Loading article…
数学において、加法定理とは、指数関数に対する次のような公式のことである。
- e x + y = e x · e y、
これは、特定の関数 fについて、f ( x + y ) をf ( x ) とf ( y )で表したものです。もう少し一般的には、三角関数 sinとcosの場合のように、複数の関数が関係することがあります。その場合、cos はsinの代数関数であるため、これは実際よりも明白です(言い換えると、通常、両方の関数を単位円上で定義されているものとしてとらえます)。
加法定理の考え方の範囲は、楕円関数の加法定理の発見に促されて、19世紀に完全に探求されました。加法定理を「分類」するには、関数Gの種類に次のような制限を課す必要があります。
- F ( x + y ) = G ( F ( x )、F ( y ))。
この恒等式では、 FとG はベクトル値（複数の成分を持つ）であると仮定できます。代数的加法定理は、G をある変数セット内の多項式のベクトルと見なすことができる定理です。当時の数学者の結論は、アーベル関数の理論は本質的に興味深い可能性を使い尽くしたというものでした。つまり、多項式、または実際には有理関数や代数関数で解くべき関数方程式として考えた場合、それ以上の種類の解は存在しないということです。
より現代的な言葉で言えば、これは可換群を扱う代数群の理論の一部として現れる。連結な射影多様体の例は、群法則に対するかなり弱い条件によってアーベル多様体を特徴付けるいくつかの結果によって示されるように、確かにアーベル関数によって尽きている。いわゆる準アーベル関数はすべて、可換アフィン群多様体によるアーベル多様体の拡張から生じることが知られている。したがって、大域的代数加法定理のスコープに関する古い結論は成り立つと言える。より現代的な側面は、形式群の理論である。