ベルヌーイの原理

非圧縮性流体に対するベルヌーイの式は、ニュートンの運動第二法則を積分するか、粘性、圧縮性、および熱効果を無視してエネルギー保存の法則を適用することによって導出できる。

ニュートンの運動第二法則を積分して導出する

最も簡単な導出方法は、まず重力を無視し、ベンチュリ効果で見られるように、それ以外は直線状のパイプ内の狭窄部と拡張部を考慮することです。x軸はパイプの軸方向に沿っているものとします。

断面積Aのパイプ内を移動する流体の塊を定義します。この塊の長さはd xで、体積はA d xです。質量密度がρの場合、塊の質量は密度に体積を掛けたもので、m = ρA d xとなります。距離d xにおける圧力の変化はd pであり、流速はv = ⁠ d x / d t ⁠です。

ニュートンの運動第二法則（力 ＝質量 ×加速度）を適用し、流体の塊 にかかる有効力が− A d pであることを認識します。圧力がパイプの長さに沿って減少する場合、d pは負になりますが、流れを生み出す力はx軸に沿って正になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$$

定常流では速度場は時間に対して一定であり、v = v ( x ) = v ( x ( t ))となるため、v自体は時間tの直接的な関数ではありません。断面積が変化するのは、粒子がxを通過するときのみです。vは、断面積の位置x ( t )を介してのみtに依存します。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).}$$

密度ρが一定の場合、運動方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$$x に関して積分することにより$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$$ ここで、Cは定数であり、ベルヌーイ定数と呼ばれることもあります。これは普遍的な定数ではなく、特定の流体システムの定数です。結論として、速度が大きいほど圧力は低く、その逆もまた然りです。

上記の導出において、外部の仕事・エネルギー原理は一切用いられていない。むしろ、ベルヌーイの原理はニュートンの第二法則を単純に操作することによって導き出されたのである。

エネルギー保存則を用いた導出

非圧縮性流れに対するベルヌーイの原理を導出するもう1つの方法は、エネルギー保存則を適用することである。^{[ 19 ]}仕事エネルギー定理の形で、次のように述べる^{[ 20 ]}

系の運動エネルギーE _kinの変化は、系に対して行われた正味の仕事Wに等しい。$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{kin}}.}$$

したがって、

このシステムは、当初は断面A ₁とA ₂の間に存在する流体の体積から構成されます。時間間隔Δ tの間に、流入断面A ₁に初期位置にある流体要素は距離s ₁ = v ₁ Δ tだけ移動し、流出断面では流体は断面A ₂から距離s ₂ = v ₂ Δ tだけ離れていきます。流入と流出における流体の移動量はそれぞれA ₁ s ₁とA ₂ s ₂です。関連する移動流体の質量は、ρが流体の質量密度である場合、密度と体積の積に等しくなるため、ρA ₁ s ₁とρA ₂ s ₂となります。質量保存則により、時間間隔Δ tの間に移動したこれら 2 つの質量は等しくなければならず、この移動質量はΔ mで表されます。  $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}}$$

部隊が行う作業は、以下の2つの部分から構成される。

• 領域A1とA2に_作用する圧力によってなされる仕事$${\displaystyle W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$
• 重力が行う仕事：体積A ₁ s ₁内の重力ポテンシャルエネルギーが失われ、流出時に体積A ₂ s ₂で得られる。したがって、時間間隔Δ tにおける重力ポテンシャルエネルギーの変化Δ E _{pot,gravity は}次のようになる。

$${\displaystyle \Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.}$$ さて、重力による仕事は位置エネルギーの変化とは逆向きで、W _gravity = − ΔE _{pot,gravity となります}。重力は負のz方向ですが、仕事（重力と高度の変化の積）は、正の高度変化Δ z = z ₂ − z ₁に対して負になり、対応する位置エネルギーの変化は正になります。^{[ 21 ] : 14–4、§14–3}したがって、$${\displaystyle W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.}$$したがって、この時間間隔Δt で行われた仕事の総量は $${\displaystyle W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.}$$運動エネルギーの 増加は $${\displaystyle \Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.}$$ これらをまとめると、仕事-運動エネルギー定理W = Δ E _{kin は}次のようになります。^{[ 19 ]}$${\displaystyle \Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}}$$ または $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$ 質量Δ m = ρA ₁ v ₁ Δ t = ρA ₂ v ₂ Δ tで割ると、結果は次のようになります。^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$$ あるいは、最初の段落で述べたように：

