反復関数

数学において、反復関数とは、ある関数をそれ自身と 2 回以上合成することによって得られる関数のことです。同じ関数を繰り返し適用する処理を反復と呼びます。この処理では、ある初期オブジェクトから始めて、与えられた関数を適用した結果が再び関数に入力として与えられ、この処理が繰り返されます。

たとえば、右側の画像の場合:

${\displaystyle L=F(K),\ M=F\circ F(K)=F^{2}(K).}$

反復関数は、コンピュータサイエンス、フラクタル、力学システム、数学、および繰り込み群物理学で研究されています。

集合 X上の反復関数の正式な定義は次のとおりです。

X を集合とし、f​​ : X → Xを関数とする。

f ^{n を}fのn番目の反復として定義します（nは非負の整数です） 。 $${\displaystyle f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}}$$$${\displaystyle f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},}$$

ここで、id _{X は}X上の恒等関数であり、( f g )( x ) = f ( g ( x ))は関数合成を表します。この表記法は1813 年にジョン・フレデリック・ウィリアム・ハーシェルによって考案されました。 ^{[1] [2] [3] [4]ハーシェルは}ハンス・ハインリッヒ・ビュルマンにこの記法の功績を認めましたが、ビュルマンの研究を具体的に言及していませんでした。ビュルマンの研究は未発見のままです。^[5] ${\displaystyle \circ }$

f ⁿという表記は関数fの反復（合成）と関数 fの累乗（後者は三角法でよく使われる）の両方を指すことがあるため、一部の数学者^[要出典]は合成の意味を表すために∘ を使用し、関数f ( x )のn回目の反復をf ^{∘ n} ( x )と書きます。たとえば、f ^∘3 ( x ) はf ( f ( f ( x )))を意味します。同じ目的で、ベンジャミン・パースはf ^{[ n ]} ( x )を使用しました^{[6] [4] [nb 1]} 。一方、アルフレッド・プリングシャイムとジュール・モルクは代わりにⁿ f ( x )を提案しました。^{[7] [4] [nb 2]}

一般に、すべての非負整数mとnに対して次の恒等式が成り立つ。

${\displaystyle f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.}$

これは、 a ^m a ⁿ = a ^{m + n}という指数関数の性質と構造的に同一です。

一般に、任意の一般的な（負、非整数など）インデックスmとnに対して、この関係は変換関数方程式と呼ばれます（シュレーダー方程式およびアーベル方程式を参照） 。対数スケールでは、これはチェビシェフ多項式の入れ子特性、T _m ( T _n ( x )) = T _{m n} ( x )に簡約されます。これは、 T _n ( x ) = cos( n arccos( x ))であるためです 。

指数関数の性質である ( a ^m ) ⁿ = ( a ⁿ ) ^m = a ^mnと同様に、 ( f ^m ) ⁿ ( x ) = ( f ⁿ ) ^m ( x ) = f ^mn ( x ) という関係 も成り立ちます。

関数f ⁿの列は ピカール列と呼ばれ、^{[8] [9]}シャルル・エミール・ピカールにちなんで名付けられました。

X内の与えられたxに対して、値の シーケンスf ⁿ ( x )はxの軌道と呼ばれます。

ある整数m > 0に対してf ⁿ ( x ) = f ^{n + m} ( x )が成り立つ場合 、その軌道は周期軌道と呼ばれます。与えられたxに対するmの最小の値は、軌道の周期と呼ばれます。点x自体は周期点と呼ばれます。コンピュータサイエンスにおけるサイクル検出問題は、軌道の最初の周期点と軌道の周期を見つける アルゴリズムの問​​題です。

X内の何らかのxに対して x = f ( x )である場合(つまり、xの軌道の周期が1である場合)、x は反復列の不動点と呼ばれます。不動点の集合は、しばしばFix ( f )と表記されます。バナッハの不動点定理やブラウワーの不動点定理など、さまざまな状況で不動点が存在することを保証する不動点定理が数多く存在します。

固定点反復によって生成されるシーケンスの収束を加速するためのいくつかの手法があります。^[10]たとえば、反復固定点に適用されるエイトケン法はステフェンセン法として知られており、2次収束を生成します。

反復すると、縮小して1点に収束する集合が存在することがわかる。このような場合、収束する点は魅力的な固定点と呼ばれる。逆に、反復によって点が1点から発散するように見えることもある。これは不安定な固定点の場合に当てはまる。^[11]

軌道上の点が 1 つ以上の極限に収束する場合、軌道上の累積点の集合は極限集合またはω 極限集合と呼ばれます。

引力と反発力の考え方も同様に一般化できます。反復を、反復処理における小近傍の挙動に応じて、安定集合と不安定集合に分類できます。解析関数の無限合成も参照してください。

他にも制限的な動作が可能です。たとえば、さまようポイントは、離れた場所に移動し、開始した場所の近くにも決して戻ってこないポイントです。

個々の点のダイナミクスではなく、密度分布の発展を考えるとき、限界動作は不変測度によって与えられます。これは、反復を繰り返す際の点群またはダストクラウドの動作として視覚化できます。不変測度は、ルーレ・フロベニウス・ペロン演算子または転送演算子の固有状態であり、固有値 1 に対応します。固有値が小さいほど、不安定で減衰する状態に対応します。

