多重積分

数学（特に多変数微積分）において、多重積分とは、複数の実変数の関数の定積分（たとえば、f ( x , y )やf ( x , y , z ) ）のことです。

2変数関数の（実数平面）領域での積分は二重積分と呼ばれ、3変数関数の（実数3D空間）領域での積分は三重積分と呼ばれます。^[1]一変数関数の繰り返し反微分化については、繰り返し積分のコーシーの公式を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

1変数の正関数の定積分が関数のグラフとx軸の間の領域の面積を表すのと同様に、 2変数の正関数の二重積分は、関数によって定義される面（z = f ( x , y )の3次元直交平面上）とその定義域を含む平面の間の領域の体積を表します。^[1]変数がさらに多い場合、多重積分により多次元関数の 超体積が得られます。

n変数の関数f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n )の領域Dでの多重積分は、最も一般的には、実行の逆順でネストされた積分符号 (左端の積分符号が最後に計算される) で表され、その後に関数と被積分関数の引数が適切な順序で続く (右端の引数に関する積分が最後に計算される)。積分領域は、各積分符号上のすべての引数について記号で表すか、右端の積分符号の変数で省略される: ^[2]

${\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

不定積分の概念は単一の実変数の関数に対してのみ定義されているため、不定積分の通常の定義は多重積分に直ちに拡張されるわけではありません。

n > 1の場合、いわゆる「半開」n次元超矩形領域Tを考える。これは次のように定義される。

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。

各区間[ a _j、b _j )を、重複しない部分区間i _{j α}の有限ファミリI _jに分割します。各部分区間は、左端が閉じられ、右端が開きます。

すると、部分長方形Cの有限族は次のように与えられる。

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

はTの分割です。つまり、部分長方形C _kは重複せず、それらの和集合がTです。

f  : T → R をT上で定義された関数とする。上で定義したTの分割C を考え、 C はm 個の部分長方形C _mの族であり、

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$

下側がn次元超長方形Tで囲まれ、上側がfのn次元グラフで囲まれた全( n + 1)次元体積を、次のリーマン和で近似することができます。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

ここで、P _{k は}C _k内の点であり、m( C _k )は、その直積がC _kとなる区間の長さの積であり、 C _kの測度とも呼ばれます。

部分長方形C _kの直径は、直積がC _kである区間の長さのうち最大のものである。Tの与えられた分割の直径は、分割内の部分長方形の直径のうち最大のものとして定義される。直感的には、分割Cの直径がどんどん小さく制限されるにつれて、部分長方形の数mは大きくなり、各部分長方形の測度m( C _k )は小さくなる。関数fは、次の極限が成り立つとき、リーマン積分可能と言われる。

${\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

が存在し、その極限は直径が最大でもδであるTのあらゆる可能な分割にわたって取られる。^[3]

fがリーマン積分可能である場合、SはT上のfのリーマン積分と呼ばれ、次のように表記される。

${\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$。

この表記は次のように略されることが多い。

${\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} }$。

ここで、xはn組（x ₁、...、x _n）を表し、d ⁿ xはn次元の体積微分です。

任意の有界n次元集合上で定義された関数のリーマン積分は、その関数を、元の関数の領域外で値が 0 である半開長方形上で定義された関数に拡張することによって定義できます。すると、元の関数の元の領域での積分は、拡張された関数の長方形領域 (存在する場合) での積分として定義されます。

以下では、 n次元のリーマン積分を多重積分と呼びます。

多重積分は、1変数関数の積分と共通する多くの性質（線形性、可換性、単調性など）を持つ。多重積分の重要な性質の1つは、積分の値が特定の条件下では積分対象の順序に依存しないことである。この性質は一般にフビニの定理として知られている。^[4]

の場合、積分 ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

はT上のfの二重積分であり、積分 ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

はT上のfの三重積分です。

慣例により、二重積分には積分符号が 2 つあり、三重積分には積分符号が 3 つあることに注意してください。これは、この記事の後半で示すように、多重積分を反復積分として計算するときに便利な表記規則です。

