プルバック（カテゴリー理論）

数学の一分野である圏論において、プルバック（ファイバー積、ファイバー積、ファイバー積、デカルト平方とも呼ばれる）は、共通の余領域を持つ2つの射f  : X  →  Zとg  :  Y  →  Zからなる図の極限である。プルバックは次のように書かれる。

P = X × _f、Z、g Y。

通常、射fとgは記法から省略され、引き戻しは次のように書かれる。

P = X × _Z Y .

プルバックには、 P  →  XとP  →  Yという 2 つの自然な射が備わっている。 2 つの射fとgのプルバックは必ずしも存在する必要はないが、存在する場合は、本質的に 2 つの射によって一意に定義される。 多くの状況では、X × _Z Y は、 x がXに、y がYに、f ( x ) =   g ( y )である要素のペア( x、y )で構成されていると直感的に考えられる。 一般的な定義では、普遍的な特性が使用され、これは基本的に、プルバックが、与えられた 2 つの射を可換な正方形に完成させる「最も一般的な」方法であるという事実を表現する。

プルバックの二重概念はプッシュアウトです。

明示的には、射の引き戻しは、オブジェクトと2つの射から成り、図は ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{1}:P\rightarrow X}$${\displaystyle p_{2}:P\rightarrow Y}$

は可換である。さらに、この図に関して、引き戻し（P、p ₁、p ₂）は普遍的でなければならない。 ^[1]つまり、他の任意のそのような三つ組（Q、q ₁、q ₂）に対して、q ₁  : Q  →  Xおよびq ₂  : Q  →  Yがf q ₁  =  g q ₂となる射である場合、次のようになる 唯一のu  :  Q  →  Pが存在しなければならない。

${\displaystyle p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.}$

この状況は次の可換図で示されます。

すべての普遍的な構成と同様に、プルバックは、存在する場合、同型性を除いて一意です。実際、同じコスパンX  →  Z  ←  Yの 2 つのプルバック( A、a ₁、a ₂ )と( B、b ₁、b ₂ )が与えられた場合、プルバック構造に関して AとBの間には一意の同型性が存在します。

プルバックは積に似ていますが、同じではありません。 積は、射fとg が存在することを「忘れて」、オブジェクトZ が存在することを「忘れて」も得られます。 そうすると、 2 つのオブジェクトXとYのみを含み、それらの間の矢印がない離散カテゴリが残ります。 この離散カテゴリは、通常のバイナリ積を構成するためのインデックス セットとして使用できます。 したがって、プルバックは通常の (デカルト) 積として考えることができますが、構造が追加されています。Z、f、g を「忘れる」代わりに、 Z を終端オブジェクト(存在すると仮定)に特化することで、それらを「単純化」することもできます。 fとgは一意に決定され、したがって情報を持ちません。このコスパンのプルバックは、 XとYの積と見なすことができます。

可換環（恒等環）のカテゴリでは、引き戻しはファイバー積と呼ばれる。A、B、C を可換環（恒等環）とし、α :  A → Cおよびβ :  B → C （恒等環保存）の環準同型とする。このとき、この図式の引き戻しが存在し、次式で定義される 積環A × Bの部分環によって与えられる。

${\displaystyle A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}}$

射影とともに

${\displaystyle \beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B}$

によって与えられ、すべての に対して与えられます。すると、 ${\displaystyle \beta '(a,b)=a}$${\displaystyle \alpha '(a,b)=b}$${\displaystyle (a,b)\in A\times _{C}B}$

${\displaystyle \alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.}$

上記の可換環の例と完全に類似して、すべてのプルバックがグループのカテゴリと、ある固定された環上のモジュールのカテゴリに存在することを示すことができます。

集合のカテゴリでは、関数f  : X  →  Zとg  :  Y  →  Zの引き戻しは常に存在し、集合によって与えられる。

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\キャップ g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],}$

π ₁とπ _{2 の}X  × _Z Yへの射影写像の制限も併せて示します。  

あるいは、 Setのプルバックを非対称的に見ることもできます。

${\displaystyle X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]}$

ここで、 は集合の互いに素な和集合です（ fまたはgが単射でない限り、関係する集合はそれ自体では互いに素ではありません）。最初のケースでは、射影π _{1 は}x のインデックスを抽出しますが、π _{2 は}インデックスを忘れて、Yの要素を残します。 ${\displaystyle \coprod}$

この例は、プルバックを特徴付ける別の方法、すなわち、射f  ∘  p ₁ , g  ∘  p ₂  :  X  ×  Y  →  Zのイコライザーとして特徴付ける動機となります。ここで、X  ×  YはXとYの二項積であり、p ₁とp _{2 は}自然な射影です。これは、二項積とイコライザーを持つ任意のカテゴリにプルバックが存在することを示しています。実際、極限の存在定理により、すべての有限極限は二項積とイコライザーを持つカテゴリに存在します。同様に、すべての有限極限は終端オブジェクトとプルバックを持つカテゴリに存在します (二項積 = 終端オブジェクト上のプルバックであり、イコライザーは二項積を含むプルバックであるという事実により)。