一般に、反復の繰り返しはシフト、転送演算子、およびその随伴演算子に対応するため、クープマン演算子は両方ともシフト空間に対するシフト演算子の作用として解釈できます。有限型のサブシフトの理論は、多くの反復関数、特にカオスにつながる関数に対する一般的な洞察を提供します。

方程式g ⁿ ( x ) = f ( x )が複数の解を持つ場合、概念f ^{1/ n は}注意して使用する必要があります。これは通常、恒等写像の関数根のバベッジの方程式で当てはまります。たとえば、 n = 2およびf ( x ) = 4 x − 6の場合、g ( x ) = 6 − 2 xとg ( x ) = 2 x − 2は両方とも解です。したがって、式f ^1/2 ( x )は、数が複数の代数根を持つのと同じように、一意の関数を表しません。fの定義域を十分に拡張できる場合は、常にfの自明な根が得られます(図を参照)。選択される根は通常、調査中の軌道に属するものです。

関数の分数反復を定義することができます。たとえば、関数fの半反復は、 g ( g ( x )) = f ( x )となる関数gです。^[12]この関数g ( x )は、インデックス表記を使用してf ^1/2 ( x )と記述できます。同様に、f ^1/3 ( x )は、f ^1/3 ( f ^1/3 ( f ^1/3 ( x ))) = f ( x )となるように定義された関数であり、f ^2/3 ( x ) はf ^1/3 ( f ^1/3 ( x ))と等しいと定義されるなど、すべて前述のf ^m ○ f ⁿ = f ^{m + n}という原理に基づいています。この考え方は、反復回数n が連続パラメータ、つまり連続軌道の連続「時間」のようなものになるように一般化できます。^{[13] [14]}

このような場合、そのシステムはフローと呼ばれます(以下の共役に関するセクションを参照)。

関数が全単射である場合（つまり逆関数を持つ場合）、負の反復は関数の逆とその合成に対応します。たとえば、f ⁻¹ ( x ) はfの正規逆であり、f ⁻² ( x )はそれ自身との逆、つまりf ⁻² ( x ) = f ⁻¹ ( f ⁻¹ ( x ))です。分数の負の反復は分数の正の反復と同様に定義されます。たとえば、f ^−1/2 ( x )はf ^−1/2 ( f ^−1/2 ( x )) = f ⁻¹ ( x )となるように定義されます。または、同等に、f ^−1/2 ( f ^1/2 ( x )) = f ⁰ ( x ) = xとなるように定義されます。

固定点を利用して分数反復の級数式を求めるいくつかの方法のうちの1つは次のとおりです。^[15]

1. まず、 f ( a ) = aとなる関数の固定点を決定します。
2. 実数に属するすべてのnに対してf ⁿ ( a ) = a を定義します。これは、ある意味では、分数反復に適用する最も自然な追加条件です。
3. f ⁿ ( x )を固定点aの周りでテイラー級数として展開すると、$${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)\left.{\frac {d}{dx}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+\cdots }$$
4. 拡大する$${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots }$$
5. をf ^k ( a ) = aに代入すると、任意のkに対して、$${\displaystyle f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots }$$
6. 等比数列を利用して項を簡略化すると、f '(a) = 1の特別なケースがあります。$${\displaystyle f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots }$$$${\displaystyle f^{n}(x)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots }$$

この方法は、後者の項がだんだん複雑になるにつれて、非効率的ではありますが、いつまでも続けることができます。より体系的な手順については、次の活用のセクションで概説します。

たとえば、f ( x ) = Cx + Dと設定すると、固定点a = D /(1 − C )が得られるので、上記の式は で終了し、 これは簡単に確認できます。 $${\displaystyle f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,}$$

これをn回実行した場合の値( nが整数でない場合は補間値も) を求めます。 f ( x ) = √ 2 ^xです。固定点はa = f (2) = 2です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}}$

したがって、 x = 1と設定し、f ⁿ (1)を固定小数点値 2 の周囲に展開すると、無限級数になります。 これは、最初の 3 つの項だけを取ると、nが正の場合に小数点 1 桁目まで正確になります。テトレーションも参照してください: f ⁿ (1) = ⁿ √ 2。他の固定小数点a = f (4) = 4を使用すると、級数は発散します。 $${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots }$$

n = −1の場合、この級数は逆関数⁠2を計算する。+直線x/行 2⁠ .

