シェーンフリースの問題

平面上の単純な閉じた多角形曲線が与えられたとき、区分的線形ジョルダン・シェーンフリースの定理によれば、コンパクトな台を持つ平面の区分的線形同相写像が存在し、多角形を三角形に写し取り、一方の内側と外側を他方の内側と外側に写し取る。^{[ 3 ]}

多角形の内部は小さな三角形で三角分割することができ、多角形の辺はいくつかの小さな三角形の辺を形成します。区分的線形同相写像は、平面からひし形を取り除き、区分的アフィン写像を取り、ひし形の辺を固定しつつ、1つの対角線をV字型に移動することによって得られる特別な同相写像から構成できます。この種の同相写像の合成は、コンパクトな台を持つ区分的線形同相写像を生み出します。これらは多角形の外側を固定し、内部の三角分割に対してアフィン的に作用します。簡単な帰納的議論により、境界との交点が1つまたは2つの辺からなる連結集合である自由三角形を取り除くことで、常に単純な閉じたジョルダン多角形を残すことができることがわかります。上記で説明した特別な同相写像またはその逆写像は、自由三角形を取り除いた多角形に、より大きな多角形の内部を写す区分的線形同相写像を提供します。このプロセスを繰り返すと、元の多角形を三角形に写すコンパクトサポートの区分的線形同相写像が存在することがわかる。^{[ 4 ]}

同相写像はコンパクト台を持つ平面の有限個の同相写像を合成することによって得られるため、区分的線形ジョルダン・シェーンフリースの定理の記述における区分的線形同相写像はコンパクト台を持つことになる。

その結果として、単純な閉じた多角形曲線間の同相写像は、それらの内部間の同相写像に拡張されることがわかる。^{[ 5 ]}各多角形に対して、与えられた三角形からその内部の閉包への同相写像が存在する。3 つの同相写像は、三角形の境界の 1 つの同相写像をもたらす。アレクサンダーのトリックにより、この同相写像は、三角形の内部の閉包の同相写像に拡張できる。このプロセスを逆にすると、この同相写像は、多角形曲線の内部の閉包間の同相写像をもたらす。

連続曲線に対するジョルダン・シェーンフリースの定理は、等角写像に関するカラテオドリの定理を用いて証明できる。この定理は、単純なジョルダン曲線の内部と開いた単位円盤との間のリーマン写像が、それらの閉包間の同相写像に連続的に拡張され、ジョルダン曲線を単位円に同相写像することを述べている。^{[ 6 ]}この定理を証明するために、ジョルダン曲線によって定義されるリーマン球面上の 2 つの領域にカラテオドリの定理を適用することができる。これにより、それらの閉包と閉じた円盤 | z | ≤ 1 および | z | ≥ 1 との間に同相写像が得られる。ジョルダン曲線から円への同相写像は、アレクサンダーのトリックによって単位円盤 (またはその補円盤) に拡張できる円の同相写像だけ異なる。この同相写像との合成により、ジョルダン曲線上で一致する一対の同相写像が得られ、それによってジョルダン曲線を単位円に写像するリーマン球面の同相写像が定義される。

連続の場合も、連続曲線を多角形で近似することで多角形の場合から導き出すことができます。^{[ 7 ]}ジョルダン曲線の定理は、この方法で最初に導き出されます。ジョルダン曲線は、単位円上の連続関数で与えられます。この関数と、その像から単位円に戻る逆関数は、一様に連続です。したがって、円を十分に小さな区間に分割すると、隣接する点を結ぶ線分が曲線にεだけ近いような点が曲線上に存在します。これらの線分を合わせると、多角形曲線が形成されます。自己交差がある場合、それらは多角形のループも形成する必要があります。これらのループを消去すると、自己交差のない多角形曲線が得られますが、それでも曲線に近くなります。その頂点のいくつかは曲線上にないかもしれませんが、すべて曲線の近傍にあります。多角形曲線は平面を2つの領域、1つの境界領域Uと1つの境界のない領域Vに分割します。UとV ∪ ∞はどちらも閉じた単位円盤の連続像です。元の曲線は多角形曲線の小さな近傍に含まれているため、わずかに小さい同心円状の開円盤の像の和集合は元の曲線を完全に除外し、その和集合は曲線の小さな近傍を除外します。一方の像は、曲線の巻き数が1 である点からなる有界開集合であり、もう一方は巻き数が 0 である点からなる非有界開集合です。 ε の値が 0 に近づく一連の値に対してこれを繰り返すと、巻き数が 1 である点の開経路連結有界集合の和集合と、巻き数が 0 である開経路連結非有界集合の和集合が得られます。構成上、これら 2 つの互いに素な開経路連結集合は、平面上の曲線の補集合を埋めます。^{[ 8 ]}