多重積分の問題の解決は、ほとんどの場合、多重積分を反復積分、つまりそれぞれが直接解ける 1 変数の一連の積分に簡約する方法を見つけることです。連続関数の場合、これはフビニの定理によって正当化されます。場合によっては、計算なしで直接調べることで積分の結果を得ることができます。

以下に統合の簡単な方法をいくつか挙げる: ^[1]

積分関数が定数関数 cの場合、積分はcと積分領域の測度の積に等しくなります。c = 1で領域がR ^{2のサブ領域である場合、積分は領域の面積を与え、領域が}R ³のサブ領域である場合、積分は領域の体積を与えます。

例: f ( x , y ) = 2と し、

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}$、

その場合

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12}$、

定義により次のようになります。

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)}$。

積分領域が積分変数の少なくとも 1 つに関して原点を中心に対称であり、被積分関数がこの変数に関して奇数である場合、領域の 2 つの半分にわたる積分は同じ絶対値を持ちますが、符号が反対であるため、積分は 0 に等しくなります。被積分関数がこの変数に関して偶数である場合、領域の 2 つの半分にわたる積分は等しいため、積分は領域の 1 つの半分にわたる積分の 2 倍に等しくなります。

例1.関数f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y ³ + 5を領域上で積分すること を考えます。

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$、

 境界を含む、原点を中心とした 半径1の円盤。

線形性特性を使用すると、積分は次の 3 つの部分に分解できます。

${\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$。

関数2 sin( x )は変数xの奇関数であり、円板T はy軸に対して対称であるため、最初の積分の値は 0 です。同様に、関数3 y ³はyの奇関数であり、円板T はx軸に対して対称であるため、最終結果に寄与するのは 3 番目の積分のみです。したがって、元の積分は円板の面積の 5 倍、つまり 5 πに等しくなります。

例2.関数f ( x , y , z ) = x exp( y ² + z ² )を考え、積分領域として原点を中心とする半径2の 球を考える。

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}}$。

「ボール」は 3 つの軸すべてについて対称ですが、関数はその変数の奇関数であるため、積分が 0 であることを示すにはx軸 に関して積分するだけで十分です。

この方法は、次の条件を満たす任意のドメインDに適用できます。

• Dのx軸またはy軸への投影は、 aとbの2つの値によって制限されます。
• この軸に垂直で、これら2つの値の間を通る任意の線は、端点が2つの関数αとβのグラフで与えられる区間でドメインと交差する。

ここでは、このような領域を正規領域と呼びます。文献の他の箇所では、正規領域は、領域がどの軸にファイバーされているかによって、タイプ I 領域またはタイプ II 領域と呼ばれることがあります。いずれの場合も、積分される関数は領域上でリーマン積分可能でなければなりません。これは、たとえば関数が連続している場合に当てはまります。

領域D がx軸に関して正規であり、f  : D → Rが連続関数である場合、α ( x )とβ ( x )（両方とも区間[ a , b ]で定義される）はD を決定する2つの関数です。すると、フビニの定理により、^[5]

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy}$。

D がy軸に対して正規であり、f :  D → Rが連続関数である場合、α ( y )とβ ( y ) (どちらも区間[ a , b ]で定義される) はD を決定する 2 つの関数です。再び、フビニの定理により、

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx}$。

T がxy平面に対して垂直な領域であり、関数α ( x , y )とβ ( x , y )によって決定される場合、

${\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$。

この定義は、 R ³上の他の 5 つの正規性の場合にも同じです。 R ⁿ内の領域に簡単に一般化できます。

積分の限界は、多くの場合、簡単には交換できません (正規性がない場合や、積分に複雑な式を使用する場合)。変数を変更して、より「快適な」領域で積分を書き換えると、より簡単な式で記述できます。 そのためには、関数を新しい座標に適合させる必要があります。

例 1a.関数はf ( x , y ) = ( x − 1) ² + √ yです。 u = x − 1、v = yと置き換えてx = u + 1、y = vとすると、新しい関数f ₂ ( u、v ) = ( u ) ² + √ vが得られます。

• 同様にドメインについても、前に変換された元の変数（例ではxとy ）によって区切られるため、
• 微分dxとdyは、新しい変数に関する変換の偏微分を含むヤコビ行列の行列式の絶対値を介して変換されます（例として、極座標での微分変換を考えてみましょう）

