超特異楕円曲線

代数幾何学において、超特異楕円曲線は、異常に大きな自己準同型環を持つ、特性p  > 0の体上の特定のクラスの楕円曲線を形成します。このような体上の超特異でない楕円曲線は通常の楕円曲線と呼ばれ、これらの 2 つのクラスの楕円曲線は多くの点で根本的に異なる動作をします。Hasse (1936) は、楕円曲線のリーマン予想に関する研究中に、正特性楕円曲線が異常に大きな階数 4 の自己準同型環を持つ可能性があることを観察することによって超特異楕円曲線を発見し、Deuring (1941) がその基礎理論を展開しました。

「超特異」という用語は曲線の特異点とは何の関係もなく、すべての超特異楕円曲線は非特異です。これは、複素楕円曲線が複素乗算を持つj 不変量の値に対して使用される「 j 不変量の特異値」というフレーズに由来しています。複素乗算を持つ複素楕円曲線は、自己準同型環が最大階数 2 を持つものです。正の特性では、自己準同型環がさらに大きくなる可能性があり、次元 4 の四元数代数の順序になる可能性があり、その場合、楕円曲線は超特異です。

整数上で定義された楕円曲線がp を法として簡約されたときに超特異になる場合、p はその特定の楕円曲線に対して超特異素数であると言います。 「超特異素数」には別の意味もあります。つまり、特性pのすべての超特異楕円曲線が素数部分体上で定義できるような素数p は、超特異素数と呼ばれます。このような素数は 15 個しかありません。 ${\displaystyle F_{p}}$${\displaystyle F_{p^{m}}}$

超特異楕円曲線を定義する方法は、多種多様ですが同等な方法が使用されています。それらの定義方法のいくつかを以下に示します。を代数閉包を持つ体とし、E をK上の楕円曲線とします。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$

• 値を持つ点はアーベル群の構造を持ちます。任意のnに対して、乗法写像が存在します。その核は で表されます。ここで、 Kの特性がp > 0であると仮定します。 すると、次のいずれかが示されます。${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle E({\overline {K}})}$${\displaystyle [n]:E\to E}$${\displaystyle E[n]}$

${\displaystyle E[p^{r}]({\overline {K}})\cong {\begin{cases}0&{\mbox{or}}\\\mathbb {Z} /p^{r}\mathbb {Z} \end{cases}}}$

r = 1, 2, 3, ... の場合、Eは超特異と呼ばれます。それ以外の場合は通常と呼ばれます。言い換えると、楕円曲線は、位数pの幾何学的点の群が自明である場合に限り、超特異です。

• 超特異楕円曲線は代数閉包上の多くの自己準同型性を持ち、楕円曲線が超特異であるための必要十分条件は、その自己準同型代数 ( 上) が四元数代数の位数である場合である。したがって、その自己準同型代数 ( 上)は階数 4 であるが、他のすべての楕円曲線の自己準同型群は階数 1 または 2 のみである。超特異楕円曲線の自己準同型環は階数 4 未満になる可能性があり、自己準同型環の階数を 4 にするには基本体Kの有限拡大を取る必要があるかもしれない。特に、楕円曲線が超特異であっても、素数位数の体上の楕円曲線の自己準同型環は階数 4 になることはない。${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle {\overline {K}}}$
• G をEに関連付けられた 形式群とします。K は正の特性を持つため、その高さht( G )を定義できます。これは、E が超特異である場合に限り 2 で、そうでない場合は 1 です。
• フロベニウス写像 があり、これはコホモロジーにおける写像を誘導する。${\displaystyle F:E\to E}$

${\displaystyle F^{*}:H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})\to H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E} )}$。

楕円曲線Eが超特異曲線となるのは、0 に等しい場合のみです。${\displaystyle F^{*}}$

• 我々はVerschiebung演算子 を持っており、これは大域1形式上の写像を誘導する。${\displaystyle V:E\to E}$

${\displaystyle V^{*}:H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})\to H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})}$。

