ダランベールのパラドックス

流体力学において、ダランベールのパラドックス（または流体力学のパラドックス）は、1752年にフランスの数学者ジャン・ル・ロン・ダランベールによって発見されたパラドックスである。^[1]ダランベールは、非圧縮性かつ非粘性 ポテンシャル流れの場合、流体に対して一定速度で移動する物体にかかる抗力はゼロであることを証明した。^{[2]抗力がゼロであることは、空気や水などの流体に対して移動する物体にかかる大きな抗力、特に高}レイノルズ数に対応する高速での抗力の観察と直接矛盾する。これは可逆性のパラドックスの具体的な例である。^[3]

ダランベールは、1749 年のベルリンアカデミーの流体抵抗に関する懸案問題に取り組み、次のように結論付けました。

私には、あらゆる可能な厳密さで展開された理論（ポテンシャルフロー）は、少なくともいくつかのケースでは、厳密に消滅する抵抗、つまり特異なパラドックスを与えるように思われますが、その解明は将来の幾何学者（つまり数学者 - 当時は 2 つの用語が同じ意味で使用されていました）に任せます。

— 再版: Jean le Rond d'Alembert (1768)

物理的なパラドックスは理論の欠陥を示しています。

そのため、流体力学は最初から技術者から信用を失っており、その結果、説明できない現象を観察する水力学の分野と、観察できない現象を説明する理論流体力学の分野との間で不幸な分裂が生じた。これは、ノーベル化学賞受賞者のシリル・ヒンシェルウッド卿の言葉である。^[4]

科学的コンセンサスによれば、このパラドックスの発生は粘性の影響が無視されたことによる。科学的実験と相まって、19世紀には粘性流体摩擦の理論が大きく進歩した。このパラドックスに関しては、 1904年にルートヴィヒ・プラントルが薄い境界層を発見し、記述したことで頂点に達した。レイノルズ数が非常に高い場合でも、粘性力の結果として薄い境界層が残る。これらの粘性力は流線型の物体に摩擦抵抗を引き起こし、鈍い物体の場合はさらに流れの剥離と物体の後ろの低圧後流が発生し、形状抵抗につながる。^{[5] [6] [7] [8]}

流体力学界の一般的な見解は、実用的な観点から、このパラドックスはプラントルが示唆した方法で解決されるというものである。^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]}ナビエ・ストークス方程式（粘性流を記述するために使用される）を含む他の多くの流体流れの問題と同様に、正式な数学的証明は欠如しており、提供することは困難である。

このパラドックスを解決するための最初の一歩は、粘性流体の摩擦をモデル化したサン＝ヴナンによって踏み出された。サン＝ヴナンは1847年に次のように述べている。^[11]

しかし、理想的な流体（前世紀の幾何学者の計算の対象）の代わりに、有限個の分子で構成され、運動状態で不均等な圧力、または作用する表面要素に接する成分を持つ力を及ぼす実際の流体を使用すると、別の結果が得られます。この成分は流体の摩擦と呼ばれ、デカルトとニュートンからベンチュリーまでその名前が付けられてきました。

その後まもなく、1851年にストークスはストークス流における球体の抗力を計算し、ストークスの法則として知られるようになりました。^[12]ストークス流は、粘性液体の運動を記述するナビエ-ストークス方程式の低レイノルズ数限界です。 ^[13]

しかし、流れの問題を無次元形式にすると、粘性ナビエ・ストークス方程式はレイノルズ数が増加するにつれて非粘性オイラー方程式に収束し、流れはポテンシャル流れ理論の非粘性解、つまりダランベールのパラドックスのゼロ抗力に収束するはずであることが示唆されます。これについては、抗力と流れの視覚化の実験的測定では証拠は見つかりませんでした。^[14] 19世紀後半には、これが再び流体力学の適用可能性に関する疑問を引き起こしました。