ジョルダン曲線定理を用いると、ジョルダン・シェーンフリースの定理は次のように証明できる。^{[ 9 ]}

• 最初のステップは、曲線上の密な点群が曲線の内側からアクセス可能であることを示すことです。つまり、それらの点は曲線の内部に完全に含まれる線分の端点にあるということです。実際、曲線上の任意の点は内部の任意の点に非常に近く、その点を中心とする最小の閉円が存在し、その円は曲線の境界でのみ曲線と交わります。これらの境界点は曲線上の元の点に近く、構成上アクセス可能です。
• 2 番目のステップは、曲線上に有限個のアクセス可能な点A _{i が}あり、その内部の線分A _i B _iに接続されている場合、各線分上に頂点を持つ互いに素な多角形曲線が内部に存在し、それらの曲線と元の曲線との距離が任意に小さくなることを証明することです。これには、2 つのタイルが接する場合に辺または辺のセグメントを共有するような、均一に小さなタイルによる平面のテセレーションが必要です。例としては、標準的な六角形のテセレーション、または共通または伸縮結合を持つ長方形または正方形による標準的なレンガ積みのタイリングがあります。ジョルダン曲線との距離が任意に小さくなるような多角形のパスを構築すれば十分です。タイルのどの辺もA _i B _iと平行にならないようにテセレーションの向きを決めます。タイルのサイズは任意に小さくすることができます。ジョルダン曲線の少なくとも 1 つの点を含むすべての閉じたタイルの和集合を取ります。その境界は互いに重ならない多角形の曲線で構成されています。タイルのサイズが十分に小さい場合、端点B _iは、多角形の境界曲線のうちちょうど 1 つの内部に位置します。ジョルダン曲線までの距離はタイルの直径の 2 倍未満であるため、任意に小さくすることができます。
• 3 番目のステップは、曲線と与えられた三角形の間の任意の同相写像f が、それらの内部の閉包間の同相写像に拡張できることを証明することです。実際、0 に減少する数列 ε ₁、ε ₂、ε ₃ 、... を取ります。ジョルダン曲線 Γ 上に、連続する点の間隔が ε ₁未満となる有限個の点A _{i を選択します。直径が ε 1}未満のタイルを使用して第 2 段階の構成を行い、 A _i B _iと交差する多角形曲線 Γ _{1上の点を}C _iとします。三角形上の点f ( A _i ) を取ります。三角形 Δ に原点を固定し、三角形をスケーリングして、元の三角形からε ₁未満の距離にあるより小さな三角形 Δ ₁を得ます。f ( A _i ) を通る半径とより小さな三角形の交点をD _iとします。多角形曲線からより小さな三角形への区分的線形同相写像F ₁が存在し、C _iをD _iに運びます。ジョルダン・シェーンフリースの定理により、これはそれらの内部の閉包間の同相写像F ₁に拡張されます。次に、ジョルダン曲線上の新しい点の集合を使用して、 ε ₂に対して同じプロセスを実行します。これにより、Γ _{1と Γ の間に 2 番目の多角形パス Γ 2}が生成されます。同様に、 Δ _{1と Δ の間に 2 番目の三角形 Δ 2}があります。Γ 上のアクセス可能な点の線分は、Γ ₂と Γ ₁の間の多角形領域を多角形領域の和集合に分割します。同様に、Δ 上の対応する点の半径は、Δ ₂と Δ ₁の間の領域を多角形領域の和集合に分割します。同相写像F ₁は、共通の辺 (線分または半径上の閉区間) で一致する異なる多角形間の同相写像に拡張できます。多角形のジョルダン・シェーンフリースの定理により、これらの同相写像はそれぞれ多角形の内部に拡張されます。これらを合わせると、Γ ₂の内部の閉包からΔ ₂の内部の閉包への同相写像F ₂が得られる。F _{2 は}F 1_を拡張する。この手順を続けると、多角形曲線 Γ n と三角形 Δ n が生成され、_{それらの内部の閉包の間には同相写像 F n が存在する。F n は F n –} 1_を拡張する。Γ _nの内部領域_はΓ_の内部領域に拡大し、三角形 Δ _{n は}Δ に拡大する。同相写像F _nをつなぎ合わせると、Γ の内部から Δ の内部への同相写像Fが得られる。構成上、境界曲線 Γ と Δ 上ではf の極限値を持つ。したがって、 Fは求める同相写像である。
• 第4段階は、ジョルダン曲線間の任意の同相写像が、それらの内部の閉包間の同相写像に拡張できることを証明することです。第3段階の結果から、三角形の境界の任意の同相写像がその内部の閉包の同相写像に拡張できることを示せば十分です。これはアレクサンダーのトリックの結果です。（アレクサンダーのトリックは、実三角形と閉円盤の間の同相写像も確立します。この同相写像は、三角形をその外心に関して外接円に投影したものの自然な半径方向への拡張に他なりません。）
• 最後のステップは、2 つのジョルダン曲線が与えられたとき、一方の曲線をもう一方の曲線に写すコンパクトサポート平面の同相写像が存在することを証明することです。実際、各ジョルダン曲線は同じ大きな円の中にあり、各大きな円の内部には、曲線に対して対角線上に位置する 2 つの点を結ぶ半径があります。各構成は、平面を大きな円の外側、ジョルダン曲線の内部、および 2 つの間の領域を、ジョルダン曲線 (2 つの半径、半円、およびジョルダン曲線の半分のいずれかで構成) によって境界付けられた 2 つの境界領域に分割します。大きな円の恒等同相写像、2 つの半径のペア間の区分的線形同相写像、および線形再パラメータ化によって与えられるジョルダン曲線の 2 つの半分のペア間の同相写像を取ります。4 つの同相写像は境界弧上でパッチワークされ、大きな円の恒等写像によって与えられ、一方のジョルダン曲線をもう一方のジョルダン曲線に写す平面の同相写像が得られます。