関数f ( x ) = x ^bを固定点 1 の周りで展開すると、 x ^{( b n )} のテイラー級数を1 の周りで展開しただけの級数が得られます。 $${\displaystyle f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,}$$

fとg が2つの反復関数であり、g = h ⁻¹ ○ f ○ hとなる 同相写像 h が存在する場合、fとg は位相的に共役であるといわれます。

明らかに、位相共役性は反復の下でも保持され、g ⁿ  =  h ⁻¹  ○  f ⁿ ○ hとなる。したがって、1つの反復関数系を解くことができれば、すべての位相共役系に対しても解が得られる。たとえば、テント写像はロジスティック写像と位相共役である。特殊なケースとして、 f ( x ) = x  + 1とすると、 g ( x ) = h ⁻¹ ( h ( x ) + 1)の反復は次のように 表される。

g ⁿ ( x ) = h ⁻¹ ( h ( x ) +  n )、任意の関数hに対して。

x = h ⁻¹ ( y ) = ϕ ( y )と代入すると、

g ( ϕ ( y )) = ϕ ( y +1) 、これはアーベル方程式として知られる形式です。

厳密な同相関係が存在しない場合でも、固定点（ここではx = 0、f (0) = 0とする）の近くでは、関数Ψに対するシュレーダー方程式^[16] を解くことができ、 f ( x )は局所的には単なる拡大g ( x ) = f '(0) xと共役になり、

f ( x ) = Ψ ⁻¹ ( f '(0) Ψ( x ))。

したがって、適切な条件（例えば、 f '(0) ≠ 1 ）の下での反復軌道またはフローは、単項式の軌道の共役に相当する。

Ψ ⁻¹ ( f '(0) ⁿ Ψ( x ))、

ここで、この式のnは単純な指数として機能します。関数の反復は乗算に簡約されています。 ただし、ここでは指数nは整数または正である必要はなく、完全な軌道の進化の連続「時間」です。^[17]ピカール数列のモノイド（変換半群を参照）は、完全な連続群に一般化されています。^[18]

この方法（主固有関数Ψ の摂動的な決定、カルマン行列を参照）は、前のセクションのアルゴリズムと同等ですが、実際にはより強力で体系的です。

関数が線形であり、確率行列、つまり行または列の合計が 1 になる行列で記述できる場合、反復システムはマルコフ連鎖と呼ばれます。

カオスマップは数多く存在します。よく知られている反復関数には、マンデルブロ集合や反復関数システムなどがあります。

エルンスト・シュレーダー^[20]は1870年にロジスティック写像の特殊なケース、例えばカオス的なケースf ( x ) = 4 x (1 − x )を解明し、Ψ( x ) = arcsin( √ x ) ²となり、したがってf ⁿ ( x ) = sin(2 ⁿ arcsin( √ x )) ^2となることを明らかにした。

シュレーダーが彼の方法で示した非カオス的なケース、f ( x ) = 2 x (1 − x )は、Ψ( x ) = − ⁠1/2⁠ ln(1 − 2 x )なので、 f ⁿ ( x ) = − ⁠1/2⁠ ((1 − 2 x ) ^{2 n} − 1) .

f が集合に対する群要素の作用である場合、反復関数は自由群に対応します。

ほとんどの関数は、 n番目の反復に対して明示的な一般的な閉形式の式を持っていません。下の表は、そのような式をいくつか示しています^[20]。これらの式はすべて、非整数や負のn、および負でない整数nに対しても有効であることに注意してください。

注: ax ² + bx + cのこれら 2 つの特殊なケースは、閉じた形式の解を持つ唯一のケースです。それぞれb = 2 = – aとb = 4 = – aを選択すると、表の前に説明した非カオス的ロジスティックケースとカオス的ロジスティックケースにさらに簡略化されます。

これらの例のいくつかは、単純な活用によって互いに関連しています。

反復関数は、アルティン・マズールのゼータ関数と転送演算子を使って研究することができます。

コンピュータサイエンスでは、反復関数は再帰関数の特殊なケースとして発生し、ラムダ計算などの幅広いトピックや、コンピュータプログラムの表示的意味論などのより狭いトピックの研究の基礎となります。

反復関数の観点から、 2 つの重要な関数を定義できます。これらは合計です。

${\displaystyle \left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}}$

同等の製品:

${\displaystyle \left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}}$

反復関数の関数微分は、次の再帰式で与えられます。

${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$

反復関数は、 g ( f ( x ))のような複合関数の級数展開で発生します 。

反復速度、またはベータ関数（物理学）を考えると、

${\displaystyle v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}}$

関数fのn^回目の反復については、^[22]

${\displaystyle g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).}$

たとえば、剛体移流の場合、f ( x ) = x + tであれば、v ( x ) = tです。したがって、 g ( x + t ) = exp( t ∂/∂ x ) g ( x )となり、これは単純なシフト演算子による作用です。

逆に、 任意のv ( x )が与えられた場合、上で述べた一般的なアーベル方程式を通してf ( x )を指定することもできます 。

${\displaystyle f(x)=h^{-1}(h(x)+1),}$

どこ

${\displaystyle h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.}$

これは次のことから明らかである。

${\displaystyle f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.}$

連続反復指数tは下付き文字で書かれ、これはリーの有名な連続群の指数実現に相当する。

${\displaystyle e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).}$

初期流速vは、この指数関数的実現が与えられた場合、流れ全体を決定するのに十分であり、これは自動的に並進関数方程式の一般解を提供する。^[23]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.}$

• ギル、ジョン(2017 年 1 月)。「複素関数の無限合成の基本理論入門」コロラド州立大学。