変数の変更には主に 3 つの「種類」があります ( R ²に 1 つ、R ³に 2 つ)。ただし、同じ原理を使用して、より一般的な置換を行うこともできます。

R ²では、ドメインが円対称性を持ち、関数が特定の特性を持つ場合、極座標への変換を適用できます(図の例を参照)。これは、直交座標の一般的なポイントP ( x、y ) が極座標の対応するポイントに切り替わることを意味します。これにより、ドメインの形状を変更し、操作を簡素化できます。

変換を行うための基本的な関係は次のとおりです。

${\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )}$。

例2a.関数はf ( x , y ) = x + yであり、変換を適用すると次の式が得られる。

${\displaystyle f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )}$。

例 2b.関数はf ( x , y ) = x ² + y ²です。この場合、次のようになります。

${\displaystyle f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}}$

ピタゴラスの三角関数の恒等式 を使用する（この演算を簡略化するのに役立ちます）。

領域の変換は、半径のクラウン長さと記述された角度の振幅を定義して、x、yから始まるρ、φ間隔を定義することによって行われます。

例 2c。定義域はD = { x ² + y ² ≤ 4}で、これは半径 2 の円周です。覆われた角度が円角であることは明らかなので、φ は0 から 2 πまで変化し、冠の半径は 0 から 2 まで変化します (内側の半径がヌルの冠は単なる円です)。

例 2d。領域はD = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0}で、これは正のy半平面内の円形の冠です(例の図を参照)。φ は平面角を表し、ρ は2 から 3 まで変化します。したがって、変換された領域は次の長方形になります。

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}}$。

その変換のヤコビ行列式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }$、

これは、 x = ρ cos( φ )、y = ρ sin( φ )の偏微分を、第1列にρについて、第2列にφについて挿入することによって得られます。したがって、この変換におけるdx dy微分はρ dρ dφになります。

関数を変換してドメインを評価すると、極座標での変数の変更の式を定義できます。

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi }$。

φ は[0, 2π] の区間で有効ですが、長さの尺度であるρ は正の値しか取れません。

例 2e。関数はf ( x , y ) = xで、定義域は例 2d と同じです。D の以前の分析から、ρの区間(2 から 3) とφの区間(0 からπ ) がわかっています。ここで関数を変更します。

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi }$。

最後に積分式を適用してみましょう。

${\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi }$。

間隔がわかれば、

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}$。

R ³では、円周座標への移行によって円形の領域での積分を行うことができます。関数の変換は次の関係によって行われます。

${\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)}$

高さは開始領域の形状に従い、底部の形状のみ変化するため、ドメイン変換はグラフィカルに実現できます。

例 3a。領域はD = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5}です(これは、例 2d の円形の冠を底辺とし、高さが 5 である「チューブ」です)。変換を適用すると、次の領域が得られます。

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}$

(つまり、底辺が例 2d の長方形と相似で、高さが 5 である平行六面体)。

変換中、z成分は変化しないため、 dx dy dz微分は極座標への移行時と同様に変化します。したがって、ρ dρ dφ dzとなります。

最後に、最終的な式を円筒座標に適用することができます。

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$。

この方法は、円筒形または円錐形の領域の場合、またはz間隔を個別化したり、円の底と関数を変換したりすることが 容易な領域の場合に便利です。

例3b.関数はf(x,y,z)=x2+y2+zであり^、積分領域はこの円筒: D = ^{x2 + y2≤9 , −5≤z≤5 }である。円筒座標におけるD^の変換^は次のようになる。

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}}$。

関数は

${\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z}$。

最後に積分式を適用します。

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$;

あなたが持っている式を開発する

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi }$。

R ³では、いくつかの領域が球対称性を持つため、積分領域の各点の座標を 2 つの角度と 1 つの距離で指定できます。したがって、球座標への変換を使用できます。関数は次の関係によって変換されます。

