フォッカー・プランク方程式

統計力学および情報理論において、フォッカー・プランク方程式は、ブラウン運動のように、抗力およびランダム力の影響下にある粒子の位置または速度の確率密度関数の時間発展を記述する偏微分方程式です。この方程式は、他の観測量にも一般化できます。^{[ 1 ]}フォッカー・プランク方程式は、情報理論、グラフ理論、データサイエンス、金融、経済学など、さまざまな分野で応用されています。

これは、1914 年と 1917 年にそれを記述したアドリアン・フォッカーとマックス・プランクにちなんで名付けられました。 ^{[ 2 ] [ 3 ]} また、1931 年に独立に発見したアンドレイ・コルモゴロフにちなんで、コルモゴロフ前進方程式としても知られています。 ^{[ 4 ]}粒子の位置分布に適用される場合、マリアン・スモルコフスキーにちなんでスモルコフスキー方程式としてよく知られており、^{[ 5 ]}この文脈では、対流拡散方程式と同等です。粒子の位置と運動量の分布に適用される場合、クライン・クラマース方程式として知られています。拡散がゼロの場合は、連続方程式です。フォッカー・プランク方程式は、クラマース・モヤル展開によってマスター方程式から得られます。^{[ 6 ]}

古典力学と量子力学の単一の枠組みにおけるフォッカー・プランク方程式の最初の一貫した微視的導出は、ニコライ・ボゴリューボフとニコライ・クリロフによって行われた。^{[ 7 ] [ 8 ]}

1次元空間xにおいて、標準ウィーナー過程によって駆動される伊藤過程の場合${\displaystyle W_{t}}$そして確率微分方程式（SDE） によって記述される$${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$$

ドリフト付き${\displaystyle \mu (X_{t},t)}$ and diffusion coefficient ${\displaystyle D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2}$, the Fokker–Planck equation for the probability density ${\displaystyle p(x,t)}$ of the random variable${\displaystyle X_{t}}$ is ^[9]

The Fokker–Planck equation is used with problems where the initial distribution is known. If, instead, a final point is fixed, the Feynman–Kac formula can be used to calculate expectation values such as mean first-passage times, which is a consequence of the Kolmogorov backward equation. If the problem is to know the distribution at previous times, starting from a known distribution at later times, a reverse-time Fokker-Planck equation can be constructed.^[11]

The stochastic process defined above in the Itô sense can be rewritten within the Stratonovich convention as a Stratonovich SDE: $${\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.}$$ It includes an added noise-induced drift term due to diffusion gradient effects if the noise is state-dependent. This convention is more often used in physical applications. Indeed, it is well known that any solution to the Stratonovich SDE is a solution to the Itô SDE.

The zero-drift equation with constant diffusion can be considered as a model of classical Brownian motion: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[p(x,t)\right].}$$

This model has discrete spectrum of solutions if the condition of fixed boundaries is added for ${\displaystyle \{0\leq x\leq L\}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(0,t)&=p(L,t)=0,\\p(x,0)&=p_{0}(x).\end{aligned}}}$$

It has been shown^[12] that in this case an analytical spectrum of solutions allows deriving a local uncertainty relation for the coordinate-velocity phase volume: $${\displaystyle \Delta x\,\Delta v\geq D_{0}.}$$ Here ${\displaystyle D_{0}}$対応する拡散スペクトルの最小値である${\displaystyle D_{j}}$、 その間${\displaystyle \Delta x}$そして${\displaystyle \Delta v}$座標と速度の定義における不確実性を表す。

より一般的に言えば、

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)}$N次元ベクトルであり、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)}$は${\displaystyle N\times M}$行列と${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$M次元標準ウィーナー過程の確率密度関数は${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$のために${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$フォッカー・プランク方程式を満たす

ドリフトベクトル付き${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})}$拡散テンソル${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$つまり$${\displaystyle D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).}$$

