拡散過程とジャンプ過程 1931年に執筆したアンドレイ・コルモゴロフは 、チャップマン・コルモゴロフ方程式 で記述される離散時間マルコフ過程の理論から出発し、この方程式を拡張することによって連続時間マルコフ過程の理論を導出しようと試みた。彼は、短い時間間隔における想定される挙動に応じて、連続時間マルコフ過程には2種類あることを発見した。
「短い時間間隔では状態が変化しない可能性が非常に高いが、変化する場合はその変化は劇的である可能性がある」[ 1 ] と仮定すると、ジャンプ過程 と呼ばれるものにたどり着きます。
もう一方のケースは、「拡散 やブラウン運動 によって表されるようなプロセス」につながります。そこでは、どんなに短い時間間隔でも何らかの変化が起こることは確実ですが、ここでは、短い時間間隔での変化も小さいことが確実です。[ 1 ]
コルモゴロフは、これら2種類のプロセスそれぞれについて、順方向と逆方向の連立方程式（合計4つ）を導き出した。
連続時間マルコフ連鎖 コルモゴロフによる方程式の元の導出は、有限離散状態空間上の時間連続かつ微分可能なマルコフ過程に対するチャップマン・コルモゴロフ方程式 （コルモゴロフはこれを基本方程式と呼んだ）から始まる。 [ 2 ] P （ x 、 s ; y 、 t ） {\displaystyle P(x,s;y,t)} t > s {\displaystyle t>s} x 、 y ∈ Ω {\displaystyle x,y\in \Omega } t > s 、 t 、 s ∈ R ≥ 0 {\displaystyle t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}} 純粋に不連続なマルコフ過程 の概念から始めて、より一般的な状態空間に対して定式化することで、わずかに異なる条件下で方程式を導出しています。[ 5 ] コルモゴロフ前方方程式 とコルモゴロフ後方方程式 の確率的性質の解の存在を証明しています。 [ 5 ]
可算 状態空間の場合、私 、 j {\displaystyle i,j} x 、 y {\displaystyle x,y} コルモゴロフの順方向方程式 は次のようになる。
∂ P 私 j ∂ t （ s ; t ） = ∑ k P 私 k （ s ; t ） A k j （ t ） {\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)} どこA （ t ） {\displaystyle A(t)} は遷移率行列（ 生成行列 とも呼ばれる）である。
コルモゴロフの逆方程式 は
∂ P 私 j ∂ s （ s ; t ） = − ∑ k P k j （ s ; t ） A 私 k （ s ） {\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)} 機能P 私 j （ s ; t ） {\displaystyle P_{ij}(s;t)} 私 {\displaystyle i} s {\displaystyle s} j {\displaystyle j} t > s {\displaystyle t>s} A 私 j （ t ） {\displaystyle A_{ij}(t)}
A 私 j （ t ） = [ ∂ P 私 j ∂ u （ t ; u ） ] u = t 、 A j k （ t ） ≥ 0 、 j ≠ k 、 ∑ k A j k （ t ） = 0. {\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}
生成関数との関係 離散状態の場合、s = 0 {\displaystyle s=0} 私 {\displaystyle i} コルモゴロフの順方向方程式は 、与えられた量に基づいてプロセスの確率を求める初期値問題を記述する。A j k （ t ） {\displaystyle A_{jk}(t)} p k （ t ） = P 私 k （ 0 ; t ） {\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)} ∑ k p k （ t ） = 1 {\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}
d p k d t （ t ） = ∑ j A j k （ t ） p j （ t ） ; p k （ 0 ） = δ 私 k 、 k = 0 、 1 、 … 。 {\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .} 一定率の純粋な死亡過程の場合、ゼロでない係数はA j 、 j − 1 = μ j 、 j ≥ 1 {\displaystyle A_{j,j-1}=\mu _{j},\ j\geq 1}
Ψ （ x 、 t ） = ∑ k x k p k （ t ） 、 {\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad } この場合、連立方程式は偏微分方程式 として書き換えることができる。Ψ （ x 、 t ） {\displaystyle {\Psi }(x,t)} 初期条件 付きΨ （ x 、 0 ） = x 私 {\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}} [ 6 ]
∂ Ψ ∂ t （ x 、 t ） = μ （ 1 − x ） ∂ Ψ ∂ x （ x 、 t ） ; Ψ （ x 、 0 ） = x 私 、 Ψ （ 1 、 t ） = 1. {\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}
生物学からの例 生物学からの例を以下に示します。[ 7 ]
p n ′ （ t ） = （ n − 1 ） β p n − 1 （ t ） − n β p n （ t ） {\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)} この方程式は、出生による人口増加をモデル化するために適用される。n {\displaystyle n} β {\displaystyle \beta } 出生率 であり、最後にp n （ t ） = 教授 （ N （ t ） = n ） {\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)} 人口規模を達成する 確率 。
解析解は次のとおりです。[ 7 ]
p n （ t ） = （ n − 1 ） β e − n β t ∫ 0 t p n − 1 （ s ） e n β s d s {\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s} これは確率の公式ですp n （ t ） {\displaystyle p_{n}(t)} p n − 1 （ t ） {\displaystyle p_{n-1}(t)}
参考文献 1 2 3 Feller, W. (1949). 「確率過程の理論について、特に応用に関して」 . （第 1 回）バークレー数理統計学および確率シンポジウム議事録 . 第 1 巻. カリフォルニア大学出版局. pp. 403–432 . 1 2 コルモゴロフ、アンドレイ (1931)。 「 確率論における分析方法 について 」 。 Mathematische Annalen (ドイツ語)。 104 : 415–458 . 土井 : 10.1007/BF01457949 。 S2CID 119439925 。 ↑ Feller, William (1957). "On Boundaries and Lateral Conditions for the Kolmogorov Differential Equations". Annals of Mathematics . 65 (3): 527–570 . doi : 10.2307/1970064 . JSTOR 1970064 . ↑ 木村元夫 (1957). 「遺伝学における確率過程のいくつかの問題」 . 数理統計学年報 . 28 (4): 882–901 . doi : 10.1214/aoms/1177706791 . JSTOR 2237051 . 1 2 フェラー、ウィリー (1940)「純粋に不連続なマルコフ過程の積分微分方程式について」、アメリカ数学会紀要 、48 (3)、488-515 JSTOR 1990095 ↑ ベイリー、ノーマン TJ (1990)『確率過程の要素と自然科学への応用』 、ワイリー。ISBN 0-471-52368-2 （90ページ） 1 2 Logan, J. David; Wolesensky, William R. (2009). Mathematical Methods in Biology . Pure and Applied Mathematics. John Wiley & Sons. pp. 325–327 . ISBN 978-0-470-52587-6 。
![{\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d21b6bd158d531758cabc6884c4e578084f0575)