楕円曲線Eが超特異曲線となるのは、0 に等しい場合のみです。${\displaystyle V^{*}}$

• 楕円曲線は、ハッセ不変量が 0 である場合にのみ、超特異曲線となります。
• 楕円曲線が超特異曲線となるのは、位数pの点の群スキームが連結されている場合のみです。
• 楕円曲線が超特異曲線となるのは、フロベニウス写像の双対が純粋に分離不可能な場合のみです。
• 楕円曲線が超特異となるのは、「pによる乗算」写像が純粋に分離不可能であり、曲線のj不変量が位数p ²の有限体Kの素体への二次拡大内にある場合のみです。
• Eがルジャンドル形式で、方程式 で定義され、p が奇数であるとします。すると に対して、Eが超特異となるのは、${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$${\displaystyle \lambda \neq 0,1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}\lambda ^{i}}$

は消える。この公式を使うと、 K上の超特異楕円曲線は（同型を除いて）有限個しかないことが示される。${\displaystyle n=(p-1)/2}$

• E が同次 3 次多項式f ( x , y , z ) によって与えられる射影平面上の 3 次曲線であるとします。このとき、f p ^{–1における}( xyz ) ^{p –1}の係数が 0 である場合に限り、E は超特異曲線となります。
• 体K がq位の有限体である場合、 K上の楕円曲線が超特異曲線となるのは、 q冪フロベニウス自己準同型のトレースがpを法としてゼロに合同である場合に限ります。

q = pが 3 より大きい素数の場合、これはフロベニウスのトレースが 0 に等しいことと同等です (ハッセ境界により)。これはp =2 または 3の場合には当てはまりません。

• Kが標数2の体である場合、次の式で定義されるすべての曲線は

${\displaystyle y^{2}+a_{3}y=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

₃がゼロでないものは超特異楕円曲線であり、逆にすべての超特異曲線はこの形式の曲線と同型である (Washington2003、p. 122 を参照)。

• 2元体上の任意の超特異楕円曲線は、超特異楕円曲線のちょうど1つと同型である。

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x}$

1、3、5 点の場合。これは、異なる数の点を持つ素体上の超特異楕円曲線の例を示します。

• 標数2の代数閉体上には（同型性を除いて）ちょうど1つの超特異楕円曲線が存在し、それは次のように与えられる。

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}}$、

j不変量は0 である。その自己準同型環は、2 つの自己同型とによって生成されるフルヴィッツ四元数の環である。ここでは 1 の原始立方根である。その自己同型群は、フルヴィッツ四元数の単位群であり、位数は 24 で、四元数群と同型の位数 8 の正規部分群を含み、2 元四面体群である。${\displaystyle x\rightarrow x\omega }$${\displaystyle y\rightarrow y+x+\omega ,x\rightarrow x+1}$${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0}$

• Kが標数3の体である場合、次の式で定義されるすべての曲線は

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

₄がゼロでないものは超特異楕円曲線であり、逆にすべての超特異曲線はこの形式の曲線と同型である (Washington2003、p. 122 を参照)。

• 3元体上の任意の超特異楕円曲線は、次の超特異楕円曲線のちょうど1つと同型である。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+1}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+2}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$

• 標数3の代数的に閉じた体上には（同型を除いて）ちょうど1つの超特異楕円曲線が存在し、それは次のように与えられる。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$、

j は0で不変です。その自己準同型環は、aとb がアイゼンシュタイン整数であるa + bjの形式の四元数環です。2 つの自己同型とによって生成されます。ここで、i は1 の原始 4 乗根です。その自己同型群はこれらの四元数の単位群であり、位数が 12 で、位数が 3 の正規部分群と、その商が位数が 4 の巡回群であるものを含みます。 ${\displaystyle x\rightarrow x+1}$${\displaystyle y\rightarrow iy,x\rightarrow -x}$

• p>3 の場合、 j不変量 0で定義される楕円曲線が超特異曲線となるのは、次の場合のみであり、 j不変量 1728で定義される楕円曲線が超特異曲線となるのは、次の場合のみである (Washington2003、4.35 を参照)。${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+1}$${\displaystyle p\equiv 2{\text{(mod 3)}}}$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$${\displaystyle p\equiv 3{\text{(mod 4)}}}$
• によって与えられる楕円曲線は、に対して特異ではない。これは p = 23 に対して超特異であり、他のすべての場合には通常特異である(Hartshorne1977、4.23.6 を参照)。${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x+2)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p\neq 2,3}$${\displaystyle p\leq 73}$
• モジュラー曲線 X 0 ₍ 11)はj不変量 −2 ¹² 11 ⁻⁵ 31 ³を持ち、曲線y ² + y = x ³ − x ² − 10 x − 20 と同型である。これが超特異となる素数p は、 η(τ) ² η(11τ) ^{2における}q ^pの係数がp を法としてゼロになる素数であり、次のリストで与えられる。