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}$。

z軸上の点は球面座標では正確な特性を持たないため、θ は0 から 2 πの間で変化する可能性があります。

この文章のより適切な統合領域は球体です。

例4a.定義域はD = x ² + y ² + z ² ≤ 16（半径4、中心が原点の球）であり、変換を適用すると領域が得られる。

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}$。

この変換のヤコビ行列式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }$。

したがって、 dx dy dz微分はρ ² sin( φ ) dρ dθ dφに変換されます。

これにより、最終的な積分式が得られます。

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$。

この方法は、球面領域の場合や、三角法の最初の基本関係をR ³に拡張することで簡単に簡略化できる関数の場合に使用するのが適切です (例 4b を参照)。その他の場合には、円筒座標を使用する方が適切です (例 4c を参照)。

${\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$。

余分なρ ²とsin φ はヤコビアンから来ます。

次の例では、 φとθの役割が逆になっています。

例4b. Dは例4aと同じ領域であり、f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ²は積分する関数です。その変換は非常に簡単です。

${\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}}$、

一方、変換された領域Tの間隔はDから分かります。

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}$。

したがって、積分式を適用します。

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$、

そして、発展していくと

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}}$。

例4c.領域Dは原点を中心とし半径3aの球体である。

${\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}}$、

そして、f ( x , y , z ) = x ² + y ²は積分する関数です。

ドメインを見ると、球座標への移行を採用するのが便利であるように見えます。実際、新しいT領域を区切る変数の間隔は次のとおりです。

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}}$。

しかし、変換を適用すると、

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }$。

積分公式を適用すると次のようになります。

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$、

これを反復積分に変換することで解くことができます。 ${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}$

${\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}}$、

${\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}}$、

${\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi }$。

すべての部品を集めて、

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}$。

あるいは、この問題は円筒座標への変換によって解決できる。新しいT間隔は

${\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}}$;

z間隔は、 Dの公式から不等式を解くだけで球を 2 つの半球に分割することで得られます(そしてx ² + y ^2を直接ρ ²に変換します)。新しい関数は単純にρ ²です。積分公式を適用すると、

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$。

すると次のようになります:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}}$

円筒座標への移行により、三重積分をより簡単な一変数積分に簡略化することが可能になりました。

円筒座標と球座標におけるナブラの微分体積の項目も参照してください。

多変数関数f を領域A上で積分したいとします。

${\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}$。

これから反復積分を定式化する。

${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$。

最初に内部積分が実行され、 xについて積分され、y は積分の変数ではないため定数として扱われます。この積分の結果はyのみに依存する関数であり、次にyについて積分されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}$

次に結果をyに関して積分します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}$

関数の絶対値の二重積分が有限である場合、積分の順序は交換可能であり、つまり、最初にxについて積分し、最初にyについて積分しても同じ結果が生成されます。これがフビニの定理です。たとえば、前の計算を順序を逆にして実行すると、同じ結果が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}$

次の地域を考えてみましょう (例の図を参照してください)。

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}$。

計算する

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy}$。

このドメインは、 x軸とy軸の両方に対して正規です。公式を適用するには、 D を決定する関数と、これらの関数が定義される区間を見つける必要があります。この場合、2 つの関数は次のようになります。

${\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}$

一方、区間はx = 0の関数の交点によって与えられる ため、区間は [ a ,  b ] = [0, 1] となります (視覚的に理解しやすいように、 x軸に対して正規性が選択されています)。

次の式を適用できるようになりました。

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}$

(最初に、2 番目の積分はx を定数として計算されます)。残りの操作は、積分の基本手法を適用することです。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}}$。

y軸に関して正規分布を選択した場合、次のように計算できる。

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx}$。

同じ値が得られます。

前述の方法を使用すると、いくつかの一般的な固体の体積を計算することができます。

• 円柱: 高さhと半径Rの円底を持つ円柱の体積は、極座標を使用して、定数関数h を円底にわたって積分することによって計算できます

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

これはプリズムの体積の公式と一致している。

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}}$。

• 球: 半径Rの球の体積は、球座標を使用して、定数関数 1 を球上で積分することによって計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}}$

• 四面体（三角錐または3単体）：頂点が原点にあり、 x軸、 y軸、 z軸に沿った長さℓの辺を持つ四面体の体積は、定数関数1を四面体​​上で積分することで計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

これはピラミッドの体積の公式と一致しています。

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}}$。

非有界領域または領域の境界付近で有界でない関数の場合は、二重不定積分または三重不定積分を導入する必要があります。

フビニの定理によれば、^[4]