19 世紀後半には、粘性は高レイノルズ数ではそれほど重要ではなくなると仮定し、流体抗力の記述に非粘性流理論を使用する方向に焦点が再び移りました。キルヒホッフ^[16] とレイリー^{[17]によって提案されたモデルは、}ヘルムホルツ^[18] の自由流線理論に基づいており、物体の後ろの安定した後流で構成されています。後流領域に適用された仮定には、流速が物体の速度に等しいこと、圧力が一定であることなどがあります。この後流領域は、物体の外側の潜在的流れと後流から、界面を横切る接線速度の不連続なジャンプを伴う渦シートによって分離されています。 ^{[19] [20]} 物体に対する抗力がゼロ以外の値になるためには、後流領域が無限大に拡張されている必要があります。この条件は、プレートに対して垂直なキルヒホッフ流の場合に実際に満たされています。理論では、抗力は速度の2 乗に比例すると正しく述べられています。 ^[21] 当初、この理論は鋭いエッジで分離する流れにのみ適用可能であった。その後、1907年にレヴィ＝チヴィタによって、滑らかな曲線境界から分離する流れにまで拡張された。^[22]

このような定常流は安定していないことはすぐにわかった。渦シートがいわゆるケルビン・ヘルムホルツ不安定性を引き起こすからである。^[20]しかし、この定常流モデルは、抵抗を合理的に推定できるかもしれないという期待からさらに研究された。レイリーは「… 抵抗の計算がこの状況によって実質的に影響を受けるかどうかは、経験される圧力が、不安定性が最初に現れ始める障害物の後方のある距離で何が起こるかとはほとんど無関係であるはずであるからである」と問うている。^[17]

しかし、このアプローチに対しては根本的な反論が起こった。ケルビンは、プレートが流体中を一定の速度で動いている場合（プレートから離れたところで静止しているが、後流は除く）、後流の速度はプレートの速度に等しいことを観察した。理論から得られるようにプレートからの距離とともに広がる後流の無限の範囲は、後流の運動エネルギーが無限であることにつながり、これは物理的根拠から否定されなければならない。^{[21] [23]} さらに、プレートの前面と背面の間の観測された圧力差と、その結果生じる抗力は、予測よりもはるかに大きい。流れに垂直な平らなプレートの場合、予測される抗力係数はC _D =0.88であるが、実験ではC _D =2.0 である。これは主に、実際の後流の不安定な流れによって引き起こされるプレートの後流側の吸引によるものである（理論では、プレートの速度に等しい一定の流速を仮定している）。^[24]

したがって、この理論は流体中を移動する物体の抗力を説明するには不十分であることが判明した。ただし、流体で満たされた後流の代わりに物体の後ろに真空の空洞が存在すると仮定した、いわゆるキャビティフローには適用できる。^{[20] [21] [25]}

ドイツの物理学者ルートヴィヒ・プラントルは1904年に、薄い粘性境界層の効果が大きな抗力の原因となる可能性があると示唆した。^[26] プラントルは、高速度および高レイノルズ数では、滑りのない境界条件により、物体の壁近くの薄い層上の流速が大きく変化するという考えを提唱した。これにより、境界層で渦が発生し、運動エネルギーが粘性的に散逸する。非粘性理論には欠けているエネルギー散逸により、鈍い物体では流れが剥離する。後流領域の低圧により形状抵抗が発生し、これは壁の粘性せん断応力による摩擦抵抗よりも大きくなる可能性がある。 ^[14]

プラントルのシナリオが高レイノルズ数の流れにおける鈍い物体に対して起こるという証拠は、円筒の周りで衝動的に始まる流れに見ることができる。最初、流れは潜在流に似ているが、その後、流れは後方​​のよどみ点の近くで分離する。その後、分離点は上流に移動し、分離した流れの低圧領域が生じる。^[14]

プラントルは、粘性効果は固体境界に隣接する境界層と呼ばれる薄い層で重要であり、その外側では粘性は重要な役割を果たしないという仮説を立てました。粘性が低下すると境界層の厚さは薄くなります。非線形ナビエ-ストークス方程式によって記述される粘性流の問題全体は、一般に数学的に解くことはできません。しかし、彼の仮説（および実験による裏付け）を使用して、プラントルは境界層内の流れの近似モデルを導き出すことができました。これは境界層理論と呼ばれ、境界層外の流れは非粘性流理論を使用して扱うことができます。境界層理論は、近似解を導くための適合漸近展開法に適しています。流入する流れに平行な平板の最も単純なケースでは、境界層理論により（摩擦）抗力が生じますが、すべての非粘性流理論では抗力はゼロになると予測されます。航空学にとって重要なのは、プラントルの理論が、表面摩擦抵抗に加えて形状抵抗も存在する翼のような流線型の物体に直接適用できることである。形状抵抗は、境界層と薄い後流が翼の周りの圧力分布に与える影響によるものである。 ^{[7] [27]}

プラントルが示唆したように、無視できるほど小さな原因 (レイノルズ数の増加に対する無視できるほど小さな粘性) が大きな影響 (大きな抗力) をもたらすことを検証するのは、非常に難しいかもしれません。

数学者ギャレット・バーコフは、1950年の著書『流体力学』の冒頭で^[28] 、 流体力学のいくつかのパラドックス（ダランベールのパラドックスを含む）を取り上げ、その公式な解決法に明確な疑問を表明している。

「さらに、これらすべてを粘性の無視に帰することは不当な単純化であると私は考える。その根源はより深く、物理学者やエンジニアによって重要性が軽視されがちな演繹的厳密さの欠如にある。」^[29]

特に、ダランベールのパラドックスに関して、彼は抗力を生み出す別の可能性のある経路、すなわちオイラー方程式の潜在的流れ解の不安定性について考察している。バーコフは次のように述べている。

「いずれにせよ、前の段落から、非粘性流の理論が不完全であることは明らかです。実際、「定常流」の概念につながる推論は決定的ではありません。独立変数としての時間を排除する厳密な正当性はありません。したがって、ディリクレ流（潜在的な解）やその他の定常流は数学的には可能ですが、定常流が安定していると想定する理由はないのです。」^[30]

1951年にバーコフの著書を評論した数学者ジェームズ・J・ストーカーは、この本の第1章を厳しく批判している。 ^[31]

「レビュー担当者は、第 1 章がどのような読者層を対象に書かれたのか理解しにくいと感じました。流体力学に精通している読者にとって、パラドックスとして引用されているケースの大部分は、ずっと前に修正された誤りの範疇に属するか、または理論と実験の不一致の範疇に属し、その理由もよく理解されています。一方、初心者がこの章を読むと、流体力学における重要かつ有用な成果のいくつかについて誤った考えを持つ可能性が非常に高くなります。」

1960年に出版されたバーコフの『流体力学』第2版では、上記の2つの記述は見られなくなった。^[32]

ダランベールのパラドックスに関する成果の重要性と有用性は、30年後にキース・スチュワートソンによって再検討されている。彼の1981年の長い調査論文は次のように始まっている。 ^[9]

「古典的な非粘性理論は、流体中を一様な速度で移動する剛体が受ける抵抗はゼロであるという明らかに不合理な結論を導くため、過去 100 年ほどの間に、代わりの理論を提案し、流体中の極めて小さな摩擦力がそれにもかかわらず流動特性に重大な影響を及ぼす理由を説明するために多大な努力が払われてきました。使用された方法は、実験的観察、多くの場合非常に大規模な計算、および摩擦がゼロに近づくにつれて解の漸近形の構造を分析することの組み合わせです。この 3 方向からのアプローチは、特に過去 10 年間でかなりの成功を収め、現在ではパラドックスはほぼ解決されたと見なすことができます。」

物理学における多くのパラドックスは、既存の理論を超えることで解決されることが多い。^[33]ダランベールのパラドックスの場合、その解決に不可欠なメカニズムは、高レイノルズ数でも消えない薄い粘性境界層の発見とモデル化を通じてプラントルによって提供された。^[26]

ダランベールのパラドックスの導出における3つの主な仮定は、定常流が非圧縮性、非粘性、非回転性であるということである。^[34] 非粘性流体はオイラー方程式で記述され、他の2つの条件と合わせて次のように 表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(非圧縮性)}}\\&{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(非回転)}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}+\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p&&{\text{(オイラー方程式)}}\end{aligned}}}$

ここで、u は流体の流速、pは圧力、 ρは密度、 ∇は勾配演算子です。

オイラー方程式の2番目の項は次のようになります。

${\displaystyle \left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)-{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\qquad (1)}$

ここで、最初の等式はベクトル計算の恒等式であり、2番目の等式は流れが非回転であることを利用してます。さらに、すべての非回転流れに対して、u = ∇ φとなる速度ポテンシャル φ が存在します。これをすべて運動量保存の式に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}\right)={\boldsymbol {0}}.}$

したがって、括弧内の量は定数でなければならない（φ を再定義することでt依存性を排除できる）。流体が無限遠で静止しており、圧力がそこでゼロであると定義されると仮定すると、この定数はゼロであり、したがって

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}=0,\qquad (2)}$

これは非定常ポテンシャル流のベルヌーイ方程式です。

ここで、物体が流体中を一定速度vで動いていると仮定します。流体は無限に遠く離れて静止しています。流体の速度場は物体に追従する必要があるため、 u ( x , t ) = u ( x − v t , 0)という形式になります。ここで、x は空間座標ベクトルであり、次のようになります。 u = ∇ φ なので、これをxについて積分できます。 $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}+R(t).}$$

流体が物体に及ぼす 力F は、表面積分で与えられます。 ここで、A は物体の表面、n は物体の表面の法線ベクトルを表します。しかし、(2) から、積分 に対する R ( t ) の寄与はゼロに等しいこと がわかります 。$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S}$$$${\displaystyle p=-\rho \left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)=\rho \left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t)\right),}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right){\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S,}$$

この時点で、ベクトル成分を扱うのがより便利になります。この式の k番目の成分は、$${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i} )n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)}$$

流体が占める体積をVとします。発散定理によれば、 右辺は無限の体積に対する積分であるため、何らかの正当化が必要ですが、ポテンシャル理論を適用して、速度u はr ⁻³ （有限の大きさの 3 次元物体の場合の双極子ポテンシャル場に対応）で減少する必要があることを示すことで正当化できます。ここで、 rは物体の中心までの距離です。体積積分の積分関数は、次のように書き直すことができます。 ここで、最初に等式 (1) を使用し、次に流れの非圧縮性を使用します。これを体積積分に代入し、発散定理をもう一度適用します。これにより、次のようになります。 これを (3) に代入すると、次のことがわかります。 流体は物体を貫通できないため、物体表面でn · u = n · vです。したがって、そして 最後に、抗力は物体が移動する方向の力であるため、したがって 抗力はゼロになります。これがダランベールのパラドックスです。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}}$$$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.}$$$${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$$${\textstyle \sum _{i}n_{i}\,v_{i}=\sum _{i}n_{i}\,u_{i}}$$${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$$${\textstyle v\cdot F=\sum _{k}v_{k}F_{k}=0.}$

• ダランベール、ジャン・ル・ロン(1752)、流体抵抗のエッセイ
• ダランベール、ジャン・ル・ロン（1768）、「回想録 XXXIV」、Opuscules Mathématiques、vol. 5 (§I 編)、132–138 ページ
• プラントル、ルートヴィヒ(1904)、「粘性が極めて低い流体の運動」(PDF)、第 452 巻、NACA 技術メモ

• Batchelor, G. (2000)、流体力学入門、ケンブリッジ数学図書館（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-66396-0、MR  1744638
• ファルコビッチ、G.（2011）、流体力学、物理学者のための短期コース、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-00575-4
• Grimberg, G.; Pauls, W.; Frisch, U. (2008)、「ダランベールのパラドックスの発生と抗力問題の解析的詳細化」、Physica D、237 (14–17): 1878–1886、arXiv : 0801.3014、Bibcode :2008PhyD..237.1878G、doi :10.1016/j.physd.2008.01.015、S2CID  15979390
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987)、流体力学、理論物理学講座、第6巻（第2版）、Pergamon Press、ISBN 978-0-08-009104-4
• スチュワートソン、K.（1981）、「ダランベールのパラドックス」、SIAMレビュー、23（3）：308–343、doi：10.1137 / 1023063

• MathPages のポテンシャルフローとダランベールのパラドックス