滑らかな場合の証明は、曲線の内部/外部と閉じた単位円盤（または拡張平面におけるその補集合）との間の微分同相写像を見つけることに依存します。これは、例えば滑らかなリーマン写像定理を使用することで解決できます。これには、曲線上のディリクレ問題やベルグマン核など、いくつかの直接的な方法があります。^{[ 10 ]}（このような微分同相写像は、曲線の内部と外部で正則になります。より一般的な微分同相写像は、ベクトル場と流れを使用してより簡単に構成できます。）滑らかな曲線が拡張平面または2-球面内にあるとみなすと、これらの解析的方法は、滑らかな曲線の内部/外部の閉包と単位円の内部/外部の閉包との境界まで滑らかな写像を生成します。滑らかな曲線と単位円の2つの同一視は、単位円の微分同相写像によって異なります。一方、単位円の微分同相写像f は、アレクサンダー拡張によって単位円盤の微分同相写像Fに拡張することができる。

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\theta })=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

ここで、ψは [0,1] の範囲の値をとる滑らかな関数であり、0 付近では 0、1 付近では 1 に等しく、f ( e ^{i θ} ) = e ^{ig (θ)}であり、g (θ + 2π) = g (θ) + 2πである。微分同相写像の 1 つを Alexander 拡張と合成することで、2 つの微分同相写像をパッチングして 2 球面の同相写像を得ることができ、これは閉じた単位円盤とその補集合の閉包上の微分同相写像に制限され、元の滑らかな曲線の内部と外部に運ばれる。微分位相の同位性定理^{[ 11 ]}により、同相写像は単位円上で変更することなく、2 球面全体上の微分同相写像に調整できる。この微分同相写像は、Schoenflies 問題の滑らかな解を提供する。

