ゆらぎ散逸定理

例えば、アルバート・アインシュタインは1905年のブラウン運動に関する論文の中で、ブラウン運動する粒子の不規則な動きを引き起こすのと同じランダムな力が、粒子が流体中を引っ張られる場合にも抵抗を引き起こすと指摘した。言い換えれば、静止状態にある粒子の変動は、系を特定の方向に摂動させようとする際に、それに抗して仕事をしなければならない散逸摩擦力と同じ起源を持つのである。

この観察から、アインシュタインは統計力学を用いてアインシュタイン＝スモルコフスキーの関係式を導き出すことができた。$${\displaystyle D=\mu \,k_{\text{B}}T,}$$ これは拡散定数Dと粒子移動度μ （粒子の終端ドリフト速度と印加力の比）を結びつけるものであり、 k _Bはボルツマン定数、Tは絶対温度である。

1928年、ジョン・B・ジョンソンがジョンソン・ナイキスト雑音を発見し、ハリー・ナイキストがそれを説明した。電流が流れていない場合、平均二乗電圧は抵抗に依存する。${\displaystyle R}$、${\displaystyle k_{\text{B}}T}$帯域幅${\displaystyle \Delta \nu }$電圧が測定される箇所: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \about 4Rk_{\text{B}}T\,\Delta \nu .}$$

この観察結果は、ゆらぎ散逸定理の観点から理解することができる。例えば、抵抗を持つ抵抗器からなる単純な回路を考えてみよう。${\displaystyle R}$そして、小さな静電容量を持つコンデンサ${\displaystyle C}$キルヒホッフの電圧法則は $${\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}},}$$ したがって、この回路の 応答関数は次のようになります。$${\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}.}$$

低周波極限では$\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}$虚数部は単純に $${\displaystyle \operatorname {Im} \left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2},}$$ これは、パワースペクトル密度関数と関連付けることができる。${\displaystyle S_{V}(\omega )}$電圧の変動散逸定理による変化： $$${\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\text{B}}T}{C^{2}\omega }}\operatorname {Im} \left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\text{B}}T.}$$$

ジョンソン・ナイキスト電圧ノイズ${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$狭い周波数帯域内で観測された${\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}$中心となるのは${\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}$したがって $${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\text{B}}T\Delta \nu .}$$

我々は、上記と同じ記法を用いて、ゆらぎ散逸定理を導出する。次のテストケースを考えてみよう。場fは無限時間オンの状態であり、t = 0でオフになる。

$${\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}$$ どこ$\displaystyle \theta (t)$はヘヴィサイド関数です。x の期待値は確率分布W ( x ,0)と遷移確率で表すことができます。${\displaystyle P(x',t|x,0)}$

$${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}$$

確率分布関数W ( x ,0) は平衡分布であり、したがってハミルトニアンに対するボルツマン分布によって与えられる。${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}$

$${\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,}$$ どこ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\text{B}}T}$弱い磁場の場合${\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}$右辺を展開できます

$${\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}$$

ここ${\displaystyle W_{0}(x)}$は場がない場合の平衡分布です。この近似を式に代入すると、${\displaystyle \langle x(t)\rangle }$収量

ここで、A ( t )は場が存在しない場合のxの自己相関関数である。

$${\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}$$

フィールドが存在しない場合、システムは時間シフトに対して不変であることに注意してください。${\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}$システムの感受性を利用して、上記( 1 )を見つける

$${\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}$$

その結果、

周波数依存性について述べるには、（1）のフーリエ変換を行う必要がある。部分積分により、次のことが示される。 $${\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}$$

以来${\displaystyle A(t)}$が実数かつ対称であることから、 $${\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}$$

最後に、定常過程の場合、ウィーナー・ヒンチン定理によれば、両側スペクトル密度は自己相関関数の フーリエ変換に等しい。$${\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}$$

したがって、 $${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}$$

ゆらぎ散逸定理は、対象となる観測量の相関関数を関連付ける。${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$（変動の尺度）応答関数の虚数部${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}$周波数領域（散逸の尺度）において。これらの量間の関係は、いわゆる久保公式^{[ 5 ]によって見出すことができる。}

$${\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }$$

これは、線形応答理論の仮定の下で、観測可能なアンサンブル平均の時間発展から導かれる。${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }$摂動源が存在する場合。フーリエ変換後、久保の公式により、応答関数の虚部を次のように記述できます。

$${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}$$

正準アンサンブルでは、第2項は次のように再表現できる。

$${\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)=\operatorname {Tr} {\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)=\operatorname {Tr} e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }$$

2番目の等式では、${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$トレースの循環性を使用します。次に、3番目の等式に、${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}$トレースの隣にあり、解釈されています${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}$時間発展演算子として${\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}$仮想時間間隔 で${\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }$想像上の時間シフトは${\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}$フーリエ変換後の因子

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}$$

したがって、${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$量子ゆらぎ散逸関係として簡単に書き換えることができる^{[ 6 ]}

$${\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$$

パワースペクトル密度${\displaystyle S_{x}(\omega )}$は自己相関のフーリエ変換である${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$そして${\displaystyle n_{\text{BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}$はボーズ・アインシュタイン分布関数である。同じ計算で、

$${\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}$$

したがって、古典的な場合とは異なり、量子極限ではパワースペクトル密度は厳密には周波数対称ではない。したがって、${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$演算子の交換規則に由来する虚数部を持つ。^{[ 7 ]}追加の「${\displaystyle +1}$「表現における用語」${\displaystyle S_{x}(\omega )}$正の周波数では、自然放出と関連付けられる場合もある。よく引用される結果として、対称化されたパワースペクトル密度も挙げられる。

$${\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}$$

「${\displaystyle +1/2}$「量子ゆらぎ、あるいは観測可能な零点運動と関連していると考えられる」${\displaystyle {\hat {x}}}$十分に高い温度では、${\displaystyle n_{\text{BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}$つまり、量子的な寄与は無視できるほど小さく、古典的なバージョンが再現される。