プルバックの具体的な例は、関数のグラフによって示されます。 が関数であると仮定します。fのグラフは、集合です 。 グラフは、 f のプルバックとY上の恒等関数として再定式化できます。 定義により、このプルバックは であり 、これは に等しくなります。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$$${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.}$$$${\displaystyle X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_{Y}(y)\}=\{(x,y) \colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,}$$${\displaystyle \Gamma_{f}}$

プルバックの別の例は、ファイバーバンドルの理論から来ます。バンドルマップπ  : E → Bと連続マップ f  :  X  →  Bが与えられたとき、（連続マップを持つ位相空間のカテゴリで形成される）プルバックX  × _B Eは、プルバックバンドルと呼ばれるX上のファイバーバンドルです。関連する可換図は、ファイバーバンドルの射です。これは、微分可能多様体のカテゴリの場合にも当てはまります。特殊なケースは、2つのファイバーバンドルE ₁、E ₂ → Bのプルバックです。この場合、E ₁ × E _2はB × B上のファイバーバンドルであり、対角マップB → B × Bに沿ってプルバックすると、 B上のファイバーバンドルであるE ₁ × _B E ₂に同相（微分同相）な空間が得られます。 2 つの滑らかな横写像を同じ微分可能多様体に戻すことも微分可能多様体であり、その戻しの接空間は微分写像に沿った接空間の戻しである。  

関数による集合の逆像は、次のようにプルバックとして記述できます。

f  : A → B , B ₀ ⊆ Bとする。g を包含写像 B 0 _↪ Bとする。すると、 fとgの引き戻し（Set内）は、原像f ⁻¹ [ B ₀ ]と原像のAへの包含によって与えられる。

f ⁻¹ [ B ₀ ] ↪ A

そしてfを_f −1^に制限する[ B0 ]

f ⁻¹ [ B ₀ ] → B ₀。

この例により、一般カテゴリでは、射fと単射 gの引き戻しは、 gによって指定されたサブオブジェクトのfの下の「原像」と考えることができます。同様に、2 つの単射の引き戻しは、2 つのサブオブジェクトの「交差」と考えることができます。

正の整数Z ₊の乗法モノイドを、1 つのオブジェクトを持つカテゴリとして考えます。このカテゴリでは、2 つの正の整数mとnのプルバックは、分子が両方ともmとnの最小公倍数であるペアです。同じペアはプッシュアウトでもあります。 ${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$

• 終端オブジェクト Tを持つ任意のカテゴリでは、プルバックX  × _T  Yは通常の積 X  ×  Yに過ぎません。^[2]
• 単射は引き戻しに対して安定である。図中の矢印f が単射であれば、矢印p ₂も単射である。同様に、g が単射であれば、p _{1 も}単射である。^[3]
• 同型写像も安定しており、したがって、たとえば、任意の写像Y  →  Xに対してX  × _X  Y ≅ Yが成り立ちます(ここで、暗黙の写像X  →  Xは恒等写像です)。
• アーベル圏ではすべてのプルバックが存在し、^[4]それらは次の意味で核を保存する：

がプルバックダイアグラムである場合、誘導射ker( p ₂ ) → ker( f )は同型であり、^[5]誘導射ker( p ₁ ) → ker( g )も同型である。したがって、すべてのプルバックダイアグラムは、すべての行と列が正確である次の形式の可換ダイアグラムを生成し、

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}}$

さらに、アーベル圏では、X  →  Zがエピモーフィズムであれば、その引き戻しP  →  Yもエピモーフィズムであり、対称的に、Y  →  Z がエピモーフィズムであれば、その引き戻しP  →  Xもエピモーフィズムである。^[6]このような状況では、引き戻しの正方形は押し出しの正方形でもある。^[7]

• 自然同型 ( A × _C B )× _B D ≅ A × _C Dが存在します。明示的には、次のことを意味します。
  • f  : A → C、g  : B → C、h  : D → Bの写像が与えられており、
  • fとgの引き戻しはr  : P → Aとs  : P → Bで与えられ、
  • sとhの引き戻しはt  : Q → Pとu  : Q → Dで与えられ 、
  • すると、 fとghのプルバックはrt  : Q → Aと u  : Q → Dで与えられます。

グラフィカルに言うと、これは、隣り合って配置され、1 つの射を共有する 2 つのプルバック スクエアが、内部の共有射を無視すると、より大きなプルバック スクエアを形成することを意味します。

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}}$

• プルバックと製品のあるカテゴリにはイコライザーがあります。

コスパンX  →  Z  ←  Yの弱いプルバックは、弱普遍性のみを持つコスパン上の錐です。つまり、上記の媒介射u  :  Q  →  P は一意である必要はありません。

• 微分幾何学におけるプルバック
• リレーショナル代数における等結合
• スキームのファイバー製品

• Adámek、Jiří、Herrlich、Horst、Strecker、George E. （1990年）。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ (4.2MB PDF)。もともと公開されています。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN  0-471-60922-6。 （現在は無料のオンライン版）。
• コーン、ポール M. ; Universal Algebra (1981)、D. Reidel Publishing、オランダ、ISBN 90-277-1213-1 (1965 年に Harper & Row 社から初版が出版されました)。 
• ミッチェル、バリー（1965年）。カテゴリーの理論。アカデミックプレス。

• 有限集合のカテゴリにおけるプルバックの例を生成するインタラクティブな Web ページ。作者: Jocelyn Paine。
• nラボでの撤退