ジョルダン・シェーンフリースの定理は微分位相幾何学を用いて導出できる。実際、これはヒルシュ（1994）で説明されているように、境界を持つ滑らかな向き付けられた2次元多様体の微分同相写像までの分類の直接的な帰結である。実際、滑らかな曲線は2次元球面を2つの部分に分割する。分類により、それぞれが単位円盤と微分同相であり、同位性定理を考慮すると、境界の微分同相写像によって互いに接着される。アレクサンダーのトリックにより、このような微分同相写像は円盤自体にまで拡張される。したがって、滑らかな曲線を単位円に運ぶ2次元球面の微分同相写像が存在する。

一方、微分同相写像は、多角形に対するジョルダン・シェーンフリースの定理と微分位相幾何学の基本的な方法、すなわちベクトル場によって定義される流れを用いて直接構築することもできます。^{[ 12 ]}ジョルダン曲線が滑らかである場合（弧長でパラメータ化されている場合）、単位法線ベクトルは、曲線の管状近傍U ₀においてゼロでないベクトル場X ₀を与えます。曲線の境界に近く、曲線に横断する曲線の内部にある多角形曲線を取ります（頂点では、ベクトル場は辺によって形成される角度内に厳密に収まる必要があります）。区分的線形ジョルダン・シェーンフリースの定理により、多角形の内部の適切な三角形分割上でアフィンな区分的線形同相写像が存在し、多角形を三角形に写します。三角形分割の小さな三角形の 1 つの内部点Pを取ります。これは、イメージ三角形内の点Qに対応します。イメージ三角形上には、 Qに向かう直線で構成される放射状ベクトル場があります。これにより、多角形を構成する小さな三角形の中に一連の線ができます。それぞれの線は、三角形の閉包の近傍U _i上のベクトル場X _iを定義します。各ベクトル場は、三角形分割内の有限個の辺のいずれとも共線にならないようにQ を「一般位置」で選択すれば、辺に横断します。必要に応じて平行移動することで、 PとQ が原点 0 にあると仮定できます。Pを含む三角形では、ベクトル場は標準的な放射状ベクトル場とみなすことができます。同様に、メビウス変換を適用して平面の有限部分にマッピングし、∞ を 0 にマッピングした後、同じ手順を滑らかな曲線の外側にも適用できます。この場合、三角形の近傍U _iは負のインデックスを持ちます。負の符号を持つベクトル場X _iを取り、無限遠点から離れる方向を向いているものとします。U 0とi ≠ 0 のU _iは、₂次元球面の開被覆を形成します。被覆U _iに従属する滑らかな単位分割ψ _iを取り、

${\displaystyle \displaystyle {X=\sum \psi _{i}\cdot X_{i}.}}$

Xは 2 つの球面上の滑らかなベクトル場であり、0 と ∞ でのみゼロになります。0 では指数 1、∞ では -1 を持ちます。0 の近くでは、ベクトル場は 0 に向かう動径ベクトル場と等しくなります。α _{t が}Xによって定義される滑らかな流れである場合、点 0 は吸引点、∞ は反発点です。t が +∞ に近づくと、流れは点を 0 に送ります。一方、t が–∞ に近づくと、点は ∞ に送られます。Xを滑らかな正の関数f ⋅ Xに置き換えると、 Xの積分曲線のパラメーター化は変わりますが、積分曲線自体は変わりません。0の近くの小さな環状領域の外側でfを1 に適切に選択すると、滑らかな曲線の点から始まる積分曲線はすべて、同じ時刻sで環状領域を囲む小さな円に到達します。したがって、微分同相写像 α _{s は}滑らかな曲線をこの小さな円に運びます。 0と∞を固定するスケーリング変換によって、小さな円を単位円上に写像する。これらの微分同相写像を合成すると、滑らかな曲線を単位円上に写像する微分同相写像が得られる。