コルモゴロフ逆方程式（拡散）

コルモゴロフ後退方程式 (KBE) (拡散) とその随伴方程式 (コルモゴロフ前進方程式 (拡散) とも呼ばれる) は、連続時間連続状態マルコフ過程の理論で生じる偏微分方程式(PDE) です。両方とも1931 年にアンドレイ・コルモゴロフによって発表されました。^{[1]後に、前進方程式は物理学者の間では}フォッカー・プランク方程式 という名前ですでに知られていましたが、KBE は新しいものであることがわかりました。

非公式には、コルモゴロフのフォワード方程式は次の問題に対処します。時刻tにおけるシステムの状態xに関する情報(つまり、確率分布) があり、後の時刻 における状態の確率分布を知りたいと考えています。形容詞「フォワード」は、 が初期条件として機能し、PDE が時間的に順方向に積分されるという事実を指します (初期状態が正確にわかっている一般的なケースでは、は既知の初期状態を中心とする ディラックのデルタ関数です)。 ${\displaystyle p_{t}(x)}$${\displaystyle s>t}$${\displaystyle p_{t}(x)}$${\displaystyle p_{t}(x)}$

一方、コルモゴロフの逆方向方程式は、時刻tにおいて、将来の時刻sにシステムが状態の特定のサブセットB (ターゲット セットと呼ばれることもあります) にあるかどうかを知りたい場合に役立ちます。ターゲットは、状態x が時刻sにターゲット セットにある場合は 1、そうでない場合は 0 になる特定の関数によって記述されます。言い換えると、はセットBの指示関数です。時刻 s におけるすべての状態xについて、時刻sにターゲット セットに入る確率(ヒット確率と呼ばれることもあります) を知りたいのです。この場合、 はPDE の最終条件として機能し、 sからtまで時間を遡って積分されます。 ${\displaystyle u_{s}(x)}$${\displaystyle u_{s}(x)=1_{B}}$${\displaystyle t,\ (t<s)}$${\displaystyle u_{s}(x)}$

システムの状態が確率微分方程式に従って進化すると仮定する${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}\,,}$

するとコルモゴロフの逆方程式は^[2]

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=\mu (x,t){\frac {\partial }{\partial x}}p(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,t),}$

に対して、最終条件 を条件とします。これは、に関する伊藤の補題を使用し、項 をゼロに 設定することで導出できます。${\displaystyle t\leq s}$${\displaystyle p(x,s)=u_{s}(x)}$${\displaystyle p(x,t)}$${\displaystyle dt}$

この式は、ヒット確率が時刻における状態から発生するすべてのパスの指標関数の期待値と同じであることに注目することで、ファインマン・カックの公式から導くこともできます。 ${\displaystyle u_{s}(x)=\mathbf {1} _{B}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Pr(X_{s}\in B\mid X_{t}=x)=E[\mathbf {1} _{B}(X_{s})\mid X_{t}=x].}$

歴史的には、KBE ^[1]はファインマン-カック公式（1949）より前に開発されました。

先ほどと同じ表記で、対応するコルモゴロフ順方向方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}p(x,s)=-{\frac {\partial }{\partial x}}[\mu (x,s)p(x,s)]+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}[\sigma ^{2}(x,s)p(x,s)],}$

に対して、初期条件は です。この方程式の詳細については、フォッカー・プランク方程式を参照してください。 ${\displaystyle s\geq t}$${\displaystyle p(x,t)=p_{t}(x)}$

• ファインマン-カック式
• フォッカー・プランク方程式
• コルモゴロフ方程式

• Etheridge, A. (2002). 『金融計算コース』 ケンブリッジ大学出版局。