡単に確認できるように、上記の ADM エネルギーの式と一致していることに注意してください。${\displaystyle P^{0}}$

ニュートンの極限では、ほぼ平坦な時空における準静的システムの場合、システムのエネルギーの非重力成分を加算し、ニュートンの重力結合エネルギーを減算することで、システムの全エネルギーを近似することができます。

上記の記述を一般相対性理論の言葉に翻訳すると、ほぼ平坦な時空内のシステムは、次のように表される総非重力エネルギー E と運動量 P を持つと言えます。

${\displaystyle E=\int _{v}T_{00}dV\qquad P^{i}=\int _{V}T_{0i}dV}$

システムの運動量ベクトルの成分がゼロ、つまり P ⁱ = 0 のとき、システムのおおよその質量は (E+E _binding )/c ²となり、E _{binding は}ニュートンの重力自己結合エネルギーを表す負の数になります。

したがって、システムが準静的であると仮定すると、「重力波」の形で存在する重要なエネルギーは存在しないと仮定します。システムが「ほぼ平坦な」時空にあると仮定すると、メトリック係数は基本的に、許容可能な実験誤差の範囲内でミンコフスキーであると仮定します。

この極限では、全エネルギーと運動量の式は次のように自然に現れることがわかる。^[1]線形化された極限では、一般相対論の方程式は次のように書ける。

${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha \nu \beta }=16\pi GT^{\mu \nu }}$

この限界では、システムの全エネルギー運動量は、空間的スライス上で応力テンソルを積分することによって単純に与えられます。

${\displaystyle P^{\mu }=\int T^{\mu 0}d^{3}x}$

しかし、運動方程式を用いると、これを次のように書くこともできる。

${\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x}$

ここで、j 上の和は空間方向のみに適用され、2 番目の等式は がおよびで反対称であるという事実を利用しています。最後に、ガウスの法則を使用して、空間スライス上の発散の積分をガウス球面上の積分に変換します。 ${\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}$

これは、上記で示した全運動量の式と正確に一致します。

1918年、デイヴィト・ヒルベルトはクラインとの書簡の中で、「場」にエネルギーを割り当てることの難しさや「エネルギー定理の破綻」について書いた。この書簡でヒルベルトは、この破綻は一般理論の特徴的な特徴であり、「適切なエネルギー定理」の代わりに「不適切なエネルギー定理」があると推測した。

この予想は、ヒルベルトの側近の一人であるエミー・ネーターによってすぐに正しいことが証明されました。 ネーターの定理は、作用原理によって記述できる任意のシステムに適用されます。ネーターの定理は、保存エネルギーを時間並進対称性と関連付けます。時間並進対称性がポアンカレ群などの有限パラメータ連続群である場合、ネーターの定理は、問題のシステムのスカラー保存エネルギーを定義します。しかし、対称性が無限パラメータ連続群である場合、保存エネルギーの存在は保証されません。同様に、並進の対称群が有限次元である場合、ネーターの定理は保存運動量を空間並進と関連付けます。一般相対性理論は微分同相不変理論であるため、有限パラメータ対称群ではなく無限連続対称群を持ち、したがってエネルギー保存を保証するには間違った群構造を持ちます。ネーターの定理は、一般相対性理論における質量、システムエネルギー、システム運動量に関するさまざまなアイデアのインスピレーションと統一に影響を与えてきました。

ノイマンの定理の応用例として、静止した時空とそれに関連するコマール質量の例があります。(Komar 1959) 一般的な時空には有限パラメータの時間変換対称性がありませんが、静止した時空にはキリング ベクトルと呼ばれるそのような対称性があります。ノイマンの定理は、そのような静止した時空には関連する保存エネルギーがなければならないことを証明しています。この保存エネルギーは、保存質量、コマール質量を定義します。

ADM 質量は、一般相対性理論の初期値定式化から導入されました (Arnowitt 他、1960)。その後、さまざまな著者によって、空間無限大における漸近対称性のグループである SPI グループの観点から再定式化されました (Held、1980)。この再定式化により、ADM 運動量と ADM エネルギーが 4 ベクトルとして変換される理由の説明など、理論の明確化に大きく貢献しました (Held、1980)。SPI グループは実際には無限次元であることに注意してください。保存量が存在するのは、「超変換」の SPI グループに「純粋な」変換の優先 4 パラメータ サブグループがあるためです。これは、ノイマンの定理により、保存された 4 パラメータ エネルギー運動量を生成します。この 4 パラメータ エネルギー運動量のノルムが ADM 質量です。

ボンダイ質量は、重力放射による物理システムの質量損失を研究した論文で導入されました (Bondi、1962)。ボンダイ質量は、漸近対称性のグループ、ヌル無限大におけるBMS グループにも関連付けられています。空間無限大における SPI グループと同様に、ヌル無限大における BMS グループは無限次元であり、また「純粋な」変換の優先 4 パラメータ サブグループも持っています。

一般相対性理論におけるエネルギー問題への別のアプローチは、ランダウ・リフシッツ擬似テンソルなどの擬似テンソルの使用です(Landau and Lifshitz, 1962)。擬似テンソルはゲージ不変ではありません。このため、追加の制約 (漸近平坦性など) が満たされた場合にのみ、全エネルギーに対して一貫したゲージに依存しない答えが得られます。擬似テンソルのゲージ依存性により、ゲージの選択ごとに局所エネルギー密度が異なるため、局所エネルギー密度のゲージに依存しない定義もできなくなります。

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• エネルギーの保存
• コマールミサ
• ホーキングエネルギー
• ADM質量
• 正の質量定理

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• 「一般相対性理論ではエネルギーは保存されるのか？」