伊藤SDEの代わりにストラトノビッチSDEを考慮すると、

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},}$$

フォッカー・プランク方程式は次のようになる。^{[ 10 ]： 129}

$${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}}$$

一般に、フォッカー・プランク方程式は、一般的なコルモゴロフ前進方程式の特殊な場合である。

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$$

ここで線形演算子${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$は、マルコフ過程の無限小生成子のエルミート随伴である。^{[ 13 ]}

外部力を受ける過減衰ブラウン粒子を考える${\displaystyle F(r)}$: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$ どこで${\displaystyle m{\ddot {r}}}$項は無視できる（「過減衰」の意味）。したがって、それは単に${\displaystyle \gamma \,dr=F(r)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$この粒子に対するフォッカー・プランク方程式は、スモルコフスキー拡散方程式である。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left[D\left(\nabla -\beta F(r)\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})\right]}$$ どこ${\displaystyle D}$は拡散定数であり、${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$この方程式の重要な点は、粒子系に対する温度の影響と、空間的に依存する拡散定数の両方を考慮に入れることができる点にある。

フォッカー・プランク方程式からスモルコフスキー方程式を導出する

外部場中のブラウン粒子のランジュバン方程式から始める${\displaystyle F(r)}$、 どこ${\displaystyle \gamma }$摩擦項は、${\displaystyle \xi }$粒子に作用する変動力であり、${\displaystyle \sigma }$これは変動の振幅です。

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$

平衡状態では摩擦力は慣性力よりもはるかに大きい。${\displaystyle \left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert \gg \left\vert m{\ddot {r}}\right\vert }$したがって、ランジュバン方程式は次のようになる。

$${\displaystyle \gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t),}$$

これにより、以下のフォッカー・プランク方程式が生成されます。

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\left(\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0}).}$$

フォッカー・プランク方程式を整理すると、

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

どこ${\displaystyle D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}}$。ただし、拡散係数は必ずしも空間的に独立しているとは限らないことに注意してください。${\displaystyle \sigma }$または${\displaystyle \gamma }$空間的に依存している。

次に、特定の体積内の粒子の総数は次のように表されます。

$${\displaystyle N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}drP(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

したがって、粒子のフラックスは、与えられた体積内の粒子の数の時間微分を取り、フォッカー・プランク方程式に代入し、ガウスの定理を適用することによって決定できます。

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}dV\,\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\int _{\partial V}\,d\mathbf {a} \cdot j(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

$${\displaystyle j(r,t\mid r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

平衡状態では、フラックスはゼロになると仮定される。したがって、ボルツマン統計は、平衡状態における粒子の位置の確率に適用でき、${\displaystyle F(r)=-\nabla U(r)}$は保存力であり、粒子が状態にある確率は${\displaystyle r}$次のように与えられます${\displaystyle P(r,t\mid r_{0},t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}}$。

$${\displaystyle j(r,t\mid r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right){\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla D=F(r)\left({\frac {1}{\gamma }}-D\beta \right)}$$

この関係はゆらぎ散逸定理の実現である。${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$に${\displaystyle DP(r,t|r_{0},t_{0})}$そして、ゆらぎ散逸定理を用いて、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla DP(r,t\mid r_{0},t_{0})&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t\mid r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D\\&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t\mid r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t\mid r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t\mid r_{0},t_{0})D\beta F(r)\end{aligned}}}$$

再配置、

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

したがって、フォッカー・プランク方程式はスモルコフスキー方程式となり、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

任意の力に対して${\displaystyle F(r)}$。

Brownian motion follows the Langevin equation, which can be solved for many different stochastic forcings with results being averaged (canonical ensemble in molecular dynamics). However, instead of this computationally intensive approach, one can use the Fokker–Planck equation and consider the probability ${\displaystyle p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$ of the particle having a velocity in the interval ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$ when it starts its motion with ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ at time 0.

