アーベル方程式

アーベル方程式は、ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられた、次のよう な関数方程式の一種である。

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

または

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$。

αが可逆な場合、形式は同等です。hまたはαはfの反復を制御します。

2番目の式は次のように書ける。

${\displaystyle \alpha^{-1}(\alpha(f(x)))=\alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\,.}$

x = α ⁻¹ ( y )とすると、この式は次のように書ける。

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

既知の関数f ( x )に対して、関数α ⁻ 1≡hの関数方程式を解くことが問題となる。α − ¹ (0)=1などの追加要件を満たすことも可能である。

実パラメータsに対する変数変換s ^{α ( x )} = Ψ( x )により、アーベル方程式は有名なシュレーダー方程式Ψ ( f ( x )) = s  Ψ( x )に変換されます。

さらに、F ( x ) = exp( s ^{α ( x )} )をBöttcher の式F ( f ( x ) ) = F ( x ) ^sに変更します。

アーベル方程式は、平行移動方程式の特殊なケースであり、簡単に一般化できる。^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

例えば、 ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$。 ( ω ( x ,0) = xに注目してください。)

アベル関数α ( x )はさらに、リー移流（1パラメータリー群）の標準座標を提供します。

^{当初は、より一般的な形式[2] [3]}の方程式 が報告されました。単一変数の場合でも、方程式は自明ではなく、特別な解析が可能です。^{[4] [5] [6]}

線形伝達関数の場合、解はコンパクトに表現できる。^[7]

テトレーション方程式は、 f = expであるアーベル方程式の特殊なケースです。

整数引数の場合、この式は再帰的手続きをエンコードする。例えば、

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

等々、

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

アーベル方程式は、すべてのおよびすべてのに対してである場合に限り、に少なくとも1つの解を持ちます。ここで、 はn回反復される関数です。^[8]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f^{n}(x)\neq x}$${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$

解析解（ファトゥ座標）は、放物線状の固定点の周りのセクターにおけるべき級数によって定義された関数の漸近展開によって近似できる。^[9]解析解は定数を除いて一意である。^[10]

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