さらにgで割ると、次の式が得られます。各項は長さの次元（メートルなど）で表すことができることに注意してください。これはベルヌーイの原理から導出された基本方程式です。

中間項のzは、基準面に対する流体の高さによる位置エネルギーを表します。ここで、zは高さ水頭と呼ばれ、 z_高さと表記されます。

高さz > 0から自由落下する質量(真空中) は、$${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{z}}},}$$ 標高z = 0に到達したとき。または、ヘッドとして並べ替えると次のようになります。 $${\displaystyle h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}}$$⁠ v ² / 2 g ⁠ という項は速度水頭と呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは、流体の運動によって生じる内部エネルギーを表します。

静水圧pは次のように定義される。 $${\displaystyle p=p_{0}-\rho gz,}$$p ₀ は基準圧力、またはヘッドとして再構成すると次のようになります。 $${\displaystyle \psi ={\frac {p}{\rho g}}.}$$⁠ p / ρg ⁠ という用語も圧力ヘッドと呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは、容器に加わる圧力による流体の内部エネルギーを表します。流速によるヘッドと静圧によるヘッドを基準面からの高さと組み合わせることで、速度ヘッド、高さヘッド、圧力ヘッドを使用して非圧縮性流体に有用な単純な関係が得られます。

式1に流体の密度を乗じると、3つの圧力項を含む式が得られる。

このベルヌーイの式では、系の圧力は一定であることに注意してください。系の静圧（第3項）が増加し、標高差による圧力（中間項）が一定である場合、動圧（第1項）は減少しているはずです。言い換えれば、流体の速度が低下し、それが標高差によるものでない場合、流れに抵抗する静圧の増加が原因であるに違いありません。

これら3つの式はすべて、システムのエネルギーバランスを簡略化したものである。

圧縮性流体の場合の導出も同様です。ここでも、導出は（1）質量保存則と（2）エネルギー保存則に依存します。質量保存則は、上の図において、時間間隔Δ tにおいて、面積A _{1で定義される境界を通過する質量の量が、面積}A ₂で定義される境界を外側に通過する質量の量に等しいことを意味します。 $${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.}$$エネルギー保存則は同様の方法で適用されます。A 1とA ₂ で囲まれた流線管の体積のエネルギーの変化は、これら 2 つの境界のいずれか一方から出入りするエネルギーのみによるものと仮定し_ます。明らかに、放射を伴う流体の流れのようなより複雑な状況では、このような条件は満たされません。しかし、これが当てはまると仮定し、流れが定常でエネルギーの正味の変化がゼロであると仮定すると、 $${\displaystyle \Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0}$$ ここで、_{Δ E 1 と Δ E 2 はそれぞれ A 1 から流入するエネルギーと A 2 から流出するエネルギーです。A 1}から流入_するエネルギーは、_流入する_運動エネルギー、_流体の重力ポテンシャルエネルギーの形で流入するエネルギー、単位質量あたりの流体の熱力学的内部エネルギー ( ε _{1 )、および機械的な仕事}p d Vの形で流入するエネルギーの合計です。 $${\displaystyle \Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t}$$ ここで、Ψ = gzは地球の重力による力ポテンシャル、gは重力加速度、zは基準面からの高さです。Δ E ₂についても同様の式を簡単に構築できます。そこで、0 = Δ E 1 ₋ Δ E ₂と設定します。 $${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$ これは次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$ さて、質量保存則から以前に得られた結果を用いると、これは次のように簡略化できる。 $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b}$$ これは圧縮性流体に対するベルヌーイの式である。

流体エンタルピー（ h） を用いて、同等の式を以下のように表すことができる。$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b}$$