2、19、29、199、569、809、1289、1439、2539、3319、3559、3919、5519、9419、9539、9929、... OEIS : A006962

• 有理数上の楕円曲線に複素乗法がある場合、それが超特異である素数集合の密度は 1/2 になります。複素乗法がない場合、それが超特異である素数集合の密度は 0 になることをセールは示しました。エルキーズ (1987) は、有理数上に定義された楕円曲線は、無限個の素数に対して超特異であることを示しました。

それぞれの正の特性に対して、超特異楕円曲線のj不変量は有限個しか存在しません。代数的に閉じた体K上では、楕円曲線はそのj不変量によって決定されるため、超特異楕円曲線は有限個しか存在しません。このような曲線のそれぞれに 1/|Aut( E )| の重みが付けられている場合、超特異曲線の合計の重みは ( p –1)/24 です。楕円曲線は、 j不変量が 0 または 1728 でない限り、次数 2 の自己同型群を持つため、超特異楕円曲線は次のように分類されます。自己同型群の位数が 2 である超特異楕円曲線はちょうど ⌊ p /12⌋ 個存在します。さらに、 p ≡3 mod 4の場合、自己同型群が巡回または位数が 4 である ( p =3 の場合は位数が 12 である) 超特異楕円曲線 (j 不変量 1728) が存在し、p =3 の場合は位数が 12 である。また、p ≡2 mod 3 の場合、自己同型群が巡回または位数が 6 である (p =2 の場合は位数が 24 である)超特異楕円曲線 ( j不変量 0)が存在し、 p =2 の場合は位数が 24 である。

Birch & Kuyk (1975) は、307 までの素数に対する超特異曲線のすべてのj不変量の表を示しています。最初のいくつかの素数については、超特異楕円曲線は次のように与えられます。0 または 1728 以外の j の超特異値の数は、(p−1)/12 の整数部分です。

p < 37のすべての素数は、特性pのすべての超特異楕円曲線が、より大きなではなく素数部分体上で定義できるという意味で、超特異です。素数 37 は、この意味で超特異ではない最初の素数です。これが、j不変量が (有理) 整数ではない超特異楕円曲線を持つ最初の素数である理由です。 ${\displaystyle F_{p}}$${\displaystyle F_{p^{m}}}$${\displaystyle m}$

• 超特異素数（代数的整数論）
• 超特異素数（ムーンシャイン理論）
• 超特異多様体

• Birch, BJ ; Kuyk, W. 編 (1975)、「表 6」、1 変数のモジュラー関数。IV、数学講義ノート、第 476 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 142–144、doi :10.1007/BFb0097591、ISBN 978-3-540-07392-5、MR  0376533、Zbl  0315.14014
• Deuring、Max (1941)、「Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper」、Abh。数学。セム。大学ハンブルク、14 : 197–272、土井:10.1007/BF02940746、MR  0005125
• エルキーズ、ノアム D. (1987)、「Q 上のすべての楕円曲線に対する無限個の超特異素数の存在」、Inventiones Mathematicae、89 (3): 561–567、doi :10.1007/BF01388985、ISSN  0020-9910、MR  0903384、Zbl  0631.14024
• ロビン・ハーツホーン（1977）、代数幾何学、シュプリンガー。ISBN 1-4419-2807-3 
• Hasse (1936)、「Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung.」J. レーヌ・アンジェウ数学。、175 : 55–62、69–88、193–208
• ジョセフ・H・シルバーマン（2009年）『楕円曲線の算術』Springer。ISBN 0-387-09493-8 
• ローレンス・C・ワシントン（2003）『楕円曲線』、チャップマン＆ホール。ISBN 1-58488-365-0