${\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty }$、

つまり、積分が絶対収束する場合、多重積分は 2 つの反復積分のいずれかと同じ結果になります。

${\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$。

特に、| f ( x , y ) |が有界関数であり、AとBが有界集合である場合にこれが発生します。

積分が絶対収束しない場合は、多重積分と反復積分の概念を混同しないように注意する必要がある。特に、どちらの概念でも同じ表記法が使用されることが多いためである。表記法

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}$

は、場合によっては、真の二重積分ではなく反復積分を意味する。反復積分では、外側の積分

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}$

は、次のxの関数のxに関する積分です。

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy}$。

一方、二重積分は、xy平面の面積に関して定義されます。二重積分が存在する場合、それは2つの反復積分（「dy dx」または「dx dy」のいずれか）のそれぞれに等しく、反復積分のいずれかを計算することによって計算されることがよくあります。しかし、2つの反復積分が存在するのに二重積分が存在しない場合もあります。そのような場合、2つの反復積分は異なる数値になります。つまり、

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy}$。

これは条件付き収束積分の再配置の例です。

一方、二重積分が存在する必要がない場合でも、2つの反復積分が等しいことを保証する条件がいくつかあります。フィヒテンホルツ-リヒテンシュタインの定理により、fが[0, 1]×[0, 1]で制限され、両方の反復積分が存在する場合、それらは等しいです。さらに、内部積分の存在は外部積分の存在を保証します。^{[6] [7] [8]}シェルピンスキーによれば、この場合、ルベーグ積分としてさえ二重積分が存在する必要はありません。^[9]

表記

${\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}$

反復積分ではなく二重積分を意図していることを強調したい場合に使用できます。

三重積分はフビニの定理によって証明された。^[10]三重積分に関するドリクレの定理とリウヴィルの拡張定理。

一般的に、1変数の場合と同様に、多重積分を使用して、与えられた集合上の関数の平均を求めることができます。集合D ⊆ R ⁿとD上の積分可能な関数fが与えられた場合、その定義域でのfの平均値は次のように与えられます。

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx}$、

ここで、m ( D )はDの測度です。

さらに、多重積分は物理学の多くの分野で使用されています。以下の例では、表記法のいくつかのバリエーションも示しています。

力学では、慣性モーメントは、軸からの距離の2乗で重み付けされた 密度の体積積分（三重積分）として計算されます。

${\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV}$。

３次元ユークリッド空間R ³上の質量測度dmによって与えられる質量分布に関連する重力ポテンシャルは[ ^11]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )}$。

xにおける分布の密度を表す連続関数ρ ( x )があり、dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x（d ³ xはユークリッド体積要素）である場合、重力ポテンシャルは

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} }$。

電磁気学では、マクスウェル方程式は多重積分を使って磁場と電場の総和を計算するために書かれる。^[12]次の例では、体積電荷密度ρ ( r → )で与えられる電荷分布によって生成される電場は、ベクトル関数の 三重積分によって得られる。

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'}$。

これは、電荷分布を表す 符号付き測度に関する積分として記述することもできます。

• 多重積分に関連する 主な解析定理:
  • 発散定理
  • ストークスの定理
  • グリーンの定理

• アダムス、ロバート A. (2003)。微積分学: 完全コース(第 5 版)。Addison- Wesley。ISBN 0-201-79131-5。
• Jain, RK; Iyengar, SRK (2009)。Advanced Engineering Mathematics (第 3 版)。Narosa Publishing House。ISBN 978-81-7319-730-7。
• Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3 : OpenStax  、ライス大学、テキサス州ヒューストン、米国。ISBN 978-1-50669-805-2 . (PDF) 

• Weisstein、Eric W.「多重積分」。MathWorld。
• LD Kudryavtsev (2001) [1994]、「多重積分」、数学百科事典、EMS Press
• ウェブ上の数学アシスタント。直交座標と極座標での二重積分のオンライン評価（ソリューションの中間ステップを含み、Maxima（ソフトウェア）を搭載）
• WolframAlpha によるオンライン二重積分計算機
• WolframAlpha によるオンライン三重積分計算機