デデキント和

数学において、デデキント和は鋸歯状関数の積の有限和である。 デデキントは1880年代に、ベルンハルト・リーマンの論文集への解説の中で、デデキント・イータ関数の関数方程式を表現するためにこれらを導入した。 ^{[ 1 ]}その後、数論で盛んに研究されてきたが、位相幾何学^{[ 2 ]}、幾何学的組み合わせ論^{[ 3 ]}、代数幾何学^{[ 4 ]}、計算複雑性^{[ 5 ]}におけるいくつかの結果にも 現れる。デデキント和はさまざまな方向に一般化され、多数の関数方程式を満たす。この記事では、そのごく一部のみを列挙する。

鋸歯状関数を定義する${\displaystyle (\!(\,)\!):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$として

${\displaystyle (\!(x)\!)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$ ;\\0,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}

次に、デデキント和を定義します。

${\displaystyle D:\mathbb {Z} ^{2}\times \mathbb {Z} _{>0}\to \mathbb {Q} }$

による

${\displaystyle D(a,b;c)=\sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {an}{c}}\right)\!\!\right)\!\left(\!\!\left({\frac {bn}{c}}\right)\!\!\right).}$

a  = 1の場合、よく次のように書かれる。

s ( b , c ) = D (1, b ; c ).

Dはaとbに関して対称であることに注意してください。つまり、

${\displaystyle D(a,b;c)=D(b,a;c),}$

そして、(( ))の奇妙さによって、

D (− a , b ; c ) = − D ( a , b ; c ).

Dの最初の2つの引数の周期性により、3番目の引数は両方の周期の長さである。

D ( a , b ; c ) = D ( a + kc , b + lc ; c ) は、すべての整数k , lに対して成り立ちます。

dが正の整数である場合、

D ( ad , bd ; cd ) = dD ( a , b ; c )

D ( ad , bd ; c ) = D ( a , b ; c ) 、 ( d , c ) = 1 の場合、

D ( ad , b ; cd ) = D ( a , b ; c ) 、ただし ( d , b ) = 1 の場合。

最後の等式には、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {n+x}{c}}\right)\!\!\right)=(\!(x)\!),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .}$

さらに、az = 1 (mod c ) はD ( a , b ; c ) = D (1, bz ; c ) を意味します。

bとcが互いに素である場合、s ( b , c )は次のように書くことができます。

${\displaystyle s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},}$

ここで、和は1 以外のc乗根、すなわちすべての1乗根に及ぶ。${\displaystyle \omega }$そのため${\displaystyle \omega ^{c}=1}$そして${\displaystyle \omega \not =1}$[ ^{6 ]​}

同様に、bとcが互いに素である場合、

${\displaystyle s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).}$

この再定式化は、上記のコタンジェント関数が鋸歯状関数の離散フーリエ変換であるという事実を反映している。 ^{[ 6 ]}

デデキント^{[ 1 ]}は、bとcが互いに素な正の整数である場合、

${\displaystyle s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.}$

第一原理からの証明がいくつか存在し、デデキントの相互法則は二次相互法則と同等である。^{[ 7 ]}

相互主義の法則を書き換えると

${\displaystyle 12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,}$

したがって、6 c s ( b , c ) は整数である。 

k = (3, c ) の場合

${\displaystyle 12bc\,s(c,b)=0\mod kc}$

そして

${\displaystyle 12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.}$

デデキント・イータ関数の理論において重要な関係は次のとおりである。q = 3 , 5, 7 または 13 とし、n = 24/( q  − 1) とする。このとき、 ad − bc = 1となる整数a , b , c , d (したがってモジュラー群に属する) が与えられ、cはある整数k > 0に対してc = kqとなるように選ばれる。      

${\displaystyle \delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}.}$

それから${\displaystyle n\delta }$は偶数です。

ハンス・ラデマッハーは、デデキント和の相互法則の次の一般化を発見した。^{[ 8 ]} a、b、cが互いに素な正の整数である 場合、

${\displaystyle D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.}$

したがって、上記の三重和がゼロになるのは、 ( a , b , c )がマルコフ三重集合、すなわちマルコフ方程式の解である場合に限る。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=3abc.}$

• トム・M・アポストル著、『数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数』（1990年）、シュプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク。ISBN 0-387-97127-0（第3章を参照。）