偏微分方程式であるフォッカー・プランク方程式は、特殊な場合にのみ解析的に解くことができます。フォッカー・プランク方程式とシュレーディンガー方程式の形式的な類似性により、量子力学で知られている高度な演算子法を多くのケースで用いることができます。さらに、フォッカー・プランク方程式がすべての空間変数に関して2階偏微分を含む過減衰ダイナミクスの場合、方程式は容易に数値的に解けるマスター方程式の形で記述できます。 ^{[ 19 ]} 多くの応用では、定常状態の確率分布のみに関心があります。${\displaystyle p_{0}(x)}$これは以下から見つけることができます${\textstyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$平均初回通過時間と分裂確率の計算は、フォッカー・プランク方程式と密接に関連する常微分方程式の解に帰着させることができる。

オプションのボラティリティスマイルモデリングにおける数理ファイナンスでは、局所ボラティリティを介して拡散係数を導出するという問題がある。${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$市場オプション価格から得られる確率密度と一致する。したがって、この問題はフォッカー・プランク方程式の逆問題である。オプション市場から導出されたXの原資産オプションの密度f(x,t)が与えられた場合、局所的なボラティリティを求めることを目指す。${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$fと一致する。これは、一般的には Dupire (1994, 1997) によって非パラメトリック解で解決された逆問題である。 ^{[ 20 ] [ 21 ]} Brigo と Mercurio (2002, 2003) は、特定の局所的変動性を介してパラメトリック形式での解を提案している。${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$混合モデルによって与えられるフォッカー・プランク方程式の解と一致する。^{[ 22 ] [ 23 ]}詳細は、Fengler (2008) ^{[ 24 ]} 、 Gatheral (2008) ^{[ 25 ] 、および Musiela と Rutkowski (2008) [ 26 ]}にも記載されている。

すべてのフォッカー・プランク方程式は経路積分に相当します。経路積分の定式化は、場の理論的手法を適用するための優れた出発点となります。^{[ 27 ]}これは、例えば臨界力学で使用されます。

経路積分の導出は、量子力学の場合と同様の方法で可能である。1変数のフォッカー・プランク方程式の導出は以下のとおりである。${\displaystyle x}$手順は以下のとおりです。まずデルタ関数を挿入し、部分積分を行います。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p{\left(x',t\right)}&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\left(D_{1}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta {\left(x'-x\right)}\right]p(x,t).\end{aligned}}}$$

の${\displaystyle x}$-ここでのデリバティブは、${\displaystyle \delta }$-関数、オンではありません${\displaystyle p(x,t)}$時間間隔にわたって積分する${\displaystyle \varepsilon }$、

$${\displaystyle p(x',t{+}\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,dx\left[\left(1+\varepsilon D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+\varepsilon D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta (x'-x)\right]p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).}$$

フーリエ積分を挿入する

$${\displaystyle \delta {\left(x'-x\right)}=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}{\left(x-x'\right)}}}$$

のために${\displaystyle \delta }$-関数、

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x',t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x')}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x'-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}}$$

この方程式は${\displaystyle p(x',t{+}\varepsilon )}$機能として${\displaystyle p(x,t)}$反復処理${\displaystyle (t'-t)/\varepsilon }$回数と限界の実行${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$作用を伴う経路積分を与える

$${\displaystyle S=\int dt\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].}$$

変数${\displaystyle {\tilde {x}}}$共役${\displaystyle x}$これらは「応答変数」と呼ばれます。^{[ 28 ]}

形式的には同等であるものの、フォッカー・プランク方程式または経路積分定式化では、異なる問題がより容易に解決できる場合がある。例えば、平衡分布はフォッカー・プランク方程式からより直接的に得られる。

• Frank, Till Daniel (2005).非線形フォッカー・プランク方程式：基礎と応用. Springer Series in Synergetics. Springer. ISBN 3-540-21264-7。
• ガーディナー、クリスピン（2009）。確率的方法（第4 版）。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-70712-7。
• パヴリオティス、グリゴリオス A. (2014).確率過程とその応用：拡散過程、フォッカー・プランク方程式、ランジュバン方程式. Springer Texts in Applied Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4939-1322-0。
• Risken, Hannes (1996).フォッカー・プランク方程式：解法と応用. Springer Series in Synergetics (第2 版). Springer. ISBN 